利用滑動式切比雪夫多項式擬合衛星精密坐標和鐘差

王 興，高井祥，王 堅，李增科

(中國礦業大學國土環境與災害監測國家測繪地理信息局重點實驗室，江蘇徐州221116)

一、引 言

在GPS數據處理中，需要精確的衛星坐標和鐘差，可以利用精密星歷給出衛星在空間的三維坐標及衛星鐘改正數等信息獲得，但是精密星歷是按一定的時間間隔(15 min或5 min)給出的［1］。因此，需要使用合理的數學模型計算出任意時刻的衛星坐標。目前，利用精密星歷求衛星坐標和鐘差的方法主要有插值法和擬合法兩類，但是在展開級數較高的情況下，拉格朗日插值法會產生振蕩，而與之相比，切比雪夫擬合法則較為穩定。因此，在使用精密星歷對衛星坐標和鐘差進行插值過程中，一般多采用切比雪夫多項式擬合法［2］。

對于普通的切比雪夫擬合來說，大部分擬合時刻的點位誤差都比較小，擬合精度高，但是也有小部分的誤差較大。擬合時段的中間部分所得結果的精度相對來說比較一致，然而，在計算靠近擬合時段兩個端點時刻時，衛星的坐標和鐘差會出現數據跳躍的現象，使得端點時刻擬合的結果精度比較低［3］。為了解決這個問題，提高擬合的精度，本文提出了滑動式的切比雪夫算法。

二、切比雪夫多項式

切比雪夫多項式擬合即根據已知的數據擬合出一個多項式函數，使得這個函數在已知點的函數值與給定的函數值的方差和最小。根據精密星歷給出的衛星坐標，可以擬合出衛星坐標隨時間變化的函數，從而通過這個函數求出衛星在擬合范圍內任意時刻的衛星位置。

由于切比雪夫多項式只適用于自變量區間為［－1，1］的情況，因此用n階切比雪夫多項式來逼近時間段［t0，t0+Δt］中的衛星星歷時，要先將變量 t∈［t0，t0+Δt］變換為變量 τ∈［－1，1］，即

于是衛星坐標(X，Y，Z)的切比雪夫多項式可表示為

式中，n為多項式的階數;Cxi、Cyi、Czi分別為 X 坐標分量、Y坐標分量、Z坐標分量的切比雪夫多項式系數。

根據已知的衛星坐標，用最小二乘法擬合出多項式系數 Cxi、Cyi、Czi，就可用式(2)計算出該時段中任一時刻的衛星位置［4］。切比雪夫多項式Ti的遞推公式如下

三、滑動式切比雪夫算法

所謂滑動式切比雪夫算法，就是不斷地變換擬合區間，使要插值的點始終處于插值區間的中心。如第一次選取1～10這10個已知點，生成9階的切比雪夫多項式進行擬合，但是只使用第5個已知點和第6個已知點之間的插值點的結果，其他點的結果舍棄不要;第二次選取2～11這10個已知點，生成9階的切比雪夫多項式進行擬合，同樣只使用第5個已知點和第6個已知點之間的插值點的結果。也就是相當于選定一個長度固定的區間，然后不斷地讓這個區間向右移動，每次擬合都只使用處于區間中心的插值點的結果。

如圖1所示，矩形內的10個點即為已知數據點，而矩形可視為插值區間，陰影部分為使用的插值點結果，每次插值后，插值區間隨之向右移動。

圖1 滑動式切比雪夫算法示意圖

由于在已知點中間部分的插值點的精度最好，這樣就使得所有插值點的值都能獲得較高的精度，更大大減少了端點數據點附近的插值跳躍現象［5］。因此，這種滑動式切比雪夫的算法與普通的切比雪夫算法相比，精度有所提高，數值較為穩定，不會出現誤差較大的跳躍點，且通過簡單的程序就可以實現，時間耗費不大，對于獲得高精度的衛星坐標和鐘差來說很有意義。

四、算例分析

本文采用的已知數據是由JAXA提供的2014年4月 3日間隔 5 min的精密星歷，精密星歷qzfg17864.sp3包含了 2014年 4月 3日 0:00至23:55共288個歷元、29顆衛星的數據，選取PRN號為01的GPS衛星分別進行普通的切比雪夫擬合和滑動式切比雪夫擬合，并對比分析其結果。從各方面衡量，切比雪夫多項式的階數選為9階時，求得的GPS 衛星坐標效果較好［6］。

1.普通的切比雪夫擬合

選取以下10個時段分別進行切比雪夫擬合:1:00—3:15、3:15—5:30、5:30—7:45、7:45—10:00、10:00—12:15、12:15—14:30、14:30—16:45、16:45—19:00、19:00—21:15、21:15—23:30。

在每個時段內，選取15 min的倍數點作為已知點，如在第一個時段內，選取 1:00、1:15、1:30、…、3:15這10個點作為已知點，擬合出5 min間隔的插值點坐標和鐘差，并與5 min間隔的精密星歷提供的坐標和鐘差作對比，得出誤差結果。為便于與滑動式切比雪夫擬合作對比，截取1:00—22:45時間段內的坐標和鐘差的插值結果。

2.滑動式切比雪夫擬合

選取 0:00、0:15、0:30、…、23:45 這些點作為數據點，精密星歷給出了0:00—23:55的以5 min為間隔的衛星坐標和鐘差，而滑動式切比雪夫擬合要保證每個擬合區間的前后都有5個數據點，如在擬合1:00—1:15時間段內的坐標和鐘差時，向左選取0:00—1:00這5個數據點，向右選取1:15—2:15這5個數據點。因此，以5 min為間隔擬合出1:00—23:45時間段內的衛星坐標和鐘差，其中，對于數據點處的坐標值和鐘差不進行擬合，沿用精密星歷給出的坐標值和鐘差。將結果與精密星歷提供的坐標和鐘差作對比，得出誤差結果。

3.結果分析

如圖2—圖4所示，普通的切比雪夫算法大部分的擬合誤差都在－1～1 mm范圍內，但是在擬合時段的端點處經常發生跳躍現象，誤差突然變大，精度降低，穩定性比較差。

如圖5—圖7所示，滑動式切比雪夫擬合算法的所有坐標誤差基本上都在－1～1 mm之間，擬合的結果較為穩定，無明顯跳躍的值，相對于普通的切比雪夫擬合有了明顯的改善。

如圖8和圖9所示，相比于衛星坐標的擬合來說，鐘差的兩種擬合方法在精度上的差別相對較小，但是，從圖中可以明顯看出，滑動式切比雪夫擬合所得到的鐘差值穩定性較好。

圖2 普通的切比雪夫擬合得到的X坐標誤差

圖3 普通的切比雪夫擬合得到的Y坐標誤差

圖4 普通的切比雪夫擬合得到的Z坐標誤差

圖5 滑動式切比雪夫擬合得到的X坐標誤差

圖6 滑動式切比雪夫擬合得到的Y坐標誤差

圖7 滑動式切比雪夫擬合得到的Z坐標誤差

圖8 普通的切比雪夫擬合得到的鐘差誤差

圖9 滑動式切比雪夫擬合得到的鐘差誤差

由表1和表2可以看出，普通的切比雪夫擬合所得到的坐標及鐘差的誤差絕對值最大值要比滑動式切比雪夫擬合大很多。

表1 普通的切比雪夫擬合得到的坐標和鐘差精度

表2 滑動式切比雪夫擬合得到的坐標和鐘差精度

五、結 論

1)總體上來說，滑動式切比雪夫擬合的誤差穩定性要遠遠好于普通的切比雪夫擬合，不會出現明顯的跳躍點，坐標的精度提高很多，鐘差的精度提高相對較少。

2)從計算效率上看，滑動式切比雪夫擬合算法并不復雜，且與普通的切比雪夫擬合計算量相當，程序實現靈活方便。

3)文中滑動式切比雪夫擬合所得的為1:00—22:45之間的衛星坐標和鐘差，若要獲取全天的坐標和鐘差，可使用當天及前一天、后一天的精密星歷進行擬合，也可進行外推，不過精度會有所下降。

［1］李征航，黃勁松.GPS測量與數據處理［M］.武漢:武漢大學出版社，2005.

［2］楊學鋒，程鵬飛，方愛平，等.利用切比雪夫多項式擬合衛星軌道坐標的研究［J］.測繪通報，2008(12):1-3.

［3］賴山東，王有亮，黃河清.利用精密星歷計算衛星位置方法的比較［J］.江西測繪，2009(2):35-37，40.

［4］馮煒，薛志宏，邵佳妮，等.兩種常用GPS星歷擬合方法的精度分析［J］.大地測量與地球動力學，2010，30(1):145-149.

［5］洪櫻，歐吉坤，彭碧波.GPS衛星精密星歷和鐘差三種內插方法的比較［J］.武漢大學學報:信息科學版，2006，31(6):516-518.

［6］李明峰，江國焰，張凱.IGS精密星歷內插與擬合法精度的比較［J］.大地測量與地球動力學，2008，28(2):77-80.