變分方法在時標上一類邊值問題中的應用?

尹 程, 蘇有慧

(徐州工程學院數學與物理科學學院，江蘇徐州 221111)

1 引言

在文獻[1]中，Hilger給出了一種統一離散分析和連續分析的新的分析理論，即時標分析理論．因為時標分析理論不但具有可以統一連續分析理論和離散分析理論，而且還具有可以解決那些同時包含開關和連續行為的數學模型的良好特性．所以，時標分析理論吸引了許多學者去研究．此外，時標分析理論還具有大量的應用價值，這些應用參見文獻[2–4]等．最近幾年，有很多文獻研究了時標上動力方程解的存在性，如文獻[5–9]，這些論文中所用方法主要是各種不動點理論，上下界方法，重合度理論等相關知識．眾所周知，變分方法和臨界點理論是研究連續或者離散的邊值問題解存在性的非常重要的方法，但用變分方法研究時標上邊值問題解存在性理論的相關論文還是較少的[10,11]，主要原因是時標上Hilger積分加大了變分原理在時標分析理論中應用的難度．

為了能更好的理解變分方法和臨界點理論在研究時標上邊值問題解的存在性等相關問題中的應用，下面介紹一些相關的研究結果．在文獻[10]中，Agarwal等人用臨界點理論和變分方法研究了下述齊次Dirichlet二階邊值問題

其中u?2(t)=(u?)?(t),uσ(t)=u(σ(t))及f:T × (0,+∞) → [0,+∞)，此外，相對于每個x∈ (0,+∞),f(σ(t),x)關于任意的t在時標T上是?-可測的，且f(σ(t),x)∈C((0,+∞))．研究者得到了邊值問題(1)存在至少一個或者兩個正解的存在性準則．在不同的研究條件下，他們在文獻[11]中又研究了形式如下的齊次Dirichlet邊值問題

借助于臨界點理論獲得了邊值問題(2)最少存在一個正解的存在性結論．

在文獻[10,11]的啟發下，本文研究形式如下的時標上非自治的二階周期邊值問題

其中T是以σ(T)為周期的時標，?代表時標T上的導數，σ是向前跳躍算子．0,T∈T,σ(T)∈Tκ且f(t,x):[0,σ(T)]κT×R → R，且對任意的x∈R,f(t,x)關于任意的?-幾乎處處t∈ [0,T]Tκ是Lebesgue可積的，對每一個?-幾乎處處t∈ [0,σ(T)]κT,f(t,x)關于x連續可微．利用臨界點理論和變分方法，本文獲得邊值問題(3)存在至少一個周期解的存在性準則．所得結果在相應的微分方程，差分方程以及通常的時標上都是新的．

在本文中，假設f(t,x)滿足下述條件：

(H0): 對于任意的x∈R且?-幾乎處處t∈[0,σ(T)]T，存在函數a(x)∈C(R+,R+)和b(t)∈ L1([0,σ(T)]T,R+)滿足

2 相關定義和引理

在這一節給出時標上的一些基本定義[3,12]和相關引理．時標上的基本特性如測度，絕對連續，Lebesgue可積和Sobolev空間等，大家可參看文獻[13–16]和相關文獻．

定義1[3]假設f:T→R,t∈Tk．如果存在一個實數θ，使得對于任意的?>0，存在t的一個開鄰域U，使得對于所有的s∈U，都有

成立，則稱f在t點是?-可微的，θ被稱為f在t點的?-導數，記為θ=f?(t)．若對于所有的t∈Tκ，f在t點都是?-可微的，則稱f在Tκ上是?-可微的．

如果T=R，則f?(t)=f′(t)；如果T=Z，則f?(t)= ?f(t)．

定義2[17]一種性質對任意的?-幾乎處處t∈A?T或者?-幾乎處處A?T成立是說存在一個測度為0的Lebesgue?-可測子集E?A，使得這種性質對任意的t∈AE上成立．

引理1[15]函數f2:[a,b]T→R，在[a,b]T上是絕對連續的充分必要條件是f2在[a,b)T是?-幾乎處處可微的，∈([a,b)T,R)且

對p∈R且p≥1，設空間

主要結論的證明需要Rabinowitz在文獻[18]中給出的廣義山路引理．

引理6[18]設E=V⊕X，其中E為實的Banach空間，V?={0}且為有限維的．假設I∈C1(E,R)滿足(P.S.)條件以及下面條件：

(I1): 存在一個常數α和V中0點的一個有界領域D，使得I|?D≤α;

(I2): 存在一個常數β>α，使得I|X≥β．

3 主要結論

這一節，我們列出并證明二階非自治的周期邊值問題(3)周期解存在的主要結論．設

那么φ(u)是連續可微的，且

這意味著{un}是空間一個Cauchy列．根據引的緊性，可得序列{un}是空間中的收斂子列．

現在，列出并證明主要結論．

定理1 假設下面的條件成立：

(H1): 存在一個有界可測函數g:[0,T]T→ R滿足：對任意的x∈R及?-幾乎處處t∈[0,T]T，有

成立．那么邊值問題(3)在空間中至少有一個周期解．

證明 首先證明φ滿足(P.S.)條件．

根據(H1)，存在λ<0和M>0，使得：對任意的滿足|x|>M的實數及?-幾乎處處t∈[0,T]T，有

所以有

另一方面，根據范數的下半連續性可得

這推出了矛盾，所以假設不成立，σn}是Hiltert空間的有界數列，根據引理4，{在Hiltert空間中有收斂的子列，從而φ滿足(P.S.)條件．

其次，將證明φ在R上是逆強制的，也就是說

這意味著引理6中的條件(I1)被證明了．

為了證明(8)的正確性，首先證明存在δ1>0,ρ1>0，使得

這和式子(H2)矛盾，所以，(9)成立．

對任意的x∈R且|x|>ρ1，可得

從(10)–(12)可知，(8)是正確的．所以，φ在R上是逆強制的．

最后，證明φ在上是強制的，這意味著引理6的條件(I2)是成立的．

如果存在常數c?和一個序列{}?，使得∥∥→ ∞且φ()≤c?,n=1,2,···，那么，根據引理7，公式(7)，λ <0和時標上的H¨older不等式[3]，可得

其中c3,c4,c5是正的常數，B=u(σ(t))．這跟∥un∥→ ∞矛盾，所以φ在空間內是強制的．

綜上所述，引理6的所有條件都被證明了．所以，根據引理6，邊值問題(3)在Hilbert空間中至少有一個解．

4 例子

在這一節，我們給出一個例子來驗證所得結論．設

其中n∈N,k∈Z．顯然T是以2為周期的時標．

考慮如下的周期時標T上的邊值問題

其中F(σ(t),uσ)=?σ2(t)uσ．容易證明(H0)定理1所有的條件成立．根據定理1可得邊值問題(13)至少有一個解．

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Received:07 May 2015. A ccep ted:06 Nov 2015.

Found ation item:The National Natural Science Foundation of China(11361047);the Natural Science Foundation of Jiangsu Province(BK 20151160);the Natural Science Foundation of Qinghai Province(2012-Z-910);the Six Talent Peaks Project of Jiangsu Province(2013-JY-003);the Key Project of Xuzhou Institute of Technology(2013102).

?Cor r esp ond ing author:Y.Su.E-mail address:suyh02@163.com