基于孔隙率累積增長的閉孔泡沫材料三維隨機建模*

虞跨海，劉　奮

(河南科技大學 工程力學系，河南 洛陽 471023)

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基于孔隙率累積增長的閉孔泡沫材料三維隨機建模*

虞跨海，劉奮

(河南科技大學 工程力學系，河南 洛陽 471023)

提出了1種基于隨機造型的橢球空腔閉孔泡沫材料三維幾何建模方法?；趲缀慰臻g均勻分割得到層疊胞元空間，每個胞元空間內隨機生成一個球體以形成基礎孔隙造型，球體空腔均勻度因子控制基礎造型隨機性；胞元空間逐次隨機生成若干球體空腔并通過相交特性判定，累積得到有效空腔造型，結合基于優化搜索的孔隙率自適應增長算法，提高空腔造型效率，實現目標孔隙率控制建模；考慮泡沫材料工藝及其真實幾何特性，實現泡沫材料大空腔和連通缺陷建模。

閉孔泡沫材料；隨機造型；橢球相交；孔隙率累積增長

0　引　言

泡沫材料多孔細觀結構特性決定其變形、失效、破壞機制，進而決定材料的本構關系、失效模型和疲勞壽命等，表現為泡沫材料在緩沖、吸能、傳熱等宏觀性能的差異[1]；更由于多孔材料結構孔形、分布的隨機性和細觀不均勻性，表現為性能參數對于細觀特性的敏感性和實驗結果的高分散性[2-3]。有限元方法研究細觀特性對泡沫材料性能的影響是材料設計和工程應用的有效手段，但完美構造泡沫材料細觀特征的幾何模型困難，造成數值方法預測泡沫材料力學、傳熱等性能困難。

泡沫材料數值計算理論經歷了從單孔模型到排列模型，從二維拓撲結構到三維模型的研究。早期研究主要基于單孔模型及其規則模型，Kadkhodapour等開展了圓球、橢球和金字塔中心結構規則排列泡沫鋁模型的細微觀變形失效模式研究，但壁面厚度是均勻的[4]。近期，又提出了多孔組合排列規則模型，采用多種孔形結構規則排列用以預測泡沫材料應力-應變關系，如Pinto等利用3D打印模芯制造了均勻和雙尺寸泡沫鋁材料，并開展了壓縮實驗，認為雙尺寸細觀結構模型具有更高的吸能效率[5]，Nammi等提出了四面體十一面體閉孔泡沫鋁規則排列模型，開展了應力應變關系的準靜態有限元仿真分析[6]。

本文擬針對閉孔泡沫材料隨機幾何模型建模和力學性能分析展開研究，考慮閉孔泡沫材料制備工藝的內部空腔均勻性和隨機特性，認為在材料制備過程中發泡劑與基體材料充分混合后是均勻的，但由于加熱不均、工藝、發泡劑不穩定性等因素，造成內部空腔結構成型時又具有隨機性。因此，本文從閉孔泡沫材料造型是在一定均勻性基礎上的隨機結構基本思路出發，提出了閉孔泡沫材料空腔結構的隨機模型造型方法和理論，研究結果有助于開展泡沫材料的力學性能預測，有利于揭示孔隙、缺陷及其分布等對多孔材料力學行為的影響機制。

1　閉孔泡沫材料隨機幾何建模算法

本文提出了基于廣義均勻分布的閉孔泡沫材料幾何建模方法，在各向同性胞元空間層疊的基礎上，融合隨機方法開展閉孔泡沫材料結構的建模，符合閉孔泡沫材料制備工藝特性。理想狀態下泡沫材料空腔為圓球體，但由于發泡工藝控制等隨機性因素，空腔將發生不同程度的變異，認為主要為球體圓度的變異、空腔的連通與大空腔形成等。因此，本文針對空腔為圓球體和橢圓球體兩種模型及缺陷隨機構造，開展了閉孔泡沫材料的隨機建模方法研究。

1.1基于胞元層疊的造型空間

采用胞元空間層疊方法構造分布均勻的初始空腔分布模型，若胞元空間為長方體，其空間造型三維尺寸(l1，l2，l3)將在一定程度上影響材料各個方向的空腔分布，胞元尺寸的不同將使材料表現出各向異性。

考慮泡沫材料的各向同性，定義胞元空間3個方向尺寸相同，即l1=l2=l3=l以坐標原點為整體造型空間起點，定義胞元沿坐標正向的層疊數量(n1，n2，n3)，建立泡沫材料造型空間，每個方向胞元層疊數量一般不少于30。每個胞元節點可以用層疊數坐標表示(ki，kj，kk)，每個胞元可以用兩個主對角線頂點坐標表示，又由于胞元為正立方體，則胞元體可以用(xi，yj，zk、l)或(ki，kj，kk，l)唯一確定，其中(xi，yj，zk)為胞元離原點最近頂點坐標。如圖1所示，對每個胞元空間賦予編號，編號規則按照層疊順序3個方向坐標組成的數組順序賦值，即空間編號1對應由節點(0，0，0)和(1，1，1)為主對角線的胞元，空間編號2對應由(0,0,1)和(1，1，2)為主對角線的胞元，直至空間編號n1·n2·n3，對應由節點(n1-1，n2-1，n3-1)和(n1，n2，n3)為主對角線的胞元。

1.2橢球空腔建模與相交判定

理想狀態下，泡沫材料內的空腔結構應為較均勻分布的球體，但由于工藝、設備、材料雜質等因素的影響，空腔造型會出現不均勻性、尺寸分布、變異、缺陷等現象。隨機性造型重繪泡沫材料結構的不均勻性和尺寸統計分布特性，空腔橢球造型方法和缺陷隨機生成，實現空腔結構的變異與不確定性建模。

1.2.1橢球幾何建模算法

隨機橢球幾何模型采用9個參數控制，分別是中心坐標參數

半軸長度參數向量

空間旋轉角度參數

半軸長度參數也可表示為極半軸長度及其比例系數(ka，kb，c)，其中

θ，φ，ψ分別是橢球中心軸與坐標系主軸方向的夾角。

圖1胞元空間層疊建模及空間編號規則

Fig 1 Stacked unit cell space and the rule of numbering

1.2.2橢球間相交判定

閉孔泡沫材料每個空腔相互之間不相連通，因此，造型過程為了保證每個空腔的獨立性，需開展空腔相交特性判定。橢球體在其中心局部笛卡爾坐標系下表達式為

(1)

其中

中心坐標參數為(xc，yc，zc)的橢球面可以視為在原點橢球面基礎上的坐標平移，則有

(2)

橢球的隨機角度(θ，φ，ψ)旋轉，可以視為三次空間坐標旋轉變換，則有

(3)

將式(2)、(3)代入式(1)，得到隨機橢球的表達式XTAX<0

(4)

得到全局笛卡爾坐標系下的隨機橢球方程。

根據Wang等[13-14]提出的分離條件實現造型過程中的橢球相交判定。假設任意兩個橢球

XTAX≤0，XTBX≤0

定義其特征方程

(1)當f(λ)=0有兩個不同的正實根，則兩個橢球分離；(2)當f(λ)=0有且僅有一個正實根，則兩個橢球相交于一點；(3)當f(λ)=0沒有正實根，則兩個橢球相交。

當橢球中a=b=c時，則為圓球，因此，也可以用于橢球與圓球之間的相交判定。

1.3基礎均勻隨機造型

每個胞元內部隨機生成一個空腔結構，使得閉孔泡沫結構基礎空腔既表現出空腔結構的均勻性，又通過在限定區域內的隨機建模體現一定的隨機性，實現泡沫材料基礎均勻隨機造型。

空腔造型采用圓球和橢球混合模型，胞元空間最小尺寸應大于最大圓球空腔直徑或橢球最小外切圓球直徑dmax。如圖2所示為球心空間構造示意圖，為了使得隨機生成的球心能夠絕對滿足胞元空間要求，在胞元空間各方向尺寸縮進R+wt/2，構成球心隨機造型空間，其中R=dmax/2，wt為泡沫空腔之間最小壁厚要求。在球心隨機造型空間內隨機生成球心坐標，可以直接滿足胞元空間內部空腔造型的要求，減少計算量。隨機生成球心坐標集合Ξ(x,y,z)和泡沫空腔造型參數集合Φ(r)，得到基礎均勻隨機空腔造型，這些生成的球體定義為胞元中心球體。

圖2　球心空間構造示意圖

胞元空間尺寸l與空腔尺寸r之間的比例關系，將在很大程度上決定基礎均勻隨機空腔造型的均勻性和閉孔泡沫材料幾何結構最終造型的空間特性，同時在一定程度上影響后續孔隙率增長造型算法的計算量。為了表征基礎隨機造型的均勻性，提出基礎球體空腔均勻度γ模型

(5)

式中，Δdi為球心坐標與胞元空間中心坐標距離向量，l為胞元空間長度，r為球體空腔半徑。當γ=0時，空腔中心與子域中心重合，完全均勻；當γ=1時，基礎空腔均勻性最差，隨機性最大。如圖3所示為等半徑均勻和隨機基礎空腔造型結果。

圖3　不同均勻度因子的基礎隨機造型結果

Fig 3 Geometry of basic stochastic modeling with different uniformity factor

胞元空間的尺寸將決定泡沫金屬材料模型的整體均勻性和幾何建模的基礎孔隙率，當胞元空間尺寸越大，整體均勻性越小，基礎孔隙率越小，反之越大。當l=2r時，整體均勻造型基礎孔隙率達到理論極限

(6)

實際造型過程中，整體空間隨機均勻基礎空腔造型結果的孔隙率一般在20%以下，這與胞元空間尺寸與空腔尺寸的比值相關，需通過多重采樣累積造型才能實現50%～70%孔隙率泡沫材料的幾何建模。

1.4孔隙率增長累積造型

初步生成的基礎空腔模型，模型內部仍然存在大量的實體空間，難以達到大孔隙率幾何建模的要求，本文采用逐步累積方法提高孔隙率?？紫堵世鄯e增長空腔造型采用多次生成方法，逐步增加孔隙結構，在選定胞元空間橢球球環空間內，隨機生成球心集合與半徑集合，根據球體空間相交規則判定空腔是否相交的方法排除不符合要求的球體造型，為了避免在孔隙率增長后期算法效率低的問題，本文提出了空腔自適應優化增長方法，通過優化提高孔隙率增長算法的效率和可行性。

孔隙率累積增長算法基于隨機造型篩選和空間尋優相結合策略實現。以某胞元空間內生成的空腔P為例，若(ap，bp，cp)為P的橢球半軸長，在橢球(xp，yp，zp，ap+rmax+wt，bp+rmax+wt，cp+rmax+wt，θp，φp，ψp)和(xp，yp，zp，ap+rmin+wt，bp+rmin+wt，cp+rmin+wt，θp，φp，ψp)構造的環狀空間內，隨機生成滿足累積模型中心點建模要求的球心坐標集合Ξ(xc)及匹配的半徑和轉角集合Φ(r,θ)，其中rmax和rmin分別為最大和最小球半徑，wt為空腔之間壁厚，球體數量根據胞元空間尺寸和空腔半徑生成；篩選出相互之間滿足最小壁厚要求的球體集合Ω(xc，r，θ)，得到胞元空間累積初步幾何造型。

如圖4所示為子域定義示意圖，對于任意一個胞元空間，與其具備相交可能性的球體空腔應全部包含在子域空間內。子域空間由胞元及與其相鄰的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 4個區域的共27個胞元組成3×3×3的矩陣排列，單邊界區域胞元子域由鄰近Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 3個區域共18個胞元組成，雙邊界區域胞元子域由鄰近Ⅰ、Ⅱ兩個區域共12個胞元組成，三邊界區域胞元子域由鄰近Ⅰ區域共8個胞元組成，遴選子域空間內的所有球體空腔作為相交判定球體集合Ψ(xc，r，θ)，可以避免在整體造型空間內進行相交判定，提高算法效率。將胞元空間初步幾何造型集合Ω(xc，r，θ)及其相對應的子域球體集合Ψ(xc，r，θ)進行相交判定，所得的符合不相交規則的造型為該胞元當次累積增長幾何造型Ω′(xc，r，θ)。

圖4子域空間構造示意圖

Fig 4 Schematic of subdomain space

隨著空間累積增長模型的進行，胞元附近尋找滿足造型要求球體空腔的效率急劇下降，孔隙率增長的計算量呈幾何倍數增長。本文提出了基于優化理論的孔隙率自適應增長算法，可以極大提高孔隙率增長造型的算法效率。算法如下：(1)選取某一胞元及其隨機造型及相交判定，得到初步增長幾何造型集合Ω；(2)Ω與子域空腔集合Ψ相交判定，篩選出與其全不相交的造型集合Γ，與Ψ一起構造新的子域空腔集合Ψ′，定義Ω去除Γ后的子集為Ω′；(3)選取Ω′中任意球體Z，記錄Ψ′與Z的相交特性；(4)比例減小球體Z的軸半徑參數，得到新的球體Z′，計算球體Z′與Ψ′的相交特性，若軸半徑參數小于最小半徑，則認為該球體Z造型失敗，從Ω′中篩除該球體并更新Ω′，若Ω′為空轉至(8)；(5)若Z′與Ψ′全部不相交，轉(8)，若相交特性未變化，轉至(4)，否則轉至(6)；(6)記錄Ψ′中由相交變為不相交的球體集合Λ，以球體Z的球心和集合Λ的球心連線為方向向量，選取其中兩個夾角最小向量的中心向量的反方向為Z球心坐標優化搜索方向，得到球體Z″，若相交特性變化的球體只有一個，則優化方向向量為其反方向；(7)記錄Z″與Ψ′的相交特性，若相交特性沒變化，則繼續沿該方向搜索球心坐標，直至出現相交特性變化，記錄出現由不相交變為相交球心向量的反向為下次球心搜索方向，若球心坐標超出子域，則轉(8)，若Z′與Ψ′全部不相交，轉(8)，否則轉(4)；(8)結束此次造型，若球體Z′符合造型要求并入Ψ′，更新子集Ω′，若Ω′為空或胞元孔隙率達到目標值，結束該胞元的孔隙率增長，進入(1)，否則轉至(3)；(9)當所有子域空腔集合Ψ(x,y,z,r)內所有空腔尋優完成，或達到搜索上限，完成一次孔隙率累積增長。

整體孔隙率計算公式為

(7)

式中，Vfoam表示造型空間內泡沫空腔體積，Vall表示造型空間總體積，其中泡沫空腔體積計算時，應考慮邊界處界面截斷部分空腔體積，如圖5所示為邊界處空腔截斷類型，分別有單邊界、雙邊界和三邊界截斷。體積計算采用微積分方法推導得到3種截斷類型下體積計算公式，單邊截斷空腔體積計算公式為

(8)

式中，右邊第一項為球體體積，第二項為球缺體積。對于雙邊截斷和三邊截斷空腔體積，采用近似計算，即球體體積減去兩部分或3部分球缺體積

(9)

(10)

該計算結果與實際相比孔隙率偏小，但由于邊界附近空腔占比例較小，對孔隙率計算結果影響較少，在累積增長建模過程中子域空間的近似孔隙率計算，也采用該方法計算。

1.5閉孔泡沫材料隨機模型造型結果

根據基礎空間造型和空間累積增長算法，編制泡沫材料造型程序，得到橢球空腔造型參數，基于三維造型軟件的二次開發實現泡沫材料幾何造型。圖6和7所示為分別建立的孔隙率分別為52%和64%的泡沫材料隨機造型結果，最小壁厚為0.08 mm，空腔的半徑范圍為0.2～1.0 mm，模型大小為10.0 mm×10.0 mm×15.0 mm，基礎空腔均勻度因子γ=1，橢球參數k的取值區間為 [0.7,1]。

圖5　空腔在邊界上的3種截斷類型

圖6　52%孔隙率無缺陷模型

圖7　64%孔隙率無缺陷模型

閉孔泡沫材料由于生產工藝等原因，會產生一些缺陷，主要有連通缺陷、大孔缺陷等。大孔缺陷一般表現為最大直徑1～3倍的大空腔結構，可以直接空間隨機生成。連通缺陷一般表現為兩個空腔的連接，可以分為橢球同軸連通和非同軸連通兩種。圖8所示為建立的空腔缺陷模型，其中孔隙率均為56%，最小壁厚(對非連通缺陷區域)為0.08 mm，空腔的半徑范圍為0.2～0.8 mm，模型空間大小為10.0 mm×10.0 mm×15.0 mm，基礎空腔均勻度因子γ=1，大孔缺陷的半徑為1.0 mm，連通缺陷最大連通距離為0.1 mm。

圖8　缺陷模型

2　結　論

提出了基于隨機成型的閉孔泡沫材料幾何建模方法，在均勻劃分造型空間的基礎上，采用隨機方法生成球體或橢球體空腔形成閉孔泡沫材料基礎均勻隨機造型，空間累積增長結合空腔造型相交判定算法實現了閉孔泡沫材料孔隙率增長，建立了50%～70%孔隙率的泡沫材料，得到以下結論：

(1)采用基礎空腔均勻隨機生成，結合基于橢球相交判定空腔累積增長算法，可以實現孔隙率為50%～70%的閉孔泡沫材料三維幾何模型建模；

(2)基于優化理論的孔隙率自適應增長可以提高空間累積的可行性和計算效率；

(3)建立的閉孔泡沫材料幾何模型，實現了橢球隨機分布、大孔和連通缺陷模型建模，具有較高的真實材料重構特性，有利于數值方法開展泡沫材料力學特性、傳熱特性等性能的預測和設計。

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3D geometry modeling method of closed-cell foam based porosity accumulation

YU Kuahai，LIU Fen

(Department of Mechanics Engineering,Henan University of Science and Technology,Luoyang 471023,China)

This paper proposes a new 3D geometry modeling method of closed-cell foam material based on stochastic algorithm,with the cavity shape of spheroid.Uniform space partition method constructs the stacked unit cell space,then generate one spheroid in each unit cell to construct the basic geometry of foam,by defining the uniformity factor to control its randomness.Porosity accumulation method is developed to make the porosity reach to the target step by step,by central unit cell generate several spheroids randomly each time and intersection determination to retain the feasible geometry in each step.Porosity adaptive increasing algorithm based optimization method is also proposed to improve the modeling efficient.Besides,large cavities and overlapping flaw geometry models are also developed,considering the actual foaming process and structure features of foams.

closed-cell foam; stochastic modeling; ellipsoid intersection; porosity accumulation increase

1001-9731(2016)09-09073-06

2015-08-14

2016-03-15 通訊作者：虞跨海，E-mail:yukuahai@163.com

虞跨海(1982-)，男，浙江義烏人，博士，副教授，從事計算力學方面研究。

TB31；TB34

ADOI:10.3969/j.issn.1001-9731.2016.09.014