拋物線內切伴隨圓族的方程及性質

田穎輝

(阜新高等?？茖W校，遼寧阜新123000)

曲線的伴隨圓是指與曲線相關的圓.文獻［1］探討了拋物線的一類伴隨圓——內切圓族的方程和性質.在此基礎上，筆者對拋物線y2=2px(p＞0)的內切伴隨圓族的方程與性質進行了進一步的探討，得到了一些結論.

1 相關定義

1.1 內切圓

在拋物線的內部，與拋物線有且只有一個交點的圓，叫做拋物線的內切圓(圖1).

1.2 內切圓族

與拋物線內切，且具有共性的一族圓稱為拋物線的內切圓族(圖1).

2 相切于一點的內切圓族

圖1 內切圓與內切圓族

圖2 引理1內切圓族

引理1［1］設拋物線C的方程為y2=2px(p＞0)，設M(x0，y0)是拋物線上的一點，則與拋物線內切圓族的方程為(x－p－x0)2+y2=p2+2px0(x0是參數，x0≥0)，其圓心軌跡為以(p，0)為端點且與x軸正方向同向的射線.

引理中所描述的內切圓族情形如圖2所示.

由引理1可知，對于拋物線上的固定點M(x0，y0)，其內切圓為(x－p－x0)2+y2=p2+2px0(x0≥0)，點(x0，y0)關于x軸的對稱點為(x0，－y0)也在圓上，顯然，該圓是內切于M(x0，y0)的圓中最大的內切圓.

定理1 設拋物線C:y2=2px(p＞0)，內切于拋物線上的定點M(x0，y0)的最大內切圓為

在圓(Ⅰ)內部可作一系列與點M(x0，y0)相切的圓，顯然這些圓都是拋物線的內切圓，它們構成了一類拋物線的內切伴隨圓族(圖3).

圖3 定理1拋物線的內切伴隨圓族

圖4 推論3內切伴隨圓族

推論1 與拋物線C:y2=2px(p＞0)相切于拋物線上的定點M(x0，y0)的內切伴隨圓族的圓心軌跡為線段MN(去掉端點M)，其中N(x0+p，0)(圖3).

令x0=0，則y0=0，即此時M點為拋物線的頂點(0，0)，由此得如下結論.

推論2 與拋物線C:y2=2px(p＞0)相切與頂點的最大內切伴隨圓為(x－p)2+y2=p2.

推論3 與拋物線C:y2=2px(p＞0)相切與頂點的內切伴隨圓族的方程為(x－a)2+y2=a2(0＜a≤p)(圖4).

3 以定長為半徑的內切伴隨圓族

拋物線C:y2=2px(p＞0)的最大內切圓族中最小的一個圓的半徑為p，這里僅取定長r(0＜r≤p)為半徑作拋物線的內切伴隨圓.當該圓沿拋物線內側移動時，這些圓是拋物線的一類內切伴隨圓族.

定理2 半徑為定長r(0＜r≤p)，與拋物線C:y2=2px(p＞0)內切伴隨的圓族的圓心方程為

證明 設拋物線C的參數方程為

定長為r(0 ＜ r≤p)，圓心為(x0，y0)的圓方程為(x－x0)2+(y－y0)=r2，與拋物線C內切于點(x1，y1).過點(x1，y1)與拋物線相切的直線的斜率為k=y'=，則

解方程組得

由于內切圓心位于拋物線內，且在過切點(x1，y1)的法線上，所以x0＞x1將x1=2pt2，y1=2pt代入上式，最終得到定長為r的內切伴隨圓的圓心參數方程

其圓心軌跡是夾在拋物線y2=2px(p＞0)與拋物線y2=2(p－r)x間的類似拋物線(p＞0，0＜r≤p)，隨著r的增減在兩拋物線間伸縮(圖5，圖6).

圖6 拋物線的一類內切伴隨圓族隨著r減小的圓心軌跡

圖5 拋物線的一類內切伴隨圓族隨著r增加的圓心軌跡

［1］劉耀斌，顧越嶺.拋物線的伴隨圓系及其性質［J］.數學通報，2007，46(3):38 －40.

［2］梁雙鳳，李寶榮，梁林.橢圓的內切圓與曲率圓的方程及圖像研究［J］.玉溪師范學院學報，2010，26(8):8－13.