未定式函數極限解法的分類探討

劉志紅

(鄭州財經學院 信息工程學院，河南 鄭州 450044)

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未定式函數極限解法的分類探討

劉志紅

(鄭州財經學院 信息工程學院，河南 鄭州 450044)

注記1)x→∞時，上述結論仍然成立；

練習1求極限

(1)

2　 ∞-∞型的未定式極限的解法

limf(x)=∞，limg(x)=∞，求lim (f(x)-g(x))，這是∞-∞型的未定式極限(這里及以后若不再指明x→a和x→∞，表示這個解法對這兩種情況都適用).

3　 0·∞型的未定式極限的解法

limf(x)=0，limg(x)=∞，求lim (f(x)·g(x))，這是0·∞型的未定式極限.

4　 1∞型、∞0型、00型的未定式極限的解法

對于這三種未定式極限，要引入一個指對數變換

f(x)g(x)=eln f(x)g(x)=eg(s)ln f(x)[3].

1)1∞型，即limf(x)=1，limg(x)=∞，求limf(x)g(x).

limf(x)g(x)=lim eln f(x)g(x)=elim (g(s)ln f(x))，也就是說求limf(x)g(x)轉化為求limg(x)·lnf(x)，而lim lnf(x)=0，limg(x)=∞，也就1∞型轉化為0·∞型的未定式極限，由本文的第三種解法就可解決.

2)∞0型，即limf(x)=∞，limg(x)=0,求limf(x)g(x)

limf(x)g(x)=lim eln f(x)g(x)=elim (g(s)ln f(x))，而lim lnf(x)=∞，limg(x)=0，也就∞0型轉化為0·∞型的未定式極限，由本文的第三種解法也可解決.

3)00型，即limf(x)=0，limg(x)=0，求limf(x)g(x).

limf(x)g(x)=lim eln f(x)g(x)=elim (g(s)ln f(x))，而lim lnf(x)=∞，limg(x)=0，也就∞0型轉化為0·∞型的未定式極限，由本文的第三種解法又可解決了.

解當k=0時，所求極限為1；當k≠0時，這是00型的未定式極限，作指對數恒等變換，即

特別地，計算過程中需注意幾點：

1)無窮小因子等價化，注意等價化條件只能是整體的分子或分母;

2)冪指函數指數對數化;

3)無理式有理化;

4)非“0”極限因子淡化，就是把它算出來擱置一邊.

5　結語

[1]華東師范大學數學系.數學分析：上[M].3版.北京：高等教育出版社，2002：127-132.

[2]加州理工學院.數學分析 [M].英文版.2版.北京：機械工業出版社，2005：104-107.

[3]齊民友.重溫微積分[M].北京：高等教育出版社，2004：99-113.

[4]何春江.高等數學 [M] .2版.北京：中國水利水電出版社，2006：48-50.

Discussion on Classification of Undetermined Type of Function Limit Solution

LIU Zhihong

(College of Information Engineering， Zhengzhou Institute of Finance and Economics, Zhengzhou 450044, China)

2016-03-28

河南省高等學校重點科研項目計劃(15B110010)

劉志紅(1983—)，男，河北邯鄲人，鄭州財經學院信息工程學院講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.03.003

O172.1

A

1007-0834(2016)03-0007-03