創意平板折疊桌數學模型的設計與研究

李婉婷

（吉林師范大學，吉林四平136000）

創意平板折疊桌數學模型的設計與研究

李婉婷

（吉林師范大學，吉林四平136000）

對平板折疊桌的設計原理及優化可能性進行一系列的數據挖掘與分析，確立創意平板折疊桌的設計方案。利用空間曲線的參數方程、超靜定次數、力矩平衡、抗彎強度、坐標擬合為理論基礎研究，最終確定折疊桌最優設計加工參數，進行點與曲線的坐標擬合，并利用matlab描點繪制動態變化過程圖。

超靜定次數；力矩平衡；抗彎強度；坐標擬合

現如今，折疊與伸展已成為家具行業的基本設計理念。折疊桌以其節省空間的特點深受消費者喜愛。本文設計的創意平板折疊桌是一種新型開發的可折疊桌子，它的設計靈感源自錯綜復雜的自然形式，桌面呈圓形，桌腿能夠隨著鉸鏈的活動，平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上，并且木條留有空槽以保證滑動的自由度，桌子外形由直紋曲面構成。

1　模型建立的條件

為了使問題更加清晰，對建模問題進行以下假設：木板長度減去兩條最長桌腿長度為最小邊緣預留長度，假設最小邊緣等于每根木條的寬度；所有折疊后桌子的高度都包括木板本身的高度；假設桌面均勻受力，中心木條到最外側桌腳木條的角度變化量是一個恒定值。

2　模型的建立與求解

2.1確定桌腿長度和未折疊前鋼筋初始位置

通過查閱相關資料和視頻，為了保證桌腿各個木條在折疊過程中摩擦的自由度，本文考慮到桌腿每個木條之間存在縫隙，當已知長方形木板尺寸為120 cm×50 cm×30 cm，每根木條寬2.5 cm時，一組桌腿木條數為19根，建立平面直角坐標系，如圖1所示。

圖1　折疊桌一側的平面直角坐標系

b、c已知，故可得半徑r的長度為：

木板由19根木條組成，木板寬50 cm，每根木條寬2.5 cm，則各個木條之間必存在縫隙，縫隙d為：

所以從中間木棍的下一根木棍開始每條木棍的橫坐標都在前一坐標的基礎上加2.5+d= 2.63cm，即

在已知Xn的提前下，應用圓的標準方程可以得到對應的Yn的值：

2.2桌腿木條的開槽

桌腿完全折疊后，桌子的高線長度與最長桌腿長度已知，且夾角固定，可得出平面示意圖，如圖2所示。

圖2　桌子完全折疊后平面示意圖

因為三角形C10MF與三角形ABC10相似，線段AB為高H-h的一半，因此可知線段BC10的長度：

在三角形ABC1中應用勾股定理可得桌子上每條腿從桌面邊緣到鋼筋位置的距離：

結合圖1，用求得當桌子打開后鋼筋所在位置，鋼筋處于在最長桌腿中部，可知鋼筋在圖1上的坐標是Y=28.83，那么開槽長度為：

表1　各桌腿木條開槽長度表

2.3桌角邊緣線

針對平板右半部分，桌面固定，桌腿向上抬起，建立空間直角坐標系，如圖3所示。

圖3　桌子右半部分空間直角坐標系

當平板折疊成桌子后，每條桌腿與x-y平面形成角，由圖3可知折起后桌腿的x軸坐標未變，而y軸坐標變為：，z軸坐標變為：。

2.4對桌子進行力學分析

首先對于桌子的力學性能進行分析，我們將桌子除支撐外的所有木條以及對應的鋼筋都去掉，得到結構及其力學模型（圖中另一側的兩個臺腳沒有畫出，實際存在），如圖4所示。

圖4　僅有支撐木條的結構及其力學模型

右圖是對應簡支梁的彎矩圖，若f即摩擦力不足夠大，會導致結構發生變化。當增加桌腿木條數和鋼筋，結構發生變化。如圖5所示。

圖5　增加木條和鋼筋后的結構

根據力學原理，每增加一根木條，該結構的超靜定次數便多增加一次，因此該結構為多次超靜定結構，采取增加木條的方法來增加超靜定次數，降低受力敏感度，是提高其穩定性的重要因素。多年的工程實踐證明，采用優良的結構形式，對抵抗較大幅度的超載、隨機外力以及避免脆性破壞或連續破壞有十分重要的意義。

2.5確定最優角度

為了盡可能減少摩擦力對整個結構受力的影響，桌腳木條與水平面的夾角應該有所限制若桿AB的長度為L，f為摩擦力，N為支持力根據力矩平衡，對B點求矩：

圖6　支撐桌腿與水平面垂直時示意圖

根據受力平衡，對于桌腳木條來說就會受到鋼筋提供的很大的向外側的力作用，對于力學性能來說是一個很大的影響。因此對于整體結構來說，桌腳與水平面的夾角為90°并不是最佳角度。

由于通過增加木條數去提高木板桌的穩定性，所以在木條數量較多的前提下，假設中心木條到最外側桌腳木條的角度變化量是一個恒定值，即它們與水平面的夾角是一個等差數列。

最外側桌腳木條與水平面所成角是定值，根據上一問求出的最長的桌腿與折疊后桌子高線的夾角為29.86°，可知最外側桌腳木條與水平面的夾角60.14°，以及中間木條與水平面的夾角71.62°，可以求得最佳角度。

2.6制作星形桌面桌

根據用戶給定的已知條件：折疊桌高度、桌面邊緣線形狀以及桌腳邊緣線形狀，之后通過合理的數學模型，能夠得到成品桌的大致模型，和相關必備參數（平板尺寸、槽口長度等），制訂相應的制作方法。

利用matlab進行動態分析問題，通過分析得到高度、桌面邊緣線、桌腳邊緣線之間的關系并不割裂，三者之間相互影響，不可分割。在考慮實用性、穩定性等其他一系列必要條件后，將得到折疊桌制作參數的一個大致范圍，制作折疊桌的大致動態模式圖。

3　模型的評價與討論

3.1模型缺點

由于在計算圓形半徑時，假定了桌面兩邊的最短木條長度與木條寬度一致，因此最后的數值會有偏差。不能靈活地根據客戶任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀準確繪制出桌子變化過程，使生產的折疊桌盡可能接近所期望的形狀。

3.2模型優點

此模型針對穩固程度、加工方便與否、用料多少進行了優化，找到了對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑后，求得最優設計加工參數的簡便方法。由matlab所建立的數學模型，可以滿足顧客任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀。繪制出的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀，節省了大量的工作時間。

［1］蔣玉川，徐雙武，胡耀華，等.結構力學［M］.沈陽：科學出版社，2012.

［2］王新敏.Ansys結構動力分析與應用［M］.北京：人民交通出版社，2014.

［3］丁星，王清遠.MATLAB桿系結構分析［M］.沈陽：科學出版社，2008.

［4］趙經文，王宏鈺.結構有限元分析［M］.沈陽：科學出版社，2001.

［責任編輯：秦錦文］

The Design and Research of Creative Flat Folding Table Mathematical Model

LI Wanting
(Jilin Normal University,Siping 136000,China)

A series of data mining and analysis of the flat folding table design principle and optimization possibility are done,and the design scheme of the flat folding table is established.The researcher takes the parameter equation of space curve,the degree of statical indeterminacy,torque balance,flexural strength, coordinate fitting as the theoretical basis of the research,finally determines the optimum design and processing parameters of the flat folding table,fits the coordinate of points and curves,and draws the dynamic change process picture by matlab tracing point.

degree of statical indeterminacy;torque balance;flexural strength;coordinate fitting

O22

A

2095-5928（2016）04-32-04

10.16850/j.cnki.21-1590/g4.2016.04.010

2016-03-11

2014高教社杯全國大學生數學建模競賽項目

李婉婷（1992-），女，遼寧黑山人，碩士，研究方向：運籌學與控制論。