為何要學習因式分解

葉軍

為何要學習因式分解

葉軍

在學習“因式分解”時，不少同學總是不明白“為什么”要學習因式分解；學會了的同學大多只是記住了分解的步驟，“知其然而不知其所以然”，甚至過一段時間就會忘記.種種困惑，其實是對這一部分內容沒有透徹的理解.本文采用“自問自答”的形式，對因式分解的相關內容作一點剖析，希望對初學者有所幫助.

1.如何區別因式分解和整式乘法？

一般地，多項式有兩種表示形式：和的形式、積的形式.如果用“項鏈”比作和的形式，那么不妨也用“磁鐵”來表示積的形式.借助于以上比喻，整式乘法是把多項式算成“項鏈”，而因式分解需要算成“磁鐵”的形式.

因式分解是整式的一種恒等變形，其涉及的運算有：加減法和乘法，其基本原理是基于分配律的逆用.因此，因式分解是整式乘法的逆過程.它們有如下的區別：

（1）運算的結果形式不同.因式分解要求多項式化成整式之積的形式；而整式的乘法要求結果是單項式的和的形式.

（2）所用方法不同.整式乘法是基于分配律的乘法運算，由此可以得出一系列重要的公式，比如平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，等等.這些公式可以極大地簡化運算步驟，提高效率.因式分解是基于分配律的逆用，采用的方法較多，最基本的有提取公因式法、公式法（公式又有很多）等等.這些方法，都是后人為了使得分解進行下去而總結提煉的結果，如果多掌握一點，可以提高運算的效率，領略代數計算的魅力.

（3）適用范圍不同.理論上講，不管多復雜的整式的乘法運算，都可以得到最后的“和的形式”.但對于因式分解，不是任何多項式都可以因式分解的.不能分解的多項式，叫作“不可約多項式”，一次多項式就不能再分解了，因此所有的一次多項式都是不可約多項式，比如x+y，a-b+1等.初中階段更多地關注含有一個字母的二次多項式可不可以分解，其一般形式為ax2+bx+c，一般地，我們可以用根的判別式Δ=b2-4ac的符號進行判定：如果Δ≥0，則ax2+bx+c可以在實數范圍內分解；如果Δ<0，則不可以在實數范圍內分解.這里，“在實數范圍內分解”，或“在有理數范圍內分解”的意思是：分解后的因式的系數是實數或有理數.在不同的學習階段，因式分解的要求有所不同，比如初一剛學習因式分解，我們還不認識有理數之外的無理數，因此可以分解x2-4，x2-x-2這樣的多項式，諸如x2-3，x2-x-1這樣的式子則不能分解.但是到了初二，認識了無理數之后，x2-3，x2-x-1又可以分解了.到了初三，我們就能很明白，為何x2-x+2不能因式分解.我們看一個例子.

例1（1）在有理數范圍內分解因式x4-4；

（2）在實數范圍內分解因式x4-4.

解：（1）x4-4=（x2+2）（x2-2）.

（2）x4-4=（x2+2）（x2-2）=（x2+2）（x+（x-）.

在高中學習了復數之后，上式還可以分解：

x4-4=（x2+2）（x2-2）=（x+√2i）（x-）（x+（x-）.

事實上，由代數基本定理可知，復數域上的不可約多項式只有一次因式，實數域上的不可約多項式是一次多項式和二次多項式.

2.因式分解要注意哪些事項？

首先，要注意因式分解的一般步驟，即：先提“凈”公因式，再使用其他方法.因式分解就是把多項式分解為次數較低的多項式之積.因此提取公因式以后，所剩因式的次數會降低，便于運算.請比較下面例題的兩種解法孰優孰劣.

例2分解因式4x4-64.

解1：4x4-64=（2x2+8）（2x2-8）=4（x2+4）（x2-4）=4（x2+4）（x-2）（x+2）.

解2：4x4-64=4（x4-16）=4（x2+4）（x2-4）=4（x2+4）（x-2）（x+2）.

其次，分解要徹底.上面提到的先提取公因式的方法，是分解徹底的有力保證，否則后面還不得不提取新的公因式.另外，方法的選擇也很重要.

例3 分解因式a6-b6.

解1：a6-b6=（a2）3-（b2）3=（a2-b2）（a4+a2b2+b4）=（a+b）（a-b）（a4+a2b2+b4）.

解2：a6-b6=（a3）2-（b3）2=（a3+b3）（a3-b3）=（a+b）（a-b）（a2-ab+b2）（a2+ ab+b2）.

很顯然，解法1分解不徹底，解法2則是正確的解法.也就是說，多項式a4+a2b2+b4還可以繼續分解：a4+a2b2+b4=（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）.補充過程如下：

a4+a2b2+b4=（a4+2a2b2+b4）-a2b2=（a2+b2）2-（ab）2=（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）.

再次，分解因式要求每個因式盡量化簡，而且結果的形式要求最簡.

例4分解因式81x4-72x2y2+16y4.

錯解：81x4-72x2y2+16y4=（9x2-4y2）2=［（3x+2y）（3x-2y）］2.

不難看到，上面的錯誤在于，結果需要使用“積的乘方公式”算出來，即：

81x4-72x2y2+16y4=（9x2-4y2）2=［（3x+2y）（3x-2y）］2=（3x+2y）2（3x-2y）2.

另外，我們還要避免出現“算回去”之類的錯誤.

3.因式分解還有其他方法嗎？

目前教材上介紹的方法只有提公因式法與公式法，其實公式法還有更多的其他公式，我們在此推介立方和與立方差公式（已經在例3中用過一次了）：

a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）.

其他還有：分組分解法、十字相乘法、拆項添項法、待定系數法、因式定理法、換元法.限于篇幅，我們僅通過一個問題來了解拆項添項法.

例5分解因式：x3+2x2-5x-6.

解1：（拆二次項）

原式=（x3+x2）+（x2-5x-6）=x2（x+1）+（x+1）（x-6）=（x+1）（x2+x-6）=（x+1）（x-2）（x+3）.

解2：（拆一次項）

原式=（x3+2x2-8x）+（3x-6）=x（x2+2x-8）+3（x-2）=x（x-2）（x+4）+3（x-2）=（x-2）（x2+4x+3）=（x-2）（x+1）（x+3）.

解3：（拆常數項）

原式=（x3+1）+（2x2-5x-7）=（x+1）（x2-x+1）+（x+1）（2x-7）=（x+1）（x2-x+1+2x-7）=（x+1）（x2+x-6）=（x+1）（x-2）（x+3）.

解4：（拆二次項與一次項）

原式=（x3+x2）+（x2+x）-（6x+6）=x2（x+1）+x（x+1）-6（x+1）=（x+1）（x2+x-6）=（x+1）（x-2）（x+3）.

以上介紹了不同的拆項方法，其目的都是為了能繼續分解，你不妨沿著這一思路想想，能不能想一個屬于自己的方法？

需要說明的是，不同的方法之間是相通的.比如公式a2-b2=（a2-ab）+（ab-b2）= a（a-b）+b（a-b）=（a-b）（a+b）的產生過程，就用到了添項法（0=ab-ab）.x2+3x+2=（x2+ x）+（2x+2）=（x+1）（x+2），由此可見，十字相乘法也可是說是拆項法.

4.因式分解有哪些應用？

因式分解的主要功能就是讓多項式出現因式，因此不會因式分解就無法順利進入初二學習分式的約分和通分運算；對于一些方程問題，因式出現了，解方程就可以進行下去.所以，在學習“分式”、“一元二次方程”等內容時，都需要隨時使用因式分解的變形技巧.一些算術運算也會用到因式分解技巧.

例6（4x2-9）÷（3-2x）=（2x+3）（2x-3）÷［-（2x-3）］=-（2x+3）=-2x-3.

例7求方程xy-x-y=5滿足x

解：方程兩邊同加1，xy-x-y+1=6，即（x-1）（y-1）=6，因為x、y都是正整數，且x<

（作者單位：江蘇省南京師大附中江寧分校）