基于傳遞函數有理分式的模態參數識別算法研究

于亞婷，李 敏，姜 敏，鄒 宇

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基于傳遞函數有理分式的模態參數識別算法研究

于亞婷，李 敏，姜 敏，鄒 宇

(電子科技大學機械電子工程學院 成都 611731

為降低多參考點模態參數識別過程中系數矩陣的計算精度損失，利用傳遞函數有理分式模型，在正交多項式識別算法的基礎上提出一種改進的模態參數識別方法，并給出該算法的實現流程和穩定圖的建立方法；通過實測算例對所提出的方法進行驗證。結果表明，該方法有效地識別模態參數，并簡化參數的計算過程，提高識別效率。該結論將對采用模態參數識別結構的完整性研究提供借鑒。

模態參數; 正交多項式; 傳遞函數; 穩定圖

試驗模態分析(experimental modal analysis，EMA)是一種通過實驗方法獲取結構輸入輸出數據，并借助系統識別理論利用相關識別算法求解結構模態參數的方法[1]。識別算法是獲取結構模態參數的關鍵，可分為時域算法和頻域算法。頻域識別算法因其可靠性較高而廣泛使用。文獻[2]利用傳遞函數的有理分式模型，通過基函數進行曲線擬合，但該方法在階次較高時容易出現計算不收斂。文獻[3]提出一種基于自回歸滑動(auto-regressive moving average，ARMA)模型的頻域多輸入多輸出(multiple input multiple output，MIMO)參數識別方法，可用于改善正交多項式在高階計算時不易收斂的問題。文獻[4]提出一種基于正交多項式的頻響函數擬合方法，該方法最初只能用于單輸入單輸出(single input single output，SISO)識別，被擴展到了MIMO。但已有的多參考點識別方法在系數矩陣估計中需進行多次轉換，造成精度損失和計算量成倍增加。

針對該問題，本文以傳遞函數有理分式模型為基礎，借助正交多項式頻響函數擬合方法，提出一種改進的模態參數識別方法；并給出算法實現流程和模態參數的穩定圖校驗方法，構建了模態參數識別平臺，并驗證了改進后的識別算法的有效性。

1 基于傳遞函數有理分式的模態參數識別方法

根據黏性阻尼的多自由度(multi-degree-of- freedom，MDOF)系統振動的微分方程[5]和零初始條件拉氏變換，并利用阻抗矩陣和伴隨矩陣，可導出傳遞函數矩陣()，其任意一個元素可表示為：

為解決式(1)中計算數值解的奇異性問題，文獻[6]提出利用正交多項式代替原有的有理分式，得到以正交多項式表示的頻響函數模型，有：

設在某結構的其中一個測點上共測試個頻率點。引入負頻率概念，即頻率范圍由原來的=1,2,…,擴展到=-,…,-1,-2,1,2,…,。此時，取。負頻率的頻響函數定義為。

當從-～變化，可得到2個誤差函數。將這些誤差函數寫成矩陣形式可表達為。

式(4)經化簡可得：

式中，只有系數向量{}、{}未知，解方程組然后轉換為相應的分子多項式系數和分母多項式系數，即可得任一測點的頻響函數有理分式表達式。由于不同測點數據所求得的系數矩陣不同，在應用時需進行轉換，造成精度損失；同時多次重復轉換也造成計算量成倍增加。在提高識別精度的同時，為避免繁瑣的計算過程，本文提出一種改進的方法估計系數矩陣。改進的擬合方法表述如下：

設在個測點均測得頻響函數，令：

式(6)可簡化為：

一個結構的固有頻率和模態阻尼與測點位置無關，因而不同測點擬合出的有理分式傳遞函數分母系數D相差一個常數因子。為此采用最小二乘法求解式(8)可表示為:

通過式(9)得到系數向量后，再利用式(7)計算系數向量及其他參數。該方法可避免在進行多參考點測量時，重復構造轉換矩陣，減少轉換過程帶來的擬合誤差，同時一次性擬合可使計算過程簡化。

得到向量、后，利用式(1)，令：

故可通過下式求出固有頻率與阻尼比：

用于頻響函數曲線擬合的正交式有多種，如Forsythe正交多項式、Legendre多項式、向量正交多項式等，文獻[7-8]均采用Forsythe正交多項式，但其遞推階段計算量較大，影響整體的識別速度。為改善這種情況，本文采用Chebyshev正交多項式，其遞

2 算法實現流程

本文采用Labview實現算法程序，若識別不能在一個頻段內一次完成，可采用分段識別方式重復該過程。具體流程如圖1所示。

3 穩定圖建立方法

模態定階是參數識別的重要步驟，常借助穩定圖來完成[9]。由于系統真實模態是系統的物理極點，它出現的位置不會隨階次改變而改變，而計算極點出現的位置則隨階次的改變而不同[10-11]。穩定圖極點的標示過程(以第階極點為例)為：

2) 在第-1階尋找與之最接近的極點及其對應的參數和；

3) 根據下式判斷相對變化量，有：

4) 若式(15)均不滿足，則以符號標示為新出現的極點；若只滿足式(15a)而不滿足式(15b)，則以符號標示為頻率穩定極點；若式(15a)、式(15b)均滿足，則以符號標示為穩定極點。

4 實驗驗證

為驗證改進算法的有效性，本文構建了多模態參數識別平臺，如圖2所示。主要包括力錘、傳感器、數據采集與分析系統。

實驗中吊臂尺寸為180 mm× 40 mm× 25 mm，厚度為2 mm，實物圖如圖3所示。實驗中支撐方式為固定支撐，采用輪點激勵、多點采集方式進行數據采集。實驗采樣頻率為4 kHz，采樣點數。為降低實驗過程中的偶然誤差，實驗中對5次實驗數據取平均值作為擬合數據樣本。

圖4所示為測試所得吊臂的所有頻響曲線的幅值疊加譜。由圖4可看出，在響應峰值附近其信號受噪聲的影響較小。

根據疊加譜選定階次及擬合區間，運用改進算法得到的結果如圖5所示。根據圖5的頻響函數，設定C≤1%、C≤5%進行穩定圖校驗(計算到8階)，結果如圖6所示。從圖6可看出，試件有3階模態頻率。

為驗證改進方法在模態參數識別方面的優越性，本文分別比較了采用有限元法、改進方法和原方法對吊臂的固有特性進行分析的結果。表1列出了3種情況下吊臂零件的模態參數識別結果。

由表1可得，改進方法的識別結果與有限元結果在第一、第二和第三階固有頻率方面的相對識別誤差分別是0.453%、0.313%和0.265%；原方法的相對識別誤差是0.994%、0.442%和0.341%。而改進方法在第一、第二和第三階阻尼比方面的識別結果與理論值的相對誤差分別是：10.6%、28.5%和2.00%；原方法的相對誤差則為7.00%、29.9%和11.0%。

表1 吊臂零件識別結果比較

因此，通過比較可得出，改進方法在頻率識別精度方面優于原方法，而在阻尼比識別方面，階次越高，改進方法在識別精度上的優勢比原方法明顯。此外，本文提出的改進方法簡化了識別過程中的繁瑣計算過程，識別所需時間較短，可更好地用于實時識別過程，加速識別進程。

5 結 束 語

本文通過對基于傳遞函數有理分式識別模態參數方法的分析，提出了一種基于傳遞函數有理分式的簡化模態參數識別算法，并通過實驗驗證了改進方法在參數識別方面的準確性和高效性。實驗結果表明，改進算法可快速有效地識別動態參數。本文得到的結論如下：1) 利用傳遞函數有理分式模型，在原有正交多項式識別方法基礎上，提出一種改進方法。該方法采用一次性擬合，有效地避免多次求解中矩陣轉換過程，計算過程簡化。2) 利用文中所述極點標示方法建立穩定圖，可較好地校驗模型的參數識別結果。3) 實驗結果表明，改進方法能有效地提高模態參數的識別的精度。

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編 輯 黃 莘

Modal Parameter Identification Algorithm Based on the Rational Fraction of Transfer Function

YU Ya-ting, LI Min, JIANG Min, and ZOU Yu

(School ofEngineering, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731)

In order to reduce the precision loss of the coefficient matrix in the process of multiple reference modal parameter identification, an improved algorithm is proposed on the basis of orthogonal polynomial recognition algorithm. The improved algorithm is deduced in detail and the implementation flow chart is also proposed. And then, an experimental platform is setup and a recognition experiment on roller is carried out to validate the accuracy of the improved algorithm. The experimental results indicate that the improved algorithm compared with the original algorithm has the higher identification accuracy with the simpler identification process. The presented algorithm is helpful to identify the geometry parameters of key structures according its modal signal.

modal parameter; orthogonal polynomials; stability diagram; transfer functions

TP391.9

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2016.03.026

2014 - 07 - 08；

2015 - 06 - 15