M-LZD算法中表面變形的可探測性分析

張同剛，岑敏儀，任自珍，金國清

(1. 西南交通大學地球科學與環境工程學院，四川 成都 610031； 2. 西南交通大學高速鐵路運營安全空間信息技術國家地方聯合工程實驗室，四川 成都 610031； 3. 中鐵第五勘測設計院集團有限公司，北京 100000)

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M-LZD算法中表面變形的可探測性分析

張同剛1，2，岑敏儀1，2，任自珍1，2，金國清3

(1. 西南交通大學地球科學與環境工程學院，四川 成都 610031； 2. 西南交通大學高速鐵路運營安全空間信息技術國家地方聯合工程實驗室，四川 成都 610031； 3. 中鐵第五勘測設計院集團有限公司，北京 100000)

摘要：現有的基于LZD方法的DEM變形探測方法都是將表面變形作為粗差，采用不同的穩健估計方法來探測。粗差具有發現和定位能力是粗差探測的前提，而現有方法均沒有進行粗差發現和定位能力分析。本文首先采用判斷矩陣對其進行了理論分析，然后對結果在不同類型地面的DEM進行了試驗。根據試驗結果，任意2個判斷向量線性無關，判斷矩陣中沒有零元素，相關數等于多余觀測個數。試驗結果表明，DEM表面上無論多少粗差均具有發現和定位能力；基于LZD方法的DEM表面變形探測方法在理論上是完備的，可以正確地發現和定位粗差。

關鍵詞：粗差發現；粗差定位；判斷矩陣；相關數；LZD；DEM

無控制點DEM匹配差異探測是當前地學領域內的熱點和難點問題。隨著地面和機載激光掃描技術的發展，可以定期或根據需要對興趣地點進行重復掃描，獲取高分辨率的地面三維模型[1]。提取的多時相的DEM包含了豐富的地面變化信息，這是將其應用于滑坡等固體地球自然災害監測、防治的關鍵問題[2-3]。不借助地面控制點完成不同時期DEM的配準來探測地面變形的技術為該問題提供了自動化的解決途徑。

當前領域內最有代表性的DEM配準算法是最小高差算法(least Z-difference，LZD)，該方法采用最小二乘技術，能夠在不借助控制點的情況下完成2期DEM的配準。在此方法的基礎上，為了在有變形的情況下精確完成配準并確定地面變形的范圍和幅度，Pilgrim利用穩健估計中的M估計來替代最小二乘，提出M-LZD算法，能夠在不超過16%的情況下完成匹配[4]。更復雜的LMS估計和LTS估計也被引入到該領域，如LMS-LZD[5]和LTS-LZD[6]算法；為了進一步提升算法性能，表面局部不變特征[7]和變形量的空間關系[8]也被引入到該領域。隨著算法性能的提升，算法也越來越復雜。

利用穩健估計替代最小二乘算法，在匹配過程

中將表面變形作為粗差來對待，是這類方法共同的基本思想。從這個角度來看，探測表面變形的過程實際上就是匹配過程中觀測量粗差的探測過程。根據測量誤差處理理論，觀測量是否具備粗差發現和定位能力是任何粗差探測方法的前提[9-12]，對于不具備粗差定位能力的情況，任何方法準確定位其位置的概率不會超過50%[9]。這是關系到這一類基于穩健估計的LZD算法探測到的表面變形可靠性的基礎性問題。文獻[13]采用判斷矩陣對DEM中任意一個粗差能否發現和定位問題進行了一些探索，但DEM變形是一個區域，與之對應的粗差肯定不止一個。

考慮到LMS估計和LTS估計算法模型非常復雜，本文采用判斷矩陣中的相關數[14]，以這類算法中具有代表性的M-LZD算法為依托，對多個粗差發現和定位能力進行理論分析和模擬試驗研究。

一、M-LZD算法模型

LZD算法采用剛體轉換模型，采用七參數來描述表面間的轉換關系[15]，即表面轉換關系由3個旋轉參數(θx,θy,θz)、3個平移參數(Δx，Δy，Δz)和縮放系數組成，其算法模型可以表示如下

V=AX+dzw

(1)

(2)

式中，A為系數陣，并且列滿秩；V是改正數向量；X為待求轉換參數；dz為Z坐標差；Fxi,Fyi表示第i點的X和Y方向的坡度，xi,yi表示i點的平面坐標；w為對應觀測量的權，由M估計確定。

為方便描述起見，采用單變量來代替A中的元素，這樣A可以簡寫成

(3)

二、判斷矩陣和相關數

根據LZD算法的系數陣A，通過簡單的矩陣行變換可以得到判斷矩陣J[10]

(4)

(5)

判斷矩陣中6個判斷向量(J1-J6)可以求得6個粗差發現和定位相關數(以下簡稱“相關數”)(η1～η6)。根據文獻[9]

1. 判斷向量的線性相關性分析

判斷矩陣可以表達成判斷向量的形式

(6)

再令

(7)

將式(5)中各項代入J1—J7，并合并同類項系數，得

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

從式(8)—式(13)可以看出，判斷向量J1—J6的形式非常類似，因此討論6個判斷向量兩兩之間的線性相關性只需要討論任意2個判斷向量之間的線性相關性即可。以J1、J2為例進行討論。

假設

sJ1+tJ2=0(s、t為常數)

(14)

將式(8)、式(9)代入式(14)，并簡化系數得

(15)

根據式(6)和式(7)將上式展開，得

(16)

兩兩作差，并代入各單變量的具體形式，得

(17)

式(17)成立的條件可以根據系數全部為0或不全部為0分成2種情況來分析。顯然當系數全部為0時，判斷向量J1、J2線性無關；其他情況下，J1、J2線性相關。下面著重討論系數不全為0的情況，由于式(17)是和的形式，其成立的條件非常復雜，很難進行系統完善的分析。但顯然式(18)是式(17)成立的條件中的一個。

(18)

根據式中符號的物理含義，Fx和Fy是DEM表面上X、Y方向上的坡度。式(18)中前2條比較簡單，物理意義很明確，分別是DEM表面為X、Y方向的坡度分別相等，從DEM表面特征來看，也就是該表面在X、Y方向上是規則曲面。如果DEM確實為規則曲面，那么LZD數學模型中系數陣A(式(2))列秩虧，式(1)沒有唯一解，這種情況與LZD方法的要求矛盾。式(18)中的其他3個條件的物理含義不太明確，不便于分析，但是前2個條件不成立，式(18)肯定不成立。

對于式(17)中在系數不全為0時，其他成立條件很難通過嚴格的數學公式來進行分析。結合實際DEM特點對此進行討論。式(17)中包括DEM的平面坐標和表面坡度。對于實際的規則格網DEM而言，一方面DEM表面坡度與地形相關，沒有固定的變化規律；另一方面，平面坐標X、Y具有很強的規律。再考慮到式(17)中各個條件相互獨立，這樣式(17)在系數不全為零時通常不成立。

對于實際DEM而言，其包含的數據量一般非常大，這樣式(17)中包括的條件就非常多，由于這些條件相互獨立，因此要使得它們同時成立的情況非常罕見。因此，對于實際DEM匹配而言，其判斷向量J1、J2線性無關。類似的，可以證明J2和J3，J3和J4，J4和J5，J5和J6，J1和J6也線性無關。

2. 粗差發現和定位相關數分析

根據式(8)—式(13)，判斷矩陣的6個判斷向量(J1-J6)形式一致，對于其對應的6個相關數(η1-η6)分析可以任取其中的一個來進行分析。

(18)

三、試驗

為了對以上理論進行驗證，并兼顧試驗的代表性，選擇各種類型地形的DEM來進行模擬試驗(如圖1所示)。這些DEM是實際地形數據，為規則格網數據。格網間距為10m，大小為120×100像素，在試驗中作為基準DEM。待匹配DEM通過對基準DEM旋轉和平移后，并添加隨機誤差和變形得到。根據M-LZD算法的探測能力，添加變形為15%。試驗中添加的隨機誤差和粗差均服從正態分布N(0,σ)。

圖1　試驗模型

試驗中在DEM上均勻選取6個點作為必要觀測量，分別進行計算相應的判斷矩陣和相關數。限于篇幅，表1僅給出了其中一個判斷矩陣及其相關數。所有的試驗結果中，任意2個判斷向量均線性無關，這表明DEM表面存在任意一個粗差都具備發現和定位能力；在判斷矩陣中沒有出現零元素的情況，相關數均等于多余觀測量的個數，這表明最多可以發現粗差的個數為多余觀測數的一半，可以定位的粗差比可以發現粗差個數少一個。

表1　判斷矩陣和相關數

根據上面的試驗結果，在實際應用中只要DEM表面變形的比例不超過50%，均可以發現和定位。本文6組數據的測試結果也表明，添加的15%的變形均被準確定位，因此M-LZD算法中DEM表面變形具備可探測性，算法確定的變形是可靠的。

四、結論

采用判斷矩陣對基于LZD算法的DEM表面粗差發現和定位能力進行理論分析，并進行了試驗驗證，結果表明DEM表面具有粗差發現和定位能力，因此基于LZD方法將表面變形作為粗差來處理的方法在理論上是完備的，可以正確地發現和定位粗差。

采用各種類型的DEM進行了一系列的模擬試驗，不同DEM上的試驗結果一致，并與理論分析相符。試驗結果表明任意2個判斷向量之間均是線性無關的；判斷矩陣中沒有出現零元素，相關數與多余觀測數相等。

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Analysis of Surface Deformation Detectability Based on M-LZD Algorithm

ZHANG Tonggang，CEN Minyi，REN Zizhen，JIN Guoqing

收稿日期：2015-06-23； 修回日期： 2016-01-04

基金項目：中國鐵路總公司重大科研項目(2014G004-B)；中國鐵路總公司科研試驗任務(Z2013-038-5)；長江學者和創新團隊發展計劃(IRT13092)

作者簡介：張同剛(1977—)，男，博士，副教授，研究方向為數字攝影測量與模式識別。E-mail：swjtuztg@gmail.com

中圖分類號：P237

文獻標識碼：B

文章編號：0494-0911(2016)06-0010-04

引文格式: 張同剛，岑敏儀，任自珍，等． M-LZD 算法中表面變形的可探測性分析[J]． 測繪通報，2016 ( 6) : 10-13． DOI: 10． 13474 /j． cnki． 11-2246． 2016． 0179．