幾何分布定數截尾步加試驗的最優設計*

金瑩

（河南財經政法大學統計學院，河南　鄭州　450046）

幾何分布定數截尾步加試驗的最優設計*

金瑩

（河南財經政法大學統計學院，河南鄭州450046）

在逐步type-II結尾場合下，研究產品簡單步進應力加速壽命試驗的優化設計。假定產品服從幾何分布，討論了幾何分布產品加速方程如何建立，利用次序統計量的大樣本性質，得到相應的Fisher信息矩陣，以對數特征壽命極大似然估計的漸進方差最小為準則結合Fisher信息矩陣，給出了步進應力加速壽命試驗的最優分配比例，通過模擬驗證最優設計的有效性。

幾何分布，定數截尾，步加試驗，最優設計

0　引言

在可靠性理論的研究中，幾何分布由于其無記憶性，常用來描述產品（如開關等）的壽命。依靠科技進步，許多產品的壽命大幅增加，若想快速得到產品壽命數據，就需要進行加速壽命試驗。本文討論的是以幾何分布產品對數特征壽命MLE的漸近方差最小為原則，定數截尾步加試驗應力的最優設計。

1　最優設計

設G（p）表示參數為p的幾何分布，X表示幾何分布產品的壽命，X～G（p）即：

設有n個產品進行試驗，壽命分布為X～G（p）。首先在應力水平S1下試驗，當有r1=［nπ1］個產品失效時，將應力水平提升至S2，當又有r2=［nπ2］個產品失效時結束試驗。其中π1+π2=πc，πc為事先設定好的未失效比例。

設計的原則：給定S2、S0（設計應力）、πc和n，找到使產品在S0下的對數特征壽命ln t的MLE的漸近方差AsV ar（ln t?）達到最?。ň冗_到最高）的S1及在S1、S2上的樣本數目比例π1、π2。

基本假設I在應力Si下，產品的壽命Xi（i=1，2）均服從何分布，即Xi～G（pi）。

加速系數：在應力Si和Sj下，設可靠度為R的可靠壽命分別tRi和tRj為，則比值

稱為Si對Sj的R可靠壽命的加速系數。

由上可知，加速系數與兩應力Si、Sj下產品的分布和可靠度R有關。但是，工程實踐的要求加速系數是與R無關的常數。

幾何分布的可靠度R為：

與R無關的常數，滿足要求。

其中，a、b為未知參數，φi為應力Si的已知函數。

基本假定III（Nelson的假定或累積損傷（CE）模型）：產品的剩余壽命試驗時的應力水平及試驗時已經累積失效的部分，與累積方式無關。

即：FSj（tj）=FSi（ti）

容易得到似然函數為：

設Ff為a，b的Fisher信息陣，有

Ff中4個元素的計算非常復雜，可以利用以下結論來簡化問題。

證明：由陳希孺［4］定理4.4可證。

引理2：（Lehmann，E.L.（1998））若隨機變量序

令隨機變量Z的分布為Φ（·），I（·）為示性函數。

證明：（1）、（2）由引理1，2立得。

其中，Ff由前確定，Ft表示在應力水平S1上試驗至時刻ξ，再將應力水平提升至S2繼續試驗到時刻時止試驗參數為a，b的Fisher信息矩陣。

由于本文中的最優設計是基于大樣本得到的，因此，最優設計時將用Ft來代替Ff。此時試驗預先給定的不再是截尾時間 ，而是失效比例πc，因此，Ft為πc的函數矩陣，仍用Ai表示Ft矩陣元素。

沿用前面的記號，可得

其中

于是，似然估計的Fisher信息陣為

從而可得到產品在正常應力水平S0下的對數特征壽命MLE的漸近方差為：

上式中對S1，π1求導就可以得到使方差最小的設計S1，π1（可用數值方法得到的最優應力水平S1和最優分配比例π1）。

圖1　方差與設計應力S1、分配比例π1的關系曲線

2　實例

解：最優設計

當初始應力S1=473K，應力S1下的最優分配比例π1=0.465 8，此時設計應力S0產品特征壽命的方差35.977 9；

當初始應力S1=463K，應力S1下的最優分配比例π1=0.504 3，此時設計應力S0產品特征壽命的方差12.898 6；

當初始應力S1=453K，應力S1下的最優分配比例π1=0.551 1，此時設計應力S0產品特征壽命的方差5.726 8。

3　結論

以幾何分布產品對數特征壽命MLE的漸近方差最小為原則，通過本例模擬，獲得了定數截尾步加試驗的最優設計，驗證了文中結論的有效性。

［1］楊宇航，周源泉，加速壽命試驗理論基礎（I）［J］.推進技術，2001，22（4）：276-278.

［2］楊宇航，周源泉，加速壽命試驗理論基礎（II）［J］.推進技術，2001，22（5）：354-356.

［3］金瑩，張立，幾何分布定時截尾簡單恒加試驗的最優設計［J］.新鄉學院學報：自然科學版，2008，25（2）：16-18.

［4］徐曉嶺，幾何分布產品定數截尾場合下參數的點估計［J］.強度與環境，2009，36（2）：51-63.

［5］王蓉華.幾何分布產品參數的近似點估計［C］//中國現場統計研究會第十二屆學術年會論文集，2005.

［6］茆詩松，王玲玲.加速壽命試驗［M］.1版.北京：科學出版社，2000.

［7］陳希孺.高等數理統計［M］.1版.北京：中國科學技術大學出版社，1999.

Optimum Design for Geometric Distribution of Step-stress Accelerated Life Testing Under Type-IICensoring

JINYing
（Henan University of Economics and Law，Zhengzhou 450046，China）

This paper considers the optimum design of simple step-stress accelerated life tests under progressive type-II hybrid censoring.In the case that discuss establishment of the Accelerate equation，using large sample properties of order statistics，the corresponding Fisher information matrix are derived.Then the optimum allocation ratio is obtained under asymptotic variance criterion.the plan is proved effective through the example.

geometric distribution，type-II censoring，step-stress accelerated-testing（ALT），optimum design

O212.6

A

1002-0640（2016）08-0174-03

2015-06-15

2015-07-07

國家青年基金（11301332）；2014年度河南省教育廳人文社會科學研究基金資助項目（2014-gh-556）

金瑩（1980-），女，河南新鄉人，講師，碩士。研究方向：數理統計、經濟統計研究。