近零折射率超材料波導加載系統中數理方程的求解及COMSOL仿真

曹斌照，費宏明，楊毅彪，薛萍萍

(太原理工大學 物理與光電工程學院，山西 太原　030024)

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近零折射率超材料波導加載系統中數理方程的求解及COMSOL仿真

曹斌照，費宏明，楊毅彪，薛萍萍

(太原理工大學 物理與光電工程學院，山西 太原030024)

近零折射率超材料波導中加載介質缺陷的電磁波傳輸特性的分析歸結為“數學物理方法”中亥姆霍茲方程非齊次邊值問題的求解，可采用多種求解偏微分方程的方法進行分析. 本文用分離變量法對這一問題的兩個典型實例進行了解析求解，并通過基于有限元法的多物理場耦合仿真軟件COMSOL Multiphysics進一步對照，從而驗證了理論分析的正確性. 對更一般的問題采用COMSOL進行了數值計算和仿真，其適用性更為普遍.

近零折射率超材料；亥姆霍茲方程邊值問題；分離變量法；數值法

近年來，人工電磁材料(又稱為超電磁材料，Metamaterials)受到了國內外學者的廣泛研究[1].作為人工電磁材料之一——近零折射率超材料(Nearly Zero-Index Materials, NZIM)，因其具有諸多超常特性也倍受關注. 對NZIM的研究表現在諸多應用領域，例如利用其實現電磁場超耦合效應、輻射場整形、高性能輻射、光子隧穿效應、電磁波的吸收、波導型傳感器、光子顫振效應等. 另一方面，利用NZIM來調控電磁波在波導中的傳播也受到了不少學者的研究. 例如利用NZIM實現電磁波的完美彎曲和透射、在NZIM中嵌入介質柱實現波的全透射和全反射等[2,3].

根據宏觀電磁理論，時諧電磁波在任何媒質中的傳播特性均可歸結為亥姆霍茲方程的定解問題[4]. 按照“數學物理方法”理論，這類偏微分方程有多種求解方法[5-7]. 對于一些具有規則邊界的情形，分離變量法是一種有效的分析方法；而對于邊界形狀比較復雜的不規則情形，一般只能采用數值法. 對于前者，一般教科書中對亥姆霍茲方程的邊值問題，只針對齊次邊界條件問題做了一些簡單介紹，即使專業課程如“電動力學”、“電磁理論”等也未涉及非齊次邊界條件下的定解問題[4,8]. 這是因為多數情況下亥姆霍茲方程的應用背景總是與本征值問題相聯系，往往滿足齊次邊值條件. 如電磁工程問題中波導、諧振腔等.

據筆者不完全了解，鮮有專門討論亥姆霍茲方程在非齊次邊界條件下定解問題的教學內容. 而個別文獻雖然有涉及這方面的內容，但要么是結果不完善[2]，或者沒有具體分析過程[3].

故此，本文針對NZIM波導中加載介質缺陷的電磁波傳輸問題，并結合我們在“數學物理方法”的本科教學，提煉出了亥姆霍茲方程非齊次邊值問題的求解方法. 對矩形、圓柱形兩類規則形狀的邊界，在直角坐標系和圓柱坐標系中分別用分離變量法進行了求解，并通過基于有限元法的多物理場耦合仿真軟件COMSOL進行了對照；同時對其物理意義進行了深入分析、討論. 對于不規則邊界的同類問題，用COMSOL進行了數值求解和仿真.

1　模型及理論推導

圖1　二維近零超材料波導加載系統

(1)

1.1矩形截面介質柱情形

若加載缺陷為一矩形截面介質柱，柱內電磁場的定解問題可歸結為

(2)

應用疊加原理，將邊界條件進行齊次化，令φ=φ′+φ0，則原問題可化為

(3)

這是一個非齊次泛定方程具有齊次邊值條件的定解問題. 用分離變量法(傅里葉級數法)，設

(4)

代入式(3)中的泛定方程，得

(5)

利用本征函數的正交性，得

(6)

(7)

若k=0，上式便簡化為φ(x,y)=φ0.事實上，這種情況下，定解問題式(2)可退化為

(8)

此為普拉斯方程的定解問題，其解顯然為φ=φ0.

1.2圓柱形介質柱情形

若加載缺陷為一圓柱形介質柱，柱內電磁場的定解問題可歸結為

(9)

類似地，令φ=φ′+φ0，原問題可化為

(10)

(11)

利用本征函數的正交性，得

(12)

(13)

2　仿真及分析

圖2　　　　波導內加載矩形介質柱磁場發生的全反射現象

圖3　　　　波導內加載矩形和圓形介質柱磁場發生的全透射現象

圖4　　　　僅圓柱形介質柱內發生諧振，電磁波發生全反射

對于任意截面的介質柱，一般得不到解析解，但我們可以用COMSOL軟件計算諧振頻率及傳輸系數. 以一底角為45°的直角梯形為例，選取上底a=0.01 m、下底b=0.02 m、高h=0.01 m，進行數值計算，反射系數隨梯形介質柱的曲線如圖5所示. 當εr2≈3.5和6.7時發生全反射；當εr2≈6.5和7.2時發生全透射.用COMSOL仿真結果如圖6所示.兩者結論完全吻合.

圖5　梯形介質柱內反射系數隨介質柱介電常數的變化關系

圖6　梯形介質柱內發生諧振，電磁波發生全反射或全透射現象

3　總結

本文對于近零折射率超材料波導中加載規則介質缺陷的電磁波傳輸特性問題用分離變量法進行了解析求解，對不規則介質缺陷問題采用多物理場耦合仿真軟件COMSOL Multiphysics進行了數值計算.在具體應用實例中，坐標系原點的選擇對分析結果沒有影響.采用COMSOL仿真計算適用于任何情況，因此更具有普遍性.

[1]Engheta N,Ziolkowski R W Eds. Metamaterials:Physics and Engineering Explorations[J]. John Wiley & Sons, 2006,37:180-193.

[2]Nguyen V C, Chen L, Halterman K. Total transmission and total reflection by zero index metamaterials with defects[J]. Physical review letters, 2010, 105(23): 233908.1-4.

[3]Ying Wu, Jichun Li. Total reflection and cloaking by zero index metamaterials loaded with rectangular dielectric defects[J]. Applied Physics Letters, 2013, 102(18): 18310.1-4.

[4]張克潛,李德杰.微波與光電子中的電磁理論[M].2版.北京: 電子工業出版社，2001: 173-223.

[5]梁昆淼.數學物理方法[M].4版.北京: 高等教育出版社，2010:162-179;265-280.

[6]楊孔慶. 數學物理方法[M].北京: 高等教育出版社，2012: 180-202; 255-292.

[7]四川大學數學學院高等數學、微分方程教研室. 高等數學(第4冊) [M].3版. 北京: 高等教育出版社，2010.

[8]郭碩鴻.電動力學[M].3版.北京: 高等教育出版社，2008: 128-135.

Analytical solution of equation of mathematical physics in the waveguide system loaded with nearly-zero-index-metamaterials and simulation by using COMSOL

CAO Bin-zhao, FEI Hong-ming, YANG Yi-biao, XUE Ping-ping

(College of Physics and Optoelectronics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan, Shanxi 030024, China)

The transmission characteristics of electromagnetic wave in the waveguide system, filled with nearly-zero-index-metamaterials and loaded with dielectric defects, belongs to the problem of Helmholtz equation with non-homogeneous boundary value in the source of the method of mathematics. It can be solved by a variety of methods for solving partial differential equations. In this paper, the separation variables method is used for solving two typical examples. Furthermore, the software named COMSOL multi-physics, which is based on the finite element method, is used for simulation, and the correctness of theoretical analysis is certified. For more general problems, numerical calculation and simulation by COMSOL are more commonly applied.

nearly-zero-index-metamaterials; problem of Helmholtz equation with boundary values; separation variables method; numerical method

2015-03-04；

2015-11-16

2014年度太原理工大學“本科教育教學改革項目”、2014年度高等學?！皵祵W物理方法”課程專業教學指導委員會研究項目[JZW-14-SL-12]資助.

曹斌照(1967—)，男，山西臨縣人，太原理工大學物理與光電工程學院副教授，博士，主要從事電磁理論、數學物理方法的教學與研究.

O 411.1

A

1000- 0712(2016)04- 0015- 04