基于首次積分和向量場的二維Lotka-Volterra系統的穩定性

基于首次積分和向量場的二維Lotka-Volterra系統的穩定性

唐曉偉1,2

( 1.齊魯師范學院 數學學院，山東 濟南 250200； 2.山東師范大學 數學科學學院，山東 濟南 250014 )

摘要：為研究二維Lotka-Volterra系統平衡點的穩定性問題，利用首次積分和向量場給出了平衡點一致穩定的充分條件，同時將結論推廣到一般的二維系統中，并用實例驗證了本文結論的有效性.

關鍵詞：Lotka-Volterra系統； 首次積分； 向量場； 穩定性

收稿日期：2015-05-13

基金項目：山東省青少年教育科學規劃課題(15BSH278);齊魯師范學院校級青年教師項目(2014L1002)

文章編號：1004-4353(2015)03-0203-04

中圖分類號：O175.31

Stability of a two-dimensional Lotka-Volterra system with first integral and vector field

TANG Xiaowei1,2

( 1.MathematicalSchool,QiluNormalUniversity,Jinan250200,China;

2.SchoolofMathematicalScience,ShandongNormalUniversity,Jinan250014,China)

Abstract：To study the stability for two-dimensional Lotka-Volterra,the sufficient condition of the stability for two-dimensional Lotka-Volterra system was given by using first integral and vector field. Then the conclusion was extended to general two-dimensional systems and the effectiveness was verified by an example.

Key words： Lotka-Volterra system; first integral; vector field; stability

在農業生產和生物資源的管理中，維持某一種群系統內部的平衡對保持整個生態系統的平衡具有重要的作用，因此需要人們根據種群系統所反饋的各種信息來制定相應的管理決策，以保證生物物種的多樣性和生產的可持續性.文獻[1-3]通過李雅普諾夫函數研究了Lotka-Volterra系統平衡點的穩定性問題，但由于在構造李雅普諾夫函數時存在較多困難，上述文獻中構造的李雅普諾夫函數不具有通用性.文獻[4]研究了一類Lotka-Volterra系統的首次積分的存在性，并利用首次積分研究了平衡點的穩定性問題.文獻[5]給出了Lambert W函數的定義，并將系統首次積分的表達式作為其李雅普諾夫函數，結合Lambert W函數的性質討論了可求得首次積分的Lotka-Volterra系統的周期解的存在性和穩定性問題，但是并不是所有的Lotka-Volterra系統都能夠寫出其首次積分的表達式.C.Albert等[6-7]在研究非線性擾動系統的全局相切性和橫截性時提出了一種基于首次積分和向量場的方法，這種方法能夠避免構造李雅普諾夫函數時所存在的困難，同時還適用于首次積分不存在的系統.鑒于此，本文利用首次積分和向量場研究了一類二維Lotka-Volterra系統平衡點的穩定性，給出了系統平衡點一致穩定的充分條件，并將結果推廣到一般的二維非線性系統中，最后用實例驗證了結論的有效性.

1預備知識和基本結果

令R2表示二維歐式空間,‖·‖表示R2中的范數.考慮如下的兩種群Lotka-Volterra系統：

(1)

其中:x(t)表示食餌(害蟲)的種群數量;y(t)表示捕食者(天敵)的種群數量；a,b,c,d為正常數.

(2)

(3)

定義1(i) 對?ε>0,?t0≥0,若存在δ=δ(t0,ε)>0,使得當‖X0‖<δ時,有‖X(t)‖<ε,t≥t0成立,其中X(t)=X(t,t0,X0)表示系統(3)的過(t0,X0)的解,則稱系統(3)的零解是穩定的；(ii) 若(i)中的δ與t0無關，則稱系統(3)的零解是一致穩定的.

定義2定義K類函數如下:

K={a(s)|a∶[0,+∞)→[0,+∞),a(0)=0,a(s)關于s連續且嚴格單調遞增}.

定理1系統(3)的零解是穩定的.

證明證明取引理2中的H(x,y)作為李雅普諾夫函數即可.

2主要結果及其證明

考慮具有擾動的兩種群Lotka-Volterra系統:

(4)

定理2若系統(4)滿足對?ε>0,存在σ=σ(ε)>0及函數k(s)∈K,使得當X∈∪(0;ε)時,H(X)∈[H0,H0+σ);當H(X)∈[H0,H0+σ)時,X∈∪(0;k(ε)),且對?X∈Ω,t∈[0,+∞)有DH(X)·h(t,X)≤0成立,則系統(4)的零解是一致穩定的.

證明對?ε>0,t0≥0,設X(t)是系統(4)經過(t0,X0)的解,于是DH(X(t))·h(t,X(t))≤0.對?t≥t0,將上式兩端分別在[t0,t]上積分,得

對上述的ε>0,t0≥0,取0<δ

更一般地,考慮具有擾動的二維微分系統:

(5)

其中g(t,X)在[0,+∞)×Ω上是連續的,Ω是R2中的一個包含原點的開集.不妨假設系統(5)的零解存在，且對系統(5)做如下假設:

(H1)g(t,X)可寫成p(X)與q(t,X)之和,且p(X)關于X在Ω內是可積的,q(t,X)關于X在Ω內可以不可積;

(H3) 令F(0)=F0,且F0是F(X),X∈Ω的唯一最大(最小)值.

定理3系統(5)的零解是一致穩定的，若系統(5)滿足(H1)—(H3)，且

(i) 當F0是F(X),X∈Ω的最小值時,對?ε>0,存在σ=σ(ε)>0及函數α(s)∈K,使得當X∈∪(0;ε)時,F(X)∈[F0,F0+σ);當F(X)∈[F0,F0+σ)時,X∈∪(0;α(ε)),且對?X∈Ω,t∈[0,+∞)有DF(X)·q(t,X)≤0成立；

(ii) 當F0是F(X),X∈Ω的最大值時,對?ε>0,存在σ=σ(ε)>0及函數β(s)∈K,使得當X∈∪(0;ε)時,F(X)∈(F0-σ,F0];當F(X)∈(F0-σ,F0]時,X∈∪(0;β(ε)),且對?X∈Ω,t∈[0,+∞)有DF(X)·q(t,X)≥0成立.

證明只需證明當F0是F(X),X∈Ω的最大值時的情形即可,當F0是F(X),X∈Ω的最小值時的證明與之類似，故省略.

對?ε>0,t0≥0,設X(t)是系統(5)經過(t0,X0)的解.由條件(ii)知DF(X(t))·q(t,X(t))≥0.對?t≥t0,將上式兩端分別在[t0,t]上積分,得

對上述的ε>0,t0≥0,取0<δF0-σ，故‖X(t)‖<β(ε),t≥t0,而β(s)∈K,從而系統(5)的零解是一致穩定的.

例1考慮如下的具擾動的二維微分系統：

(6)

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