田海燕, 郭建敏, 郭彩霞
(大同大學數學與計算機科學學院, 山西 大同 037009)
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具有免疫應答的HIV感染模型的穩定性
田海燕, 郭建敏, 郭彩霞
(大同大學數學與計算機科學學院, 山西大同037009)
建立具有HollingII感染率且考慮免疫應答的HIV模型,討論系統解的非負性和有界性,得到確定模型動力學性態的基本再生數,最后通過分析模型在平衡點處相應的特征方程,利用微分方程基本理論,證明模型在正平衡點處是局部漸近穩定的。即人類免疫缺陷病毒HIV將在個體體內持續存在,并且免疫應答會持續起作用,并用數值模擬驗證結果。
病毒感染;穩定性;免疫應答;正平衡點
目前,傳染病仍然是人類身體健康的一大公敵,因為一些傳染病傳播速度快,直接影響到人類的生存和發展。人類免疫缺陷病毒HIV是一種感染人類免疫系統細胞的慢性病毒,屬于反轉錄病毒的一種。1983年,人類免疫缺陷病毒在美國首次被發現。該病毒破壞人體的免疫能力,導致免疫系統失去抵抗力,從而導致人體感染各種疾病。HIV主要攻擊人體的T淋巴細胞系統,一旦侵入機體細胞,病毒將會和細胞整合在一起終生難以消除[1-5]。因此,建立傳染病的動力學模型,研究其發病原因,流行規律,尤其是找尋相應的防治措施和預防策略,已成為當今世界需迫切解決的一個重大問題。國內外諸多學者在這方面也做了大量的研究[6-17]。為了描述易感染細胞、感染細胞以及病毒顆粒之間的關系,在1996年建立了基本的病毒動力學模型[4]:
(1)
其中,x,y,z分別表示健康細胞、感染細胞以及病毒顆粒的數量。健康細胞的產生速率是常數λ,死亡速率為ax,健康細胞被感染的速率為βxz,死亡率為by,病毒顆粒的產生速率為cy,死亡率為dz。
然而考慮到病毒產生時存在時滯,并且對于細胞的感染率多考慮的是雙線性函數,因此,文獻[6]建立了時滯動力學模型:
(2)
其中,τ表示受感染細胞釋放出病毒的時間,其他參數與模型(1)有相同的含義。
要為病毒感染提供更精確的模型,必須考慮免疫應答。因為病毒感染后,機體會產生控制或者消除疾病的免疫應答。當病毒進入易被感染的細胞后,機體中的巨噬細胞等會首先起作用殺死病毒,然后是CTL免疫細胞和抗體起作用,CTL免疫細胞的作用至關重要。因此,在研究病毒感染的模型中引入免疫應答項是非常必要的[11-17]。文獻[15]研究了一類具免疫應答和非線性感染函數的時滯HIV感染模型的全局穩定性,在模型中引入了概率。文獻[16]建立了具有免疫反應的時滯HIV模型:
該模型得出免疫時滯能影響模型的動力學性態,隨著時滯的增大,穩定性開關發生,周期解出現。隨著時滯的進一步增大,出現一系列Hopf分支,最終使得正平衡點不穩定。文獻[17]提出模型:
說明了時滯對正平衡點穩定性的影響。本文在文獻[6,16-17]的啟發下,研究具有CTL免疫應答的動力學模型:
(3)
假設系統(3)的初值為x0=x(0)>0,y0=y(0)≥0,v0=v(0)≥0,z0=z(0)≥0,根據泛函微分方程的基本理論,系統(3)的所有解都是非負的,且是有界的。即有如下的結論:
定理1在上述初始條件下,系統(3)的所有解都是非負的,并且一致有界,即存在M>0使得x(t) 證明解由系統(3)的每一個方程得: 顯然x(t)>0,z(t)≥0,若y(t)>0,則有v(t)>0成立。 證明系統(3)在E*處的線性化方程組為: 因此,系統(3)在E*處的特征方程為: λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0 其中, (A+B+μ)(μA+μB+AB+M-N)- μAB+aN-M(μ+B)= μA2+μB2+μ2A+μ2B+A2B+AB2+ 2μAB+AM-(A+B+μ)N+aN 又 μA-N= 于是有μ2A-μN>0,μA2-AN>0,μAB-BN>0成立,所以a1a2-a3>0,且 (A+B+μ)[μA+μB+AB+M-N]· [μAB-aN+(μ+B)M]- [μAB-aN+(μ+B)M]2-(A+B+μ)2μBM= (A+B+μ)AB(μAB-aN)+ μB(μAB-aN)(μ+B)+ (μA-N)MB(A+B)+MAB3+ (μA-N)μM(A+μ)+ (μA-N)(μAB-aN)(A+μ)+ MμAN+(μA-N)μAB2+AM(μAB-aN)+ MA2B2+aBMN+μAM2+ABM2+(B-a)aN2 所以由Routh-Hurwitz定理得,系統(3)在E*處的特征方程的所有根都具有負實部,故平衡點E*局部漸近穩定。 給定參數s=25,a=0.03,β=0.001 445 3,b=0.32,p=0.05,c=3.2,μ=1.8,q=0.2,k=0.3。 圖1數值模擬圖 從圖1形可知,模擬結果與定理2的理論結果一致。該系統的軌跡傾向于感染免疫平衡點E*=(805.12,1.5,2.67,4.88),也就是在這種情況下,病毒感染是慢性的,但同時免疫應答是持久的。 [1] 李益群,李建全,李琳.一類具有CTL作用的HIV感染模型的全局穩定性[J].生物數學學報,2013,28(3):467-472. [2]CUIFANGLV,LIHonghuang,ZHAOHuiyuan.GlobalstabilityforanHIV-1infectionmodelwithBeddington-DeAngelisincidencerateandCTLimmuneresponse[J].CommunNonlinearSciNumerSimulat2014,19(1):121-127. [3]HUANGDongwei,ZHANGXiao,GUOYongfeng,etal.AnalysisofanHIVinfectionmodelwithtreatmentsanddelayedimmuneresponse[J].AppliedMathematicalModelling,2016,40(4):3081-3089. [4]NOWAKMA,BONHOEFFERS,HILLAM,etal.ViralDynamicsinhepatitisBvirusinfection[J].ProceedingsoftheNationalacademyofSciencesoftheUnitedStatesofAmerica,1996,93(9):4398-4402. [5] 眭鑫,劉賢寧,周林.具有潛伏細胞和CTL免疫反應的HIV模型的穩定性分析[J].西南大學學報:自然科學版,2012,34(5):23-27. [6] 鄭重武,張鳳琴.一類具有感染時滯的HIV模型的穩定性分析[J].數學的實踐與認識,2010,40(13):247-252. [7]ELAIWAM,AZOZSA.GlobalpropertiesofaclassofHIVinfectionmodelswithBeddington-DeAngelisfunctionalresponse[J].MathematicalMetheodsintheAppliedSciences,2013,36(4):779-794. [8]KOROBEINIKOVA.Globalpropertiesofbasicvirusdynamicsmodels[J].BulletinofMathematicalBiology,2014,66(4):879-883. [9] 張少輝,靳禎.具有非線性發生率的傳染病模型性態分析[J].中北大學學報:自然科學版,2012,33(4):353-357. [10] 馬知恩,周義倉,王穩地,等.傳染病動力學的數學建模與研究[M].北京:科學出版社,2004. [11]WANGXia,AHMEDE,SONGXinyu.GlobalpropertiesofadelayedHIVinfectionmodelwithCTLimmuneresponse[J].AppliedMathematicsandComputation,2012,218(18):9405-9414. [12]TIANXiaohong,XURui.GlobalstabilityandHopfbifurcationofanHIV-1infectionmodelwithsaturationincidenceanddelayedCTLimmuneresponse[J].AppliedMathematicsandComputation,2014,237(15):146-154. [13] 李素梅,羅勇,胡亦鄭.一類考慮CTL免疫反應的病毒動力學模型的定性分析[J].生物數學學報,2013,28(1):164-168. [14] 陳利君,胡志興,廖福成.時滯和細胞免疫的HIV-1模型穩定性分析[J].揚州大學學報:自然科學版,2015,18(4):19-23. [15] 常俠,袁朝暉.一類具免疫應答和非線性感染函數的時滯HIV-1感染模型的全局穩定性[J].經濟數學,2011,28(4):1-5. [16] 陳美玲.具免疫應答的時滯HIV感染模型動力學性質研究[D].衡陽:南華大學,2010. [17] 曹艷紅.具有免疫應答和細胞內部時滯的HIV感染模型的穩定性分析[D].衡陽:南華大學,2011. StabilityofaHIVInfectionModelwithImmuneResponse TIAN Haiyan, GUO Jianmin, GUO Caixia (SchoolofMathematicsandComputerScience,DatongUniversity,Datong037009,China) AHIVmodelwithHollingⅡinfectionrateandimmuneresponseisbuilt.Thenthenonnegativityandboundednessofthesolutionarediscussed,andthebasicreproductionnumberwhichdeterminesthedynamicalbehaviorsoftheinfectionmodelisobtained.Finally,byanalyzingcorrespondingcharacteristicequationatthepositiveequilibrium,itisproventhatthepositiveequilibriumislocallyasymptoticallystable.Thatis,HumanImmunodeficiencyVirus(HIV)persistsinbodyoftheinfectedindividuals,andnumericalsimulationsarecarriedouttosupporttheresult. virusinfection;stability;immuneresponse;positiveequilibrium 2016-03-07 國家青年科學基金項目(11301312);山西大同大學青年科學基金項目(2014Q10;2015K5) 田海燕(1984-),女,山西朔州人,助教,碩士,主要從事微分方程方面的研究,(E-mail)tianhaiyan668@163.com 1673-1549(2016)03-0096-05 10.11863/j.suse.2016.03.20 O175 A2 正平衡點的穩定性分析
3 數值模擬
4 結束語