把問題作為教學的出發點
——由曹才翰先生的一篇評課文獻說起

☉江蘇省南通市通州區興仁中學 張玉萍

把問題作為教學的出發點
——由曹才翰先生的一篇評課文獻說起

☉江蘇省南通市通州區興仁中學 張玉萍

課堂導入的情境設置是教學研究的經典課題，研究相關課題的理論文獻、案例文獻十分豐富，特別是本世紀之初“課改”影響了課堂導入情境的研究風向，過分追求生活現實的引入新課方式，而輕視基于數學內部發展的動力即數學現實的引入新課方式，這是值得我們警惕的.適逢研讀人民教育出版社在2005年推出的一批數學教育文選，筆者關注到上個世紀一些課例研究的專家評課意見，本文就從曹才翰先生評說“同底數冪的乘法”說起，闡述對“把問題作為教學出發點”的一些教學認識.

一、由曹才翰先生的評課說起

近讀《曹才翰數學教育文選》（見文1），關注到曹才翰先生在上個世紀90年代初的一篇評述“同底數冪的乘法”觀摩課的文獻，曹先生首先概述了該課的五個環節.

（1）把問題作為教學的出發點；

（2）指導學生開展嘗試活動；

（3）組織變式訓練，提高訓練效率；

（4）歸納結論，納入知識系統；

（5）根據教學目標分類細目，及時回授調節.

然后就教學目標的制定、“提出問題、創設情境”、“在試探和議論中發現新知識”、“通過變式練習促進深化”、“把新知識納入整體結構中去”展開詳細評說，讀來深受教益，盡管時光流逝20多年，然而該文中的諸多觀點與當下數學教育“繞彎彎”還是不謀而合的.

比如，曹先生對“同底數冪的乘法”開課時教者提出“如何計算2x3·3x2”這樣的問題表示了肯定，認為這是把問題作為教學的出發點，通過提出一些具有挑戰性的問題或富有思考性的問題作為教學的出發點.使得開課階段學生的思維就有了出發點，有問題才會思考.而且這道計算問題與后面單項式乘法聯系在一起，是整式乘法運算中的一個環節.并認為就法則論法則，是比較孤立的.事實上，當前不少版本的教材正是這種孤立的情境創設方法，比如，某版本教材八年級上冊第95頁，關于同底數冪的引入問題：

問題：一種電子計算機每秒可進行1千萬億（1015）次運算，它工作103s可進行多少次運算？

教材安排：先讓學生列式1015×103，根據乘方的意義，計算出1018.借此情境引出同底數冪的乘法法則.

問題“如何計算2x3·3x2”直接引入，簡約自然，而且問題開放，學生可能會有各種不同的回答，為教師靈活駕馭課堂、有效追問、引導到冪的運算法則提供了可能.正如曹先生所評說的，這種問題引入課堂的方式，學生的思維是開放的，根據自己的知識和經驗猜想解答，而不像有些教學預設，都是設好圈套讓學生鉆.

二、我們需要什么樣的“問題”來作為教學出發點

讓我們稍作辨析，“把問題作為教學的出發點”中的問題究竟是怎樣的“問題”.這個概念如果沒有澄清，很容易將不同的“情境問題”混為一談，也就是《義務教育課程標準（2011年版）》中所指出的要兼顧生活現實問題、數學現實問題、其他學科現實問題.在曹先生的評課意見中，他沒有直接解答應該提哪種類型的問題，其時生活現實問題還沒有像21世紀之初那樣盛行一時，故曹先生只是說“提出一些具有挑戰性的問題或富于思考性的問題作為教學出發點”，特別是像“同底數冪的乘法”這節課的內容，就比較適合“從一些具體數學例子引入并歸納法則”.以下我們就分別列舉數學現實問題、生活現實問題作為新課導入的情境設置研討.

1.更加重視數學現實問題引入新課

由于21世紀之初的“課改”浪潮，強勢“引領”生活問題聯系數學新知，讓數學更“有用”，更有“生活味”，隨之改版的各種教材積極跟進，幾乎在每個新知出現時都會以一個生活現實問題作為開課情境，比如，上文中提到的冪的運算性質用計算機的運算引入，再如平方根運算用正方形桌布的面積求邊長，直線和圓的位置關系用一輪旭日初升的美妙國畫或油畫引入新課，等等，諸如此類，讓原來邏輯連貫、前后一致的數學知識變得支離破碎，比較孤立，沒有能“把新知識納入整體結構中去”（曹才翰語）.我們欣喜地看到，全國著名特級教師李庾南老師近年來的課例（具體可參閱《中學數學》（下）大量的李庾南老師課例賞析文獻），多是返璞歸真，重視數學現實情境的創設和引入新課.比如，李老師講四邊形，是從三角形的定義出發，研究四邊形的定義；李老師講平方根，就舍棄了教材上的生活情境，而是從乘方運算的逆運算出發，定義了開方運算和方根的概念.此外，華東師大張奠宙教授近年來倡導的“超經驗的數學”也要求我們重視數學現實問題，兩位古稀之年的教育專家的實踐和言說，值得我們這些后人傾聽和重視.

2.恰當的生活現實問題可驅動新課

數學源于生活，服務于生活.對不少數學新概念的引入確實需要關注生活現實.比如，函數概念的抽象與引入，方程與應用問題的講解，銳角三角函數的應用等，都要精選恰當的生活現實問題作為教學起點.同樣以李庾南老師的課例來說，李老師在教學等式性質時，就充分重視生活現實問題的選用，她曾選用三道情境問題，先安排學生列出方程，然后引導學生思考這些方程如何求解，有些學生估算出方程的解之后，李老師追問他們依據，“逼”著學生回答出等式性質，這樣等式性質就自然而然地從學生的嘴中“跑”出來，學生在小學五年級上學期所學過的等式性質就自然地納入到方程與解方程這一整體結構中去了.而且在整節課教學過程中，學生經歷了實際問題、抽象后列出方程、解方程、回到實際問題的解，并知道了本節課所學的等式性質是解方程的重要依據.這樣的教學設計合理，情境恰當，安排科學，充分調動了所有學生的思維參與.

再比如，勾股定理起始課教學時，我們注意到江蘇海安劉東升老師在文2就沒有使用教材上“相傳畢哥拉斯在朋友家作客，對地面磚發生了興趣，發現了畢達哥拉斯定理及證明……”的偽情境引入，而是基于數學史考古發現，設計了古埃及人是如何結繩圍出直角三角形的這樣的情境問題，讓這一問題驅動整個勾股定理的發現、證明，并有效關聯了勾股定理的逆定理.這些生活情境有數學味，能引起學生興趣，使其思維參與其中，是值得關注的.

三、教學出發點的“問題”如何關聯前后

1.在“知識鏈”上選擇貫穿始終的問題情境

所謂“知識鏈”，比如數、式一條主線下的諸多知識鏈接在一起.比如，在小學階段就學習過的行程問題，用算術方法解答，到了七年級整式加減學習時會出現，到了一元一次方程學習時會有行程問題的背景，到了八年級學習函數還會關注行程問題，于是行程問題就可看成是一條知識鏈上的問題情境.再比如，圍長方形問題，這在小學算術就有體現，用定長的繩子圍成一個長方形，當長取一個值時求寬，或求面積；七年級學習時可以設長為x，用含x的式子表示寬或周長，到八年級學習時可以從函數角度研究它們的單值對應關系，并引入函數概念，到九年級還會思考“定長線段圍成四邊形中以正方形的面積最大”的道理所在.

2.所選“問題”的解答有多樣化的處理方式

我們知道，不少生活問題、數學問題都有多樣化的求解方式、理解方式，特別是有些生活情境問題既可以用算術方法解答，又可以用方程處理，還能從函數角度來解釋，比如大家熟悉的雞兔同籠問題，勾股定理的不同證明思路，行程問題等.這些問題如果能挑選出來，就可以成為教學的出發點.再比如，直角三角形斜邊上的中線，在初學三角形時同學們就可以用度量、猜想的方法發現該中線的性質，但理由卻說不清楚，到了全等三角形時，可以通過“倍長中線”實現問題的證明，到矩形學習時，我們將其納入矩形的性質中可以發現它們的一致，一直到九年級學習圓時，涉及圓周角定理的推論（直徑所對的圓周角為直角），學生就會發現原來不同的數學知識可以把有些性質有機統一起來，數學的奇異、和諧與一致，也可見一斑.

四、寫在后面

北師大數學教育家鐘善基教授在文1序言中曾提及，1980年全國中小學數學教學改革大型座談上，對中小學數學教改問題取得一些共識，應按“求簡（原傳統內容）”“滲透（現代數學思想）”“增加（學生能接受的近、現代數學內容）”的原則進行改革，在教學上應充分培養與發展學生的能力，發展學生的思維能力為培養能力的核心.時光過去30多年了，我們對前輩數學教育家們的教改共識踐行得如何呢？這實在值得我們在實踐中不斷反思和追問.

1.曹才翰.曹才翰數學教育文選［M］.北京：人民教育出版社，2005.

2.劉東升.基于HPM視角重構——“勾股定理”起始課［J］.教育研究與評論·課堂觀察，2016（1）.Z