在裂紋尖端引入奇異單元的偶應力有限元法

周曉敏　溫慶陽

摘要： 針對在微觀狀態下結構力學行為會受尺度效應影響的問題，在偶應力理論中考慮微觀結構的旋轉梯度可以較好解釋結構的尺度效應.建立基于一般偶應力理論的有限元法的基本方程，并在裂紋尖端引入奇異單元，計算受單向拉伸的中心斜裂紋板裂紋尖端場的應力強度因子（Stress Intensity Factor，SIF），分析特征長度變化對SIF的影響，對比偶應力理論下的結果與經典理論下的結果.結果表明：在裂紋尖端引入奇異單元可以提高計算精度和穩定性；偶應力使得裂紋尖端SIF比經典理論下的值小，并且SIF隨著特征長度增大而減小.

關鍵詞： 微觀結構； 偶應力； 旋轉梯度； 奇異單元； 應力強度因子； 有限元法； 尺度效應

中圖分類號： TU452； O344.3文獻標志碼： A

Couple stress finite element method using

singular element at crack tip

ZHOU Xiaomin， WEN Qingyang

（School of Architectural and Surveying & Mapping Engineering， Jiangxi University of Science and Technology，

Ganzhou 361000， Jiangxi， China）

Abstract： As to the issue that the mechanical behavior of microstructure may be affected by the scale effect， the couple stress theory can explain the scale effect very well by considering the effect of rotating gradient. The basic equation of finite element method is built based on the general couple stress theory and the singular element is introduced into crack tip. The Stress Intensity Factor（SIF） of the crack tip field of a plate with incline center crack in uniaxial tension is calculated， and the effect of characteristic length on the SIF is analyzed； the results obtained by the couple stress theory and the classical theory are compared. The results show that， the calculation accuracy and stability can be improved by introducing singular element into crack tip， the SIF obtained by couple stress is less than that determined by the classical theory， and the SIF increases with the decrease of the value of characteristic length.

Key words： microstructure； couple stress； rotating gradient； singular element； stress intensity factor； finite element method； size effect

收稿日期： 2015[KG*9〗11[KG*9〗29修回日期： 2016[KG*9〗01[KG*9〗19

基金項目： 國家自然科學基金（41462009）；江西省自然科學基金（20151BAB206025）； 江西省教育廳科學技術研究項目（GJJ150628， GJJ150629）

作者簡介： 周曉敏（1988—），女，江西吉水人，助教，碩士，研究方向為計算力學和結構強度分析，（Email） zhouxmim@126.com0引言

在微觀狀態下，結構的特征尺寸與材料的特征長度處于相近數量級，材料缺陷（微裂紋）處不同點之間的相互作用不可忽略，因此結構將出現傳統連續介質理論無法解釋的尺度效應現象.此時，建立基于連續介質框架、考慮尺度效應的本構模型就成為聯系經典連續介質力學和微觀力學之間的橋梁.偶應力理論就是在此背景下發展起來的應變梯度理論的一種.COSSERAT兄弟[1]提出一般偶應力理論，將材料的特征長度和第二切變模量引入結構的本構關系中，系統建立考慮偶應力影響時的本構模型，解釋材料的尺度效應現象.基于偶應力理論的力學問題只有極少數問題有解析解，一般采用有限元法及擴展有限元法（Extended Finite Element Method， XFEM）研究.趙勇等[2]和齊磊等[3]采用有限元法研究考慮偶應力影響下的小孔應力集中問題.王勝軍[4]基于有限元法給出一般偶應力理論與轉動約束偶應力理論的異同.張敦福等[56]和吳延峰等[7]采用有限元法分析考慮偶應力理論情況下的巖石剪切帶等問題.趙冰等[8]采用有限元法分析微梁彎曲的尺度效應.徐慧等[9]和侯日立等[10]采用有限元法研究單向拉伸裂紋板.茹忠亮等[11]給出擴展有限元法在斷裂力學問題上的應用.吳圣川等[1213]對斷裂力學問題及其CAE軟件的現狀和發展給出系統的綜述，并且基于成熟的擴展有限元法和自主研發的虛節點法推出具有完全自主知識產權的三維疲勞裂紋擴展分析軟件ALOF.霍金東等[14]采用Abaqus的XFEM功能對折彎片的斷裂問題進行仿真.陳星文[15]運用XFEM分析三維高壓管道中的裂紋擴展問題.

由于裂紋尖端應力場具有奇異性，計算結果受網格劃分影響較大.BARSOUM[16]提出奇異單元，并應用于斷裂力學中裂紋尖端應力場的求解，提高有限元法計算斷裂問題的精度和穩定性，避免裂紋尖端區域網格劃分困難.沈輝等[17]研究奇異單元有限元法計算精度受網格劃分的影響情況.李堯臣等[18]提出引入位移協調奇異單元的有限元法.林廣平等[19]構造三維奇異單元.段慶全等[20]采用奇異單元分析裂紋擴展問題.

本文研究裂紋尖端應力強度因子（Stress Intensity Factor，SIF）的尺度效應現象，將一般偶應力理論與有限元法相結合，并在裂紋尖端引入奇異單元，分別分析含邊裂紋的三點受力梁和受單向拉伸的中心斜裂紋板的裂紋尖端SIF，給出偶應力和奇異單元對SIF的影響，并分析特征長度與裂紋長度比值變化對SIF的影響規律.

1分析方法

基于一般偶應力理論的平面應力單元（見圖1），微元上作用的單位面積力和單位面積力偶的直角分量分別為（σx，σy，τxy，τyx）和（μx，μy）.

圖 1考慮偶應力的微元體

Fig.1Microelement considering couple stress

分析考慮偶應力影響的平面彈性問題時，切應力不再具有互等性，需在每個平面微元中增加2個偶應力項，因此偶應力理論下的平衡方程需要在傳統彈性力學的基礎上進行相應修改，即為σxx+τyxy=0

τxyx+σyy=0

μxx+μyy+τxy-τyx=0 （1）剪切應變εyx和εxy示意見圖2.在微元體中，由于偶應力的存在，微元體會有微轉動出現，產生彎曲效應，并引發微轉角ωz.

a） εyxb） εxy圖 2剪切應變εyx和εxy

Fig.2Shear strains εyx and εxy

彎曲效應所產生的曲率使εxy≠εyx，剪應力互等定理不再成立.微元幾何方程為εx

式中：E為彈性模量；v為泊松比；G為剪切模量；Gc為第二剪切模量；l為材料的特征長度，是為平衡一般偶應力理論中應變和應變梯度的量綱而引入的材料常數.l具有長度的量綱，是一種依賴于材料微觀結構形態的特征常數，其大小取決于材料的微結構，不受外界約束或載荷影響.[5]

力邊界條件為fx

fy

=[nm]σxτxyμx

τyxσyμy （4）式中：n和m為邊界的外法線方向余弦；fx和fy為邊界上已知的面力；為邊界上已知的面力偶.

位移邊界條件為u=

ωz=z （5）式中：和z分別為邊界上已知的位移和轉角.

為更好地描述裂紋尖端處應力場的奇異性，在裂紋尖端引入奇異單元.裂紋尖端劃分的等參奇異三角形單元見圖3，坐標原點設于裂紋尖端點，采用極坐標（r，θ）表示，將單元中與裂紋尖端相連邊界上的節點移至邊長的1/4處.a）奇異單元節點分布b）裂紋尖端坐標系及節點布置

三角形奇異單元的形函數可以由劃線法得到.形函數為N1=（4ξ+4η-1）（ξ+η-1）

2數值算例

2.1含邊裂紋的3點受力梁

含邊裂紋3點受力梁模型見圖4，其中：梁長L=8 m，梁高h=1 m，截面為正方形；在梁的中心沿高度方向有一長度為a=0.5 m的單邊裂紋，在裂紋延長線與上表面的交點處作用有大小為F=10 kN的集中載荷.材料的彈性模量E=200 GPa，切變模量G=E/2（1+v），泊松比v=0.3，第二切變模量取Gc=G，特征長度與梁高比l/h=0.001.

圖 4含邊裂紋的3點受力梁模型

Fig.4Model of threepoints bending beam with edge crack

經典理論解、傳統有限元解以及考慮奇異單元和偶應力下計算得到的含邊裂紋三點受力梁模型SIF的結果比較見表1.由此可以看出：相對于未考慮奇異單元法的結果，采用奇異單元法得到的SIF更接近理論解；考慮一般偶應力理論后，裂紋尖端SIF要小于未考慮偶應力的值.

表 1不同方法得到應力強度因子

Tab.1Results of SIF obtained by different methods

kPa/m2求解方法SIF經典理論[21]213.0傳統有限元191.8奇異單元211.8偶應力有限元177.5偶應力奇異單元201.3

2.2單向受拉中心斜裂紋板

兩端受大小為σ=10 kPa均布力拉伸的中心斜裂紋板見圖5，其中：板寬w=2 m，高h=2.5 m，裂紋長2a=0.2 m，與水平面夾角α=45°.圖 5單向受拉中心斜裂紋板模型

Fig.5Model of plate with incline center crack in

uniaxial tension

裂紋尖端附近單元有限元網格劃分見圖6.材料的彈性模量E=200 GPa， 泊松比v=0.3，取特征長度與裂紋半長的比值l/a=1，第二切變模量與切變模量比值Gc/G=0.5[5]；KI=KI/K0，KII=KII/K0分別為無量綱化I型和II型SIF，其中K0=σπa.

圖 6裂紋尖端附近單元有限元網格劃分

Fig.6Finite element mesh around crack tip

在不考慮偶應力影響的條件下，采用解析法得到的經典理論解見表2.整體采用8節點四邊形單元劃分得到的8節點等參元解，整體采用8節點四邊形單元劃分后在裂紋尖端采用奇異單元劃分得到奇異單元解.由表2可見：在相同網格劃分密度下，采用奇異單元求得的復合型裂紋的I型和II型SIF相對于僅采用8節點等參元得到的結果具有更高的精度.

表 2I型和II型SIF

Tab.2SIF of type I and II求解方法KIKII經典理論[21]0.5000.5008節點等參元0.4140.416奇異單元0.4830.500

考慮偶應力影響的情況下不同特征長度對I型和II型SIF的影響見表3.由此可知：在不同的特征長度下，考慮偶應力影響計算得到的I型和II型SIF會隨著特征長度與裂紋長度之比的增加而減??；當特征長度與結構尺寸處于相近數量級時，尺度效應明顯；當特征長度遠小于結構尺寸時，偶應力對計算結果的影響較小.

3結論

本文將奇異單元、偶應力理論和有限元法相結合，給出在裂紋尖端使用奇異單元的一般偶應力理論有限元法，得出如下主要結論.

（1）在同等網格劃分密度下，采用奇異單元法得到的裂紋尖端SIF相對于僅采用8節點四邊形單元得到的結果更接近理論解.

（2）考慮一般偶應力理論后會減小裂紋尖端SIF的值；隨著特征長度的減小，SIF減??；在特征長度與裂紋半寬處于相近數量級時，SIF受特征長度影響明顯；當特征長度遠大于裂紋半寬時，SIF受特征長度改變影響較小.參考文獻：

[1]COSSERAT E， COSSERAT F. Théorie des corps déformables[M]. Paris： Cornell University Library， 1909： 242246.

[2]趙勇， 張若京. 基于Cosserat理論的小孔應力集中問題的有限元分析[J]. 力學季刊， 2009， 30（3）： 410414.

ZHAO Y， ZHANG R J. Finite element analysis of stress concentration problem based on Cosserat theory[J]. Chinese Quarterly of Mechanics， 2009， 30（3）： 410414.

[3]齊磊， 張若京. 基于Cosserat理論的平面等參元[J]. 計算機輔助工程， 2010， 19（1）： 1216. DOI： 10.3969/j.issn.10060871.2010.01.005.

QI L， ZHANG R J. Plane isoparametric element based on Cosserat theory[J]. Computer Aided Engineering， 2010， 19（1）： 1216. DOI： 10.3969/j.issn.10060871.2010.01.005.

[4]王勝軍. 關于彈性偶應力C0和C1理論及有限元[D]. 大連： 大連理工大學， 2008.

[5]張敦福， 王相玉， 李術才. 偶應力對含充填層狀巖體邊界層效應的影響[J]. 巖石力學與工程學報， 2011， 30（S1）： 32873294.

ZHANG D F， WANG X Y， LI S C. Interfaces boundary layer effect analysis of jointed rock mass with inclusion based on couple stress theory[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2011， 30（S1）： 32873294.

[6]張敦福， 王相玉， 朱家明， 等. 偶應力對層狀巖體結構面邊界層效應的影響[J]. 巖土力學， 2012， 33（7）： 21812188. DOI： 10.3969/j.issn.10007598.2012.07.039.

ZHANG D F， WANG X Y， ZHU J M， et al. Influence of couple stress on interfaces boundary layer effect of layered rock mass[J]. Rock and Soil Mechanics， 2012， 33（7）： 21812188. DOI： 10.3969/j.issn.10007598.2012.07.039.

[7]吳延峰， 張敦福， 張波， 等. 拉力型錨桿錨固界面剪應力分布偶應力理論分析[J]. 巖土力學， 2013， 34（S1）： 187192.

WU Y F， ZHANG D F， ZHANG B， et al. Analysis of shear stress near anchorage interface of tensiletype anchor with couple stress theory[J]. Rock and Soil Mechanics， 2013， 34（S1）： 187192.

[8]趙冰， 鄭穎人， 陳淳. Cosserat理論的有限元實現及微梁彎曲的尺寸效應模擬[J]. 長沙理工大學學報（自然科學版）， 2010， 7（4）： 3742. DOI： 10.3969/j.issn.16729331.2010.04.007.

ZHAO B， ZHENG Y R， CHEN C. Finite element method implementation of Cosserat theory and scale effect simulation of microbeam[J]. Journal of Changsha University of Science and Technology （Natural Science）， 2010， 7（4）： 3742. DOI： 10.3969/j.issn.16729331.2010.04.007.

[9]徐慧， 伍曉贊， 程仕平， 等. 復合裂紋的應力強度因子有限元分析[J]. 中南大學學報（自然科學版）， 2007， 38（1）： 7983. DOI： 10.3969/j.issn.16727207.2007.01.016.

XU H， WU X Z， CHENG S P， et al. Finite element analysis of stress intensity factor in composite mode crack[J]. Journal of Center South University （Science and Technology）， 2007， 38（1）： 7983. DOI： 10.3969/j.issn.16727207.2007.01.016.

[10]侯日立， 趙陽， 趙東， 等. 帶裂紋板單向拉伸極限承載力有限元研究[J]. 固體力學學報， 2010， 31（S1）： 270274.

HOU R L， ZHAO Y， ZHAO D， et al. The finite element study of ultimate bearing capacity of centercracked plate[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics， 2010， 31（S1）： 270274.

[11]茹忠亮， 朱傳銳， 張友良， 等. 斷裂問題的擴展有限元法研究[J]. 巖土力學， 2011， 32（7）： 21712176. DOI： 10.3969/j.issn.10007598.2011.07.042.

RU Z L， ZHU C R， ZHANG Y L， et al. Study of fracture problem with extend finite element method[J]. Rock and Soil Mechanics， 2011， 32（7）： 21712176. DOI： 10.3969/j.issn.10007598.2011.07.042.

[12]吳圣川， 吳玉程. 斷裂分析及CAE軟件的現狀與發展[J]. 計算機輔助工程， 2011， 20（1）： 12. DOI： 10.3969/j.issn.10060871.2011.01.001.

WU S C， WU Y C. Present situation and development of fracture analysis and CAE software[J]. Computer Aided Engineering， 2011， 20（1）： 12. DOI： 10.3969/j.issn.10060871.2011.01.001.

[13]吳圣川， 吳玉程. ALOF： 新一代三維疲勞裂紋擴展分析軟件[J]. 計算機輔助工程， 2011， 20（1）： 136140. DOI： 10.3969/j.issn.10060871.2011.01.031.

WU S C， WU Y C. ALOF： new 3D fatigue crack propagation analysis software[J]. Computer Aided Engineering， 2011， 20（1）： 136140. DOI： 10.3969/j.issn.10060871.2011.01.031.

[14]霍金東， 王濤， 柳占立， 等. 基于XFEM的折彎片斷裂仿真[J]. 計算機輔助工程， 2013， 22（S2）： 1114. DOI： 10.3969/j.issn.10060871.2013.z2.003.

HUO J D， WANG T， LIU Z L， et al. Fracture simulation of bending sheet based on XFEM[J]. Computer Aided Engineering， 2013， 22（S2）： 1114. DOI： 10.3969/j.issn.10060871.2013.z2.003.

[15]陳星文. XFEM在高壓管道裂紋擴展計算中的應用[J]. 計算機輔助工程， 2015， 24（4）： 5660. DOI： 10.13340/j.cae.2015.04.012.

CHEN X W. Application of XFEM in highpressure pipe crack propagation calculation[J]. Computer Aided Engineering， 2015， 24（4）： 5660. DOI： 10.13340/j.cae.2015.04.012.

[16]BARSOUM R S. Triangular quarterpoint elements as elastic and perfectlyplastic crack tip elements[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1977， 11（1）： 8598. DOI： 10.1002/nme.1620110109.

[17]沈輝， 周儲偉. 平面六節點等參應力奇異單元的精度研究[J]. 機械強度， 2012， 34（3）： 410414.

SHEN H. ZHOU C W. Study on the accuracy of plane sixnode isoparametric stress singular element[J]. Journal of Mechanical Strength， 2012， 34（3）： 410414.

[18]李堯臣， 王自強. 在裂紋尖端引入位移協調奇異單元的有限單元法[J]. 上海力學， 1983， 4（3）： 7999. DOI： 10.15959/j.cnki.0254 0053.1983.03.009.

LI Y C， WANG Z Q. The finite element method by using the singular element with concordant displacement at the crack tip[J]. Shanghai Mechanics， 1983， 4（3）： 7999. DOI： 10.15959/j.cnki.0254 0053.1983.03.009.

[19]林廣平， 梅甫良. 12結點三維等參奇異單元的構造和應用[J]. 計算力學學報， 2009， 26（2）： 282286.

LING G P， MEI F L. Creation and application of a new type of threedimensional isoparametric singular element with 12 nodes[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics， 2009， 26（2）： 282286.

[20]段慶全， 于國鵬， 張宏. 管道疲勞裂紋擴展數值模擬[J]. 石油化工設備， 2009， 38（2）： 2327. DOI： 10.3969/j.issn.10007466.2009.02.008.

DUAN Q Q， YU G P， ZHANG H. Numerical simulation of pipe fatigue crack propagation[J]. PetroChemical Equipment， 2009， 38（2）： 2327. DOI： 10.3969/j.issn.10007466.2009.02.008.

[21]中國航空研究院. 應力強度因子手冊[M]. 北京： 科學出版社， 1981： 188189.

（編輯武曉英）