理想置亂圖像差分直方圖分布模型的數學驗證

王聰麗，陳志斌，丁娜娜

（1.軍械工程學院 軍械技術研究所，河北 石家莊050003；2.武警石家莊士官學校，河北 石家莊050003）

理想置亂圖像差分直方圖分布模型的數學驗證

王聰麗1，2，陳志斌1，丁娜娜2

（1.軍械工程學院 軍械技術研究所，河北 石家莊050003；2.武警石家莊士官學校，河北 石家莊050003）

目前圖像置亂度評價算法缺乏統一的標準和模型，某些模型的提出缺乏科學依據與嚴格證明，如理想置亂圖像的差分直方圖分布模型。在分析置亂圖像差分直方圖分布的基礎上，利用Chi-Square假設檢驗和回歸分析方法進行差分直方圖分布函數的擬合檢驗和回歸系數預測。實驗結果證明，在理想置亂情況下，圖像的差分直方圖應符合線性分布，為理想置亂圖像差分直方圖分布模型的建立提供了理論基礎。

圖像置亂；置亂度評價；差分直方圖；假設檢驗；回歸分析

0　引言

圖像置亂技術是當前主流的圖像加密技術，眾多研究者已提出了具有良好的置亂性能的圖像置亂算法[1-5]。但是對于圖像置亂性能（置亂度）的評價研究卻相對滯后，大部分依賴原始圖像，如文獻[6-8]等，缺乏統一的標準和模型。圖像置亂度評價應重點研究根據圖像各種特征建立科學的模型，并從模型出發設計具體評價指標，最終形成較完善的、能夠獨立于原始圖像的盲評價指標體系。圖像特征模型的建立有兩種方式：(1)根據自然圖像特征建立自然圖像的特征模型；(2)基于理想置亂圖像建立特征模型。前者需對大量自然圖像特征進行統計分析，工作量大。后者所依據的理想置亂圖像實際上是不能得到的，因此只能根據實際置亂圖像的特征對理想置亂圖像特征進行擬合，來建立模型。

在文獻[9]中對置亂圖像差分直方圖的分布特性進行了詳細分析，指出在理想置亂情況下，置亂圖像的差分直方圖應服從線性分布，并給出了相應的線性模型：

該模型是一個線性分段函數，自變量x為差分值，函數值為圖像差分值個數。該模型表明：理想置亂情況下，置亂圖像的差分直方圖統計分布曲線是以差分值為自變量的分段線性函數。該模型的提出使得針對圖像差分的置亂度評價工作有了科學的模型。但只是根據大量實驗數據的分布特性，主觀確定了該線性模型，并未進行科學、詳細的證明。本文以此為出發點，采用統計分析方法，將此問題轉化為分布函數的擬合檢驗和回歸分析問題，通過建立線性回歸方程，求得回歸系數的最小二乘估計，來驗證此模型的科學性。

1　分布函數的擬合檢驗

若提出假設的形式為 ：

其中 F(x)為需要檢驗的分布函數，F0(x)為已知分布函數，分布函數中可以含有或不含未知參數。假設檢驗問題稱為對分布函數的擬合檢驗。

常用的假設檢驗方法有χ2檢驗和柯爾莫戈羅夫K檢驗。本文以χ2檢驗為例來進行驗證。

設ξ是分布函數 F(x)的總體，ξ1，…，ξn是一個樣本。將 R1=(-∞，+∞)分為 m個子區間(xi-1，xi]，其中-∞=x0< x1<…

η依賴于n和m，以下假定m是定值。

定理 1[10]（Pearson）：如果H0正確，則：

其中：

式(5)是 χ2(m-1)分布的密度函數，這里設 F0(x)不含未知數。

對于定理1，當n足夠大時可認為η～χ2(m-1)。對已知的顯著性水平α，從 χ2分布表中查得，使得，即取否定域為。若η>，則否定 H0。

理想置亂情況下，令 F0(x)=f(x)，F(x)為置亂圖像實際的差分直方圖分布個數。因為圖像差分值取值范圍為-255～255，因此將 R1=(-∞，+∞)分為 5 10個子區間，子區間長度為 1 。F(xi)代表差分值為 xi的元素數目，即為樣本落入子區間(xi-1，xi]的頻數，因此有樣本頻數 vi= F(xi)。理論頻數npi=F0(xi)=f(xi)。根據式（3）構造χ2檢驗指標：

由于 n 足夠大，因此，可認為 η ～χ2(509)。自由度為509，取值較大，因此 χ2分布近似服從 N (509，2*509)，可采用正態分布來進行實際計算。給定顯著性水平α= 0.05，可計算出(509)=562.593。

綜上所述，當設計的 χ2統計指標 η >562.593時，拒絕H0，否則接受H0。

2　線性回歸模型的建立

根據置亂圖像的差分直方圖分布圖，分析可能對分布個數產生影響的因素只有差分值。因此建立線性模型：

F由差分直方圖分布個數的 n次觀察值構成，F(xi)代表差分值為xi的元素數目。X稱為設計矩陣，由常數項和差分值的n次觀察值構成，n=511。β是未知參數，稱為回歸系數。e為隨機向量，有時稱為誤差隨機向量。

根據線性模型(7)，要選擇合適的β使誤差項的平方和最小，即求β的最小二乘估計β?。

將式(9)對 βi求偏導并令其等于 0，可得到正規方程組：

因為X的秩rank(X)=2，因此最小二乘解唯一，并由下式給出：

3　實驗結果

3.1分布函數擬合檢驗

利用文獻[5]中的方法對圖像進行置亂變換，置亂次數為100次。選取該方法是因為該方法同時實現了像素值和像素位置置亂，具有代表性。對100幅置亂圖像進行差分直方圖分布特性的假設檢驗，檢驗結果如表1所示。

表1　100幅置亂圖像假設檢驗結果

表1中指出，在100幅置亂圖像中，差分直方圖符合分布模型f(x)的圖像數量為56幅，不符合該分布的圖像數量為44幅。在符合該分布模型的56幅圖像中，最小的χ2指標η=454.38，對應的置亂次數T=91?？疾煸撝脕y圖像和差分直方圖（圖1）可知，置亂圖像具有良好的類似噪聲特性，其差分直方圖具有明顯的線性分布特性。同時可認為該56幅圖像已近似達到理想置亂。對于被拒絕的圖像，由于其差分直方圖分布不符合線性分布，導致χ2指標很大。

圖1　T=91時置亂圖像及其差分直方圖

圖2給出了χ2指標隨著置亂次數的變換曲線。從圖中可看出，大部分圖像的χ2指標數值分布在1 000以下。但是當T=24、48、72、96時，該統計指標遠遠高于其他值?？疾炀哂猩鲜鲋脕y次數的圖像及其差分直方圖，這些圖像有著明顯的規則性，且差分直方圖分布與線性模型相差很大，與參考文獻[1]中的置亂度評價結果完全吻合，這說明本文設計的χ2指標能夠科學、合理地反映樣本頻數與理論頻數間的差別。

圖2　χ2指標隨著置亂次數的變換曲線

圖3給出了不同的χ2指標下所求的p值分布。概率p<0.05的圖像均認為其差分直方圖分布與模型 f(x)不相符。由于 p具有如下性質：(1)0≤p≤1；(2)理想置亂時，p=1。因此該p值可作為圖像置亂度評價參數直接進行置亂度評價，比如當η=454.38時，可認為具有最好的置亂效果，對應p=0.96。

圖3　p值分布圖

3.2回歸方程系數預測

進行分布函數擬合檢驗的目的是選擇出置亂效果較好的圖像，剔除不理想的測試樣本。對于接受H0的56幅圖像，首先計算其差分直方圖，然后進一步根據式(11)對差分直方圖分布函數的系數進行最小二乘估計。圖4、圖5給出了56幅置亂圖像差分直方圖分布函數的回歸方程系數最小二乘估計值的分布圖。

圖4　差分值-255≤xi<0時的回歸系數分布

圖5　差分值0≤xi≤255時的回歸系數分布

由回歸系數分布圖4和圖5可以得出：(1)常數項系數 β1大部分在區間[250，260]范圍內取值，與差分值取值范圍無關。(2)系數β2的取值和差分值取值范圍有關，當差分值-255≤xi<0時，β2∈[0.9，1.1]；當差分值 0≤xi≤255時，β2∈[-1.1，-0.9]。

根據圖4和圖5，為了消除樣本獨立性對系數的影響，求出線性模型最終的系數，進一步計算β1、β2的均值(表2)，可知式(7)與所提出的線性模型(1)完全吻合，驗證了理想置亂圖像差分直方圖線性模型(1)的正確性。

表2　回歸系數均值

圖6　56幅圖像平均殘差分布圖

3.3殘差分析

在回歸分析過程中假設誤差e服從均值為0的正態分布(式(7))。圖6給出了56幅圖像的平均殘差分布圖，平均殘差根據式(13)進行計算。由圖可知，大多數圖的平均殘差都接近于0，說明誤差的統計分布符合式(7)對誤差e的統計分布特征的假設。

4　總結與展望

由于前期研究中提出的理想置亂情況下圖像差分直方圖分布模型沒有進行嚴格的數學證明，缺乏理論基礎。為了解決該問題，本文立足于統計分析，利用線性χ2假設檢驗及回歸模型預測理論，通過將實際置亂圖像的差分直方圖分布和參考文獻[1]中提出的線性模型進行分布函數擬合檢驗，選出置亂效果好的置亂圖像，進一步對這些進行回歸系數預測。實驗結果驗證了在理想置亂情況下，置亂圖像的差分直方圖服從線性分布，實驗結果與參考文獻[1]吻合，為理想置亂圖像差分直方圖模型的提出提供了理論基礎。

在以后的研究工作中，重點應研究以自然圖像和理想置亂圖像統計特征為基礎的評價模型庫的建立，來解決缺乏統一評價標準的問題，完善置亂度的盲評價指標體系。相應的置亂度評價體系的發展也能對圖像置亂算法的研究起到重要的指導作用。

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The mathematical validation on the distribution model of ideal scrambled image′s difference histogram

Wang Congli1，2，Chen Zhibin1，Ding Nana2
(1.Ordnance Institute of Technology，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China；2.Shijiazhuang Non-commissioned Officer Academy of CAPF，Shijiazhuang 050003，China)

The main shortage of evaluation methods on image scrambling degree is the lack of criterions and models,and some models have been presented without scientific basis.For example,the linear distribution model of ideal scrambled image′s difference histogram has been advanced in paper without justified.Based on the difference histogram of scrambled image,Pearson Chi-Square hypothesis test and regression analysis are used to test its distribution characteristics in this paper.Simulation results show that the distribution of difference histogram of ideal scrambled image should accord with the linear model.The validation in this paper can provide precise theoretical basis to establish the linear model of difference histogram of ideal scrambled image.

image scrambling；scrambling degree evaluation；difference histogram；hypothesis test；regression analysis

TP309.7

A

0258-7998(2015)01-0107-04

10.16157/j.cnki.0258-7998.2014030200679

2014-09-02)

王聰麗(1979-)，女，博士研究生，講師，主要研究方向：信息安全、圖像處理。

陳志斌（1965-），男，研究員，博士生導師，主要研究方向：紅外目標識別、信息安全。

丁娜娜(1985-)，女，碩士，主要研究方向：信息安全。