試探以圓錐曲線的垂直弦為直徑的圓

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試探以圓錐曲線的垂直弦為直徑的圓

湖北省武漢市第十四中學(430061)尹惠民

在研究與圓錐曲線有關的軌跡問題時，筆者對以圓錐曲線的兩條垂直弦為直徑的圓作了一番探索和演算，發現了下面的漂亮性質，希望與讀者共享．

首先介紹將圓、橢圓、雙曲線合三為一后得到的具有和諧、統一、對稱美的一個性質．

定理1已知有心圓錐曲線E：mx2+ny2=1(當m、n都為正時是圓或橢圓，當m、n異號時是雙曲線)，AB、CD是過曲線Γ內定點P(x0,y0)的兩條互相垂直的弦,若以弦AB、CD為直徑的兩圓相交，則兩圓公共弦恒過定點

圖1

證明:(如圖1)當直線AB、CD的斜率均存在且不為零時，設直線AB的方程為y=k(x-x0)+y0，代入mx2+ny2=1，并整理得

(m+nk2)x2+2kn(y0-kx0)x+n(y0-kx0)2-1=0，

=-n[mx0(1-k2)+(m+n)ky0]·(x-

所以兩圓公共弦恒過定點

當直線AB、CD中有一條斜率不存在或為零時，可以驗證兩圓公共弦也過定點T．

另一方面，設以弦AB、CD為直徑的兩圓圓心分別為M、N，由圓方程③④易得

yN-yM=

由兩點式得直線MN的方程為

(y-yM)(xN-xM)=(x-xM)(yN-yM)，即

(xN-xM)y=(yN-yM)x+yMxN-xMyN．

當直線AB、CD中有一條斜率不存在或為零時，可以驗證兩圓公共弦中點坐標滿足軌跡方程．

經過研究發現在拋物線中也有類似的性質，證明略．