等量同種電荷的中垂線上電場強度的分布

等量同種電荷的中垂線上電場強度的分布*

吳軍

(東臺市時堰中學江蘇 鹽城224211)

*江蘇省中小學教學研究課題(2013年度第10期)“普通高中青年物理教師專業發展共同體建設的實踐研究”階段性成果之一，課題編號：2013JK10-L154

摘 要：等量同種電荷中垂線上的電場分布是高考一個熱點問題，本文用高中學生所能掌握的方法從定性和定量兩個角度得出從連線中點沿中垂線向外延伸場強先變大后變小的結論，并將此結論推廣至均勻帶電圓環．

關鍵詞：等量同種電荷中垂線電場分布

作者簡介：吳軍(1975-)，男，中教高級，主要從事高中物理教學．

收稿日期：(2014-12-03)

電場是一種看不見、摸不著的特殊物質，我們可以用電場線來形象地描述電場的方向和強弱．等量同種電荷所形成的電場比較復雜，對于高中生而言用電場線來描述電場比較簡捷．現行高中教材[1]和一些參考書[2]中提供的電場線分布圖如圖1所示，另一些參考書[3，4]提供的電場線分布圖如圖2所示．

圖1

圖2

從圖1和圖2中可以清晰地看出兩點電荷連線上電場的強弱變化情況．兩幅圖所展示的空間范圍不同，圖1是圖2的一部分，兩點電荷的中垂線上特別是遠離連線中點的地方,電場強弱的分布圖2表現得更為完整(如圖中虛線所示)．這種特殊的兩點電荷連線和其中垂線上電場的分布是高中階段考查的重點也是高考的熱點，因此高中教學中很有必要將其中垂線上的電場分布討論清楚．

1等量同種電荷中垂線上電場分布

以兩個等量帶正電的點電荷為例，其帶電量為+Q，兩點電荷A,B間距為2l，AB中點為O，M為AB中垂線上的任一點，AM和AB的夾角為θ．

(1)

同理可知點電荷B在M處產生的場強的大小

EB=EA

(2)

EB和EA的方向如圖3所示．

圖3

利用疊加原理可得點電荷A，B在M處產生的場強為

(3)

EM方向如圖3所示．

1．1定性分析其場強大小的變化

當M位于A，B連線中點O時，θ=0，則EM=0；當M位于A，B連線的中垂線上且距O點無窮遠處時，θ→90°，則EM→0；當M位于中垂線上其他任意位置時，則EM≠0．

1．2利用均值不等式定量分析

均值不等式

當且僅當a1=a2=a3=…=an時取等號．

式(3)左右兩邊同時平方得

(4)

1．3結論

綜上分析，可得如下結論：

(1)等量同種電荷連線中點處的場強為零；在其中垂線上從連線中點向外延伸，場強先變大后變小，無窮遠處場強為零．由此可知文獻[3,4]中所提供的圖2更完整些．

(2)等量正電荷的中垂線上場強不為零的地方場強方向沿中垂線背離連線中點方向，等量負電荷的中垂線上場強不為零的地方場強方向沿中垂線向著連線中點方向．

2等量同種電荷中垂線上電場的應用

【例1】(2013年高考天津卷)兩個帶等量正電的點電荷，固定在圖中P,Q兩點，MN為PQ連線的中垂線，交PQ于O點，A點為MN上的一點(如圖4)．一帶負電的試探電荷q，從A點由靜止釋放，只在靜電力作用下運動．取無限遠處的電勢為零，則

A．q由A向O的運動是勻加速直線運動

B．q由A向O運動的過程電勢能逐漸減小

C．q運動到O點時的動能最大

D．q運動到O點時電勢能為零

解析：由等量同種電荷中垂線上的電場分布知,從O點沿中垂線向外場強先增大后減小，電荷從A向O運動其加速度可能先增大后減小，也可能一直減小，故選項A錯．等量同種正電荷中垂線上電場方向沿中垂線背離O點，電荷從A向O運動過程中所受電場力由A指向O，電場力做正功，則電勢能逐漸減小，動能逐漸增加，到達O點時動能最大，故選項B，C正確．O點場強為零，但電勢不為零，由Ep=qφ知，q在O點的電勢能不為零，故選項D錯誤．

圖4

【例2】帶負電的粒子在電場中僅受電場力的作用，做勻速圓周運動，關于該電場下列說法中正確的是

A．一定是一個正點電荷形成的電場

B．可能是一個負點電荷形成的電場

C．可能是兩個等量正點電荷形成的電場

D．可能是兩個等量異種電荷形成的電場

解析：帶負電的粒子可在正點電荷形成的電場中繞正點荷做勻速圓周運動，如氫原子模型．等量同種電荷形成的電場的中垂面上(除O點外)是以O點為圓心的輻向電場，且到O點距離相等的點場強大小相等．等量正電荷中垂面電場方向背離圓心O，等量負電場中垂面電場方向向著圓心O．故負電粒子僅受電場力作用時其在中垂面受力如圖5所示，電場力提供向心力，粒子在中垂面上以O為圓心做勻速圓周運動．故選項C正確．

圖5

【例3】若在例2中考慮粒子的重力，則粒子能否在等量正點電荷形成的電場中做勻速圓周運動？

解析：若考慮重力作用，則粒子不能在等量正點電荷形成電場的中垂面上做勻速圓周運動．但在與中垂面平行的面上以中垂線與面的交點O′為圓心的圓上電場強度大小相等，方向是以中垂線為軸的圓錐的母線方向(圖2為其在豎直平面內的剖面圖)．在中垂面上方且與中垂面平行的面上若帶負電的粒子所受電場力的豎直分量與重力平衡，水平分量提供向心力，受力如圖6所示，則可使粒子以O′為圓心做勻速圓周運動．

圖6

3均勻帶電圓環軸線上電場強度的分布

一半徑為R的圓環，均勻帶電，電量為+Q，如圖7所示，討論其軸線上的場強分布．

圖7

在圓環上關于圓心O點對稱的兩點A和B各取一段Δl(Δl?R)長度，可將A，B看作等量同種點電荷，其帶電量均為ΔQ．A，B點電荷在軸線上任一點產生的電場強度，方向沿軸線向外，由式(3)可知其大小為

(5)

圓環上的其他各點與其對稱的點均可構成等量同種電荷，所以環上所帶電荷在其軸線上所產生的電場為

(6)

由此可知,均勻帶電圓環的圓心處場強為零，軸線上其他地方的電場方向沿軸線向外，由環心向外延伸場強先變大后變?。?/p>

【例4】(2014年高考江蘇卷)如圖8所示，一圓環上均勻分布著正電荷，x軸垂直于環面且過圓心O．下列關于x軸上的電場強度和電勢的說法中正確的是

A．O點的電場強度為零，電勢最低

B．O點的電場強度為零，電勢最高

C．從O點沿x軸正方向，電場強度減小，電勢升高

D．從O點沿x軸正方向，電場強度增大，電勢降低

圖8

解析：圓環圓心O點場強為零，在其軸線上O點左側電場方向沿x軸負方向，O點右側電場方向沿x軸正方向．所以從O點沿x軸正方向電勢降低，O點電勢最高．從O點沿x軸正方向場強先增大后減?。蔬x項B正確．

【例5】(2015屆鹽城市高三期中考試)如圖9所示，帶正電的金屬圓環豎直放置，AB是軸線上相對于圓心的對稱點．某時刻一個電子從A沿軸線向右運動至B點，此過程中電子運動的v-t圖像可能是圖10的哪一幅

圖9

圖10

解析：帶正電的圓環軸線上電場方向從圓心O沿軸線向外，電子在圓環的左側所受電場力向右，電子做加速運動；電子在圓環的右側所受電場力向左，電子做減速運動．從圓心O向外場強先變大后變小，若最大值在A點右側則電子從A向O運動的加速度先增大后減小，故選項A正確．若最大值在A點的左側則電子從A向O運動的加速度一直減?。粼贏點時速度為零則選項B正確；若在A點速度不為零則選項C正確．

參 考 文 獻

1人民教育出版社．普通高中課程標準實驗教科書·物理(選修3-1)(第3版)．北京：人民教育出版社，2010.13

2趙凱華,陳熙謀．新概念物理教程·電磁學(第二版)．北京：高等教育出版社，2006.11

3程守洙，江之永．普通物理學·第二冊(第五版)．北京：高等教育出版社，1998.29

4梁燦彬，秦光戎，梁竹?。胀ㄎ锢韺W教程·電磁學(第二版)．北京：高等教育出版社，2004.26