抵償高程面上的坐標換算

王文忠（河北省地礦局第十一地質大隊，河北邢臺 054000）

抵償高程面上的坐標換算

王文忠?
（河北省地礦局第十一地質大隊，河北邢臺 054000）

在高海拔或高程變化較大的地區進行工程測量時，為了限制投影變形，一般采用具有抵償高程面的工程坐標系。本文通過分析工程橢球與國家參考橢球之間的內在聯系與差異，推導了工程橢球大地坐標的改正值公式，給出了工程橢球的建立方法及坐標換算方法，從而保證順利地建立具有抵償高程面的工程坐標系。

抵償高程面；抵償帶；工程橢球；直接法坐標換算

1 引 言

在工程測量實踐中，為了保持地面實際邊長與高斯投影邊長的一致，方便成果應用和放樣施工，相關規范均對長度變形值做出了限制，一般要求邊長相對變形值小于 2.5 cm/km。在高原地區或地形起伏較大的山區丘陵地帶，采用國家統一坐標系統難以滿足規范要求，需要具體分析測區地形變化情況，建立具有高程抵償面的高斯投影平面直角坐標系。

2 投影變形規律

地面邊長的投影變形值主要由兩方面因素引起，即地面長度歸算到參考橢球面上的變形和參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上的變形。

2.1 地面長度歸算到參考橢球面上的變形

實測邊長所在的平均高程面與參考橢球面存在高差，當邊長向參考橢球面歸算時，其邊長變形值為△S1:

其相對變形為:

Hm為歸算邊長的平均大地高，S為歸算邊的長度，R為參考橢球法截弧曲率半徑（其概值約為 6 371 km）。由相對變形式（2）可知，隨著地面大地高的增加，邊長歸算變形成比例增加，當Hm超過 159 m時，造成的相對變形值已超過1/40000，不能滿足規范要求。

2.2 參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上的變形

距離中央子午線愈遠的區域，邊長經高斯投影后長度變形越大，其變形值為△S2:

投影邊長的相對變形為:

ym為歸算邊端點平均東坐標值，Rm為參考橢球平均曲率半徑，S0為歸算邊長。由式（4）可見，相對變形值與ym的平方成正比，隨著ym的增加而迅速變大，當ym超過 45 km后，相對變形值大于1/40000。

2.3 地面邊長歸算到高斯投影面的組合影響

地面邊長歸算到高斯投影面上的變形值是以上兩種變形因素的疊加結果，其值為△S:

相對變形為:

由式（5）可見，當Hm為正值時，兩種變形具有相互抵償的性質，可在一定程度上抵消長度變形。

3 抵償高程面的計算

在高原地區或地形起伏山區丘陵地帶，采用國家統一3°帶、1.5°帶已不能滿足規范對長度變形的限制要求，此時應選擇抵償投影面進行坐標投影計算，可采用如下方案:

方案1:采用具有抵償高程面的國家統一分帶高斯正形投影，適用于測區起伏不大的高原地區。

方案2:采用具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影，適用于山區丘陵或遠離中央子午線的高原測區。

? 收稿日期:2015—06—19

作者簡介:王文忠（1978—），男，工程師、注冊測繪師，主要從事工程測量、GPS數據處理等。

則得到一條滿足邊長變形要求的抵償帶，抵償帶以中央子午線為對稱軸；抵償帶的寬度隨著測區遠離中央子午線而迅速變窄，如圖1所示；并且由圖1可見，當測區高于抵償高程面約 150 m時，抵償帶的寬度達到最大，這正是兩種變形互相抵償的結果。

圖1　抵償帶示意圖

將線狀工程繪制在抵償帶示意圖上，可以觀察工程線路曲線是否包含于抵償帶內，從而判斷其是否滿足變形要求。若不滿足變形要求，可以通過移動中央子午線或抵償高程面的方法得到一個最佳具有抵償高程面的任意帶高斯投影平面直角坐標系，在此工程坐標系下，測區所有位置長度變形滿足規范要求。如果測區較大或較為狹長，采用單個具有抵償高程面的任意帶高斯投影平面直角坐標系不能滿足要求，則應將測區劃分，采用多個具有抵償高程面的任意帶高斯投影平面直角坐標系。

4 抵償高程面上的坐標換算

4.1 工程橢球的建立

采用具有抵償高程面的坐標系，需要建立適合測區的工程橢球。工程橢球的建立采用橢球膨脹法，即保持參考橢球的定位、定向和扁率不變，改變參考橢球的半長軸，使新的工程橢球參考面通過測區平均高程面。新橢球半長軸變化量為△a，其計算參照如下公式:

△a為半長軸變化值，Hm為地面平均高程（大地高），Bm為測區平均緯度。

4.2 同一地面點在工程橢球和國家參考橢球上大地坐標的差異

地面點在工程橢球上的大地坐標發生了改變，直觀解釋即兩個橢球并非處處平行。地面點大地坐標改變量的計算公式，可由大地坐標微分式（8）進行推導得出。因為工程參考橢球的定位、定向和扁率不變，所以在微分式（8）中，令平移參數（△X、△Y、△Z）、旋轉參數（εx、εy、εz）、橢球扁率差△f、尺度參數m均為0，即可求得地面點在工程橢球上的大地坐標改變量，見式（9）。

大地坐標微分式（8）:

其中:△B，△L，△H——同一點位在兩個坐標系下的緯度差、經度差、大地高差，經緯度差單位為弧度，大地高差單位為m；

ρ=180×3600/π——弧度秒；

△a——橢球長半軸差，單位為m；

△f——扁率差，無量綱；

△X，△Y，△Z——平移參數，單位為m。

εx，εy，εz——旋轉參數，單位為弧度；

m——尺度參數，無量綱。

地面點在工程橢球的大地坐標改正值計算公式，實際上是大地坐標微分公式的一種特殊情況，如下:

由式（9）可知，同一地面點在兩個參考橢球系下的經度值一致，緯度值與大地高均發生了變化。

4.3 實用的坐標換算方法

國家平面坐標系到工程坐標系的坐標轉換可采用直接法坐標換算（不涉及假設測區坐標原點），有兩種方法可采用。

坐標換算方法1:國家平面坐標系的投影坐標先轉換成國家參考橢球下的大地經緯度，再依照式（9）進行工程橢球下的大地坐標改正，最后由工程橢球的大地坐標計算其在工程橢球上的高斯投影坐標，即遵循下面流程:坐標換算方法2:國家平面坐標系的投影坐標先轉換成國家參考橢球下的大地經緯度，大地經緯度再轉換至國家坐標系下的空間直角坐標，因為國家參考橢球和工程橢球定位、定向一致，所以同一地面點在工程橢球上的空間直角坐標與國家統一坐標系下的空間直角坐標一致。此時，將測點的空間直角坐標轉換為工程橢球上的大地坐標，再轉換為工程橢球上的高斯投影坐標即可，遵循的流程為:

不管采用哪種計算方案，均需要首先根據△a及新的橢球半長軸計算新的橢球常數，用于高斯坐標正反算和大地坐標到空間直角坐標的計算，計算公式不一一列舉。具體計算時，可以通過編程或采用第三方軟件計算橢球常數、并進行高斯投影正反算和空間直角坐標的計算。

5 計算實例

某工程收集到國家統一坐標系下的已知點8個，中央子午線114°，平均緯度37°，為了方便利用，須將其坐標轉換到中央子午線為114°、投影面高程為500 m的工程橢球上。已知點在國家統一坐標系下的高斯投影坐標及大地坐標如表1所示:

經直接法坐標換算，計算出的已知點在工程坐標系下的大地坐標及高斯投影坐標如表2所示:

已知點在國家坐標系中的坐標 表1

已知點在工程坐標系中的坐標 表2

坐標換算后，控制點的工程坐標已滿足長度變形的限制要求，可以作為下一步加密、放樣的起算點。而且，通過對比表1和表2的大地坐標，發現同一地面點在兩個坐標系中的大地緯度有差異，這與理論推導結果一致。因此，在坐標換算時，我們不能假設同一點在兩個橢球中的大地經緯度不變。

6 結 論

直接法坐標換算理論嚴密、計算方便，適用于在國

家坐標系和工程坐標系之間進行坐標換算。通過實例計算，驗證了式（9）中論及的同一地面點在兩個坐標系下大地緯度的差異性。

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Coordinate Conversion of the Compensating Surface

Wang Wenzhong
（The Eleventh Geological Brigade，Hebei Province Bureau of Geology and Mineral Resources，Xingtai 054000，China）

In high altitude or elevation changes in the larger area of engineering measurement，in order to limit the projection deformation，use is generally compensated height surface engineering coordinate system.Is deduced in this paper，through the analysis of the inherent relationship and difference between engineering ellipsoid and the national reference ellipsoid engineering ellipsoid geodetic coordinate correction value formula and gives the engineering ellipsoid establishment method and the method of coordinate conversion，so as to ensure the smooth established with compensation height surface engineering coordinate system.

compensating surface；compensation belt；engineering ellipsoid；direct method of coordinate conversion

1672-8262（2016）02-113-04中圖分類號：P226+.3

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