一類具阻尼項的二階半線性泛函微分方程的振動性

林文賢，鄭偉珊

（韓山師范學院數學與統計學院，廣東，潮州 521041）

討論一類具阻尼項的二階半線性中立型分布時滯泛函微分方程

(H4) μ(ξ)∈ C ([a,b],R) 為非減函數，方程（1）中的積分為Stieltjes 積分。

當 m (t)= 0 時，方程（1）就是文獻[1]所研究的方程。本文的目的是建立方程（1）的 Leighton-Wintnertner型和Philos型振動準則，使得文[1-3]成為本文結果的特例，并且推廣其他近期文獻的一些振動結果。關于本文中的函數不等式，如果沒有特別說明，都是對一切充分大的t成立。

1 主要結果

首先給出以下著名不等式。

考 慮 集 合 D0= { (t,s) |t ＞ s ≥ t0}和D = { (t,s) |t ≥ s ≥ t0}，如果函數 H ∈ C (D,R)滿足下列條件：

則稱H是性質P。

首先，我們給出方程(1)的Philos型振動準則。

定 理 1 假 設 存 在 函 數 ρ (t) ∈ C1(I,R+) ,H(t,s)具有性質P， H (t,s) ∈ C (D0,R)使得

證明：設 x(t)是方程(1)的非振動解，不失一般性，可設 x (t) ＞ 0 ， t ≥t0。

令t→∞ ，由(H1)，有(t )=-∞ ， 這與y(t)＞0,t≥t1矛盾，所以y′(t) ＞ 0 ,t ≥ t1。

將（7）中的t換為s并兩邊同乘以 H (t,s)，在[t1,t]上關于s積分，得

矛盾。所以方程(1)是振動的。定理1證畢。

這就是方程(1)的 Philos型振動準則，下面再給出方程(1)的Leighton-Wintnertner型振動準則。

證明：設 x(t)是方程(1)的非振動解，不失一般性，可設 x (t) ＞ 0 ， t ≥t0。由定理1的證明有

令t→∞，對上式取上極限，注意到條件(9)，有 ()wt→-∞，這與 () 0wt＞ 矛盾。所以方程(1)是振動的。定理2證畢。

推論1 若定理1中條件(8)改為

則方程（1）振動。

[1] 田學全,王洪珂,俞元洪.一類二階半線性泛函微分方程的振動性[J].數學的實踐與認識,2014,44(4):286-290.

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