基于二階錐規劃的相干信號寬零陷自適應波束形成

黃 超，張劍云，朱家兵，王 瑜

(1.解放軍電子工程學院，安徽 合肥 230037；2.中國電子科技集團公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088)

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基于二階錐規劃的相干信號寬零陷自適應波束形成

黃 超1，張劍云1，朱家兵2，王 瑜1

(1.解放軍電子工程學院，安徽 合肥 230037；2.中國電子科技集團公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088)

針對傳統自適應波束形成器在相干干擾位置出現快速變化時，輸出性能下降，甚至干擾抑制失效的問題，提出了一種基于二階錐規劃(SOCP)的相干信號寬零陷自適應波束形成算法。該算法首先對接收數據協方差矩陣進行Toeplitz重構，然后重構了干擾加噪聲協方差矩陣并對其進行零陷展寬處理；接著在保證期望方向波束無失真前提下，約束主瓣寬度和旁瓣電平，使得波束形成器干擾和噪聲的輸出功率最??；最后將該問題轉化為凸優化中的二階錐規劃問題，并使用凸優化工具箱進行快速求解。仿真實驗表明，該算法可以在兼顧全部陣列性能指標的前提下，在相干干擾區域形成寬零陷。

二階錐規劃；相干干擾；協方差矩陣重構；零陷展寬；凸優化

0 引言

自適應波束形成技術被廣泛應用于雷達、聲吶和無線電通訊等領域[1-3]，它可以根據環境的變化自適應地調整權值在干擾方向上形成零陷，能夠有效地抑制空間干擾，提高系統的輸出信干噪比。然而在工程實際中，干擾源和信號接收陣列都有可能是快速移動的。在這種情況下，當自適應權值的收斂速度達不到干擾源相對于天線接收陣列的相對移動速度，就會出現加權訓練數據與應用數據失配，使得干擾源方向從天線方向圖的零陷位置移出，從而使得干擾抑制失敗。

零陷展寬算法可以有效地抑制快速運動的干擾信號。Mailloux算法[4]是最傳統的零陷展寬算法，該算法通過構造錐化矩陣對接收數據協方差矩陣進行加權來展寬干擾方向的零陷。文獻[5—6]在Mailloux算法的基礎上，從統計模型和旋轉導向矢量方面對原算法進行了改進。這類算法在展寬零陷的同時會使零陷深度變淺，而且算法魯棒性較差。對此，文獻[7]結合投影變換技術和對角加載技術，提出了一種新的零陷展寬算法，該方法能在展寬零陷的同時加深零陷，對參數的選取具有較強的穩健性。文獻[8]針對模型失配的情況，通過重構和優化干擾加噪聲協方差矩陣、估計真實導向矢量，提出了一種魯棒的自適應零陷展寬算法。

上述零陷展寬自適應波束形成算法都是采用樣本協方差矩陣求逆方法(SMI)來形成波束方向圖的。SMI方法簡單穩定，但基于該算法的零陷展寬算法不能兼顧自適應波束形成的全部性能指標，在形成寬零陷的同時會抬高旁瓣電平并展寬主瓣波束。同時，上述零陷展寬算法只適用于期望信號和干擾相互獨立的情況，當信號和干擾相干時，必須先對其做解相干處理。

本文針對上述問題，提出了基于二階錐規劃(SOCP)的相干信號寬零陷自適應波束形成算法。

1 基本理論

1.1 SOCP的基本概念

SOCP理論是凸優化理論的最新分支。SOCP方法在二階錐空間內尋找最優解，由于其尋優速度較快，被廣泛地應用到工程實際中。

所謂SOCP，就是在有限個二階錐的笛卡爾乘積的仿射子空間的交集上極小化一個線性函數。其數學表述一般為：

minqTx

subject to:

‖Ai+bi‖2≤ciTx+di,i=1,2,…,m

(1)

式(1)中，x∈Rn為優化變量，q∈Rn, Ai∈R(ni-1)×n,bi∈R(ni-1)，ci∈Rn,di∈R，約束條件中的范數為標準的L2范數或歐幾里得范數，即‖u‖2=(uTu)1/2。則標準的k維二階錐記為：

(2)

1.2 自適應波束形成模型

圖1所示為M元均勻直線陣。

圖1 M元均勻直線陣Fig.1 M-elements uniform linear array

圖1中，設定有一個窄帶遠場期望信號從θ0方向入射到該陣列，P個干擾信號從θi(i=1,2，…,P)方向入射到該陣列。信號波長為λ，陣元間距d=λ/2，則第n個陣元接收到的數據為：

n=1,2，…，M

(3)

式(3)中，s0(t)為期望信號，sk(t),k=1,2，…,P為干擾信號。τn(θi),i=0,1，…,P是期望信號和干擾信號傳播到第n個陣元的時延，vn(t)是第n個陣元接收到的噪聲?？蓪㈥嚵薪邮招盘柺噶勘硎緸椋?/p>

X(t)=As(t)+v(t)

(4)

其中，X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T是陣列輸出矢量，A是信號和干擾的陣列導向矢量，s(t)是入射信號矢量，v(t)是陣列噪聲矢量，假設v(t)是均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲。

s(t)=[s1(t),s2(t),…,sP(t)]T

(5)

v(t)=[v1(t),v2(t),…,vM(t)]T

(6)

A=[a(θ0),a(θ1),…，a(θP)]

(7)

a(θi)=[1,exp(φ),…，exp((M-1)φ)]T

(8)

陣列接收信號的協方差矩陣為：

R=E[X(t)XH(t)]

(9)

在實際情況中，陣列接收信號的協方差矩陣是通過有限次的快拍估計出來的，假設快拍數為L，則陣列接收信號的協方差矩陣估計值為：

(10)

則基于最小方差無失真響應(MVDR)準則進行自適應波束形成，其代價函數為

(11)

2 基于SOCP的相干信號寬零陷自適應波束形成算法

2.1 算法原理

針對傳統自適應波束形成算法對快速移動的相干干擾抑制失效的問題，本文提出了一種基于SOCP的相干信號寬零陷自適應波束形成算法。該算法首先進行解相干處理，對接收數據協方差矩陣進行Toeplitz重構，使其包含信號和干擾的所有方位信息，然后重構了干擾加噪聲協方差矩陣并對其進行零陷展寬處理，接著在保證期望方向波束無失真前提下，約束主瓣寬度和旁瓣電平，使得波束形成器的輸出功率最小，最后將該問題轉化為凸優化中的二階錐規劃問題，并使用凸優化工具箱進行快速求解。

1)Toeplitz矩陣重構

(12)

2)干擾加噪聲協方差矩陣重構

(13)

(14)

3)零陷展寬處理

(15)

則經過零陷展寬處理后的相干干擾和噪聲的自相關矩陣為：

(16)

在式(16)中， “°”表示Hadamard乘運算。則對于快速移動的相干干擾，基于MVDR準則進行自適應波束形成的代價函數為：

(17)

2.2 相干信號寬零陷自適應波束形成優化模型

對均勻直線陣進行加權處理，令加權向量為w=[w1,w2,…，wM]，則陣列的方向圖為：

F(θ)=wHa(θ)

(18)

a(θ)是均勻直線陣的陣列導向矢量?，F將整個空域分為主瓣區ΘML和旁瓣區ΘSL，并進行離散化處理，令φm∈ΘML,(m=1,…,P)，φs∈ΘSL,(s=1,…,S)。為了保證波束中期望方向的響應不會出現失真，則必須約束wHa(θ0)=1；同時考慮到天線陣列的工作需要和性能要求，自適應形成的方向圖的主瓣波束寬度和旁瓣電平水平必須得到約束，約束條件為:

(19)

(20)

式(20)中，對加權系數進行范數約束：‖w‖≤ξ，可以提高自適應波束形成對隨機噪聲誤差的穩定性。

2.3 優化模型的SOCP形式

(21)

由式(21)可知，原優化問題已轉化為范數優化問題，顯然，優化模型是一個典型的凸優化問題，可轉化為SOCP形式進行快速求解。

則可將模型(21)描述問題的SOCP表示為：

(22)

3 仿真分析

實驗1 算法的有效性驗證

假設數據接收陣列為均勻直線陣，陣元數目為M=16。窄帶遠場期望信號的入射角度為0°，信噪比SNR=0 dB。干擾1信號和干擾2信號分別從-30°和40°方向入射到接收陣列，干噪比均為INR=30 dB。期望信號與干擾1和干擾2均相干。信號波長為λ，陣元間距d=λ/2。約束期望信號的入射角度范圍為φ=[-5°,5°]，零陷展寬的寬度為10°，約束波束主瓣寬度為20°，設置零陷深度控制參數b=2，快拍數設為200，則在不同的旁瓣電平約束條件下，本文算法自適應形成波束如圖2、圖3。

圖2 約束PSLL≤-20 dBFig.2 Constraint of PSLL≤-20 dB

圖3 約束PSLL≤-26 dBFig.3 Constraint of PSLL≤-26 dB

如圖2、圖3所示，本文算法能夠在在保證期望方向波束無失真前提下，嚴格約束主瓣寬度和旁瓣電平高度，并在快速移動的相干干擾方位附近形成寬零陷。同時也可看出，旁瓣電平的高低會影響到自適應波束形成時干擾零陷的深度；當約束的旁瓣電平較低時，干擾零陷的深度也會隨之變淺。

實驗2 零陷深度控制參數b的選擇分析

實驗參數選取同實驗1，期望信號、干擾1和干擾2完全相干，約束旁瓣電平PSLL≤-20 dB，分別取b的值為1、2和3，自適應形成波束如圖4所示。其余參數不變，b的值從1到3逐漸變化，每隔0.2取值一次，并做100次Monte Carlo實驗，自適應波束形成后的輸出信干噪比如圖5所示。

圖4 b取不同值時的波束圖Fig.4 Beamforming with different values of b

圖5 輸出SINR隨著b取值的變化Fig.5 The relationship between output SINR with b

由圖4可知，當b取不同值時，本文算法都可以在滿足主波束寬度和旁瓣電平的約束條件下在相干干擾周圍形成寬零陷。而且隨著b取值的增大，零陷深度也會加深，對相干干擾的抑制能力增強。由圖5可知，在其他約束條件不變的前提下，自適應波束形成器的輸出信干噪比先隨著b的增大而增大，但當b>1.4后，輸出信干噪比隨著b的增大開始逐漸降低。這是因為隨著b的增大，空間譜密度函數P(θ)中的干擾分量逐漸增大，干擾零陷的深度也隨之加深，強相干干擾得到了抑制，陣列輸出的SINR逐漸增大；但當干擾零陷的深度足以完全抑制強相干干擾后，b的增大不再影響輸出信號中的干擾分量，而噪聲分量得到增強的幅度又遠大于期望信號的增強幅度，此時隨著b的增大，陣列輸出的SINR逐漸降低。因此，對于零陷深度控制參數b的選取，必須綜合考慮實際情況對干擾零陷深度和輸出信干噪比的要求。

實驗3 本文算法性能隨信噪比和快拍數的變化情況

假設期望信號、干擾1和干擾2完全相干，約束旁瓣電平PSLL≤-20 dB，調整快拍數從50均勻變化至500，每次取值做100次Monte Carlo實驗，其余參數選取同實驗1，得到本文算法的輸出信干噪比同快拍數的關系如圖6所示。接著再確定快拍數為200，令輸入信噪比從-30 dB均勻變化到30 dB，每間隔10 dB做100次Monte Carlo實驗，得到本文算法的輸出信干噪比同輸入信噪比的關系如圖7所示。

圖6 輸出SINR隨快拍數的變化Fig.6 The relationship between output SINR with snapshots

圖7 輸出SINR隨輸入SNR的變化Fig.7 The relationship between output SINR with input SNR

由圖6可知，輸出SINR對快拍數的變化不敏感，當快拍數較小時(50)，本文算法就可以穩定的達到想要的輸出SINR，因此本文算法可用于對信號進行實時處理。由圖7可看出，本文算法得到的輸出SINR隨輸入SNR的增大而線性增大，這是因為本文算法約束了期望信號方向無失真，輸入SNR的增大會提高輸出中的信號分量，這將改善信號的檢測效果。

4 結論

本文提出了一種基于SOCP的相干信號寬零陷自適應波束形成算法。該算法首先進行了解相干處理，然后重構了干擾加噪聲協方差矩陣并對其進行零陷展寬處理；接著在保證期望方向波束無失真前提下，約束主瓣寬度和旁瓣電平，使得波束形成器的輸出功率最??；最后將該問題轉化為凸優化中的二階錐規劃問題，并使用凸優化工具箱進行快速求解。仿真驗證表明，基于SOCP的相干信號寬零陷自適應波束形成算法可以在兼顧全部陣列性能指標的前提下，在相干干擾方位形成寬零陷。

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Adaptive Beamforming of Coherent Signals with Null Widening Based on SOCP

HUANG Chao1, ZHANG Jianyun1, ZHU Jiabing2,WANG Yu1

(1. Electronic Engineering Institute of PLA, Hefei 230037, China；2. No.38 Research Institute of CETC, Hefei 230088, China)

Because the traditional adaptive beamformer suffers from the output performance degradation and even interference suppression failure when the position of the coherent interference moves, a adaptive beam-forming of coherent signals with null widening based on second order cone programming(SOCP) was proposed. Firstly, the algorithm formed a Toeplitz matrix based on covariance matrix of received data. Secondly, the interference-plus-noise covariance matrix was reconstructed and optimized, and null widening technique was used in the covariance matrix. Thirdly, the optimum beamforming was designed with this method according to the rule of minimizing the beamformer’s output power of interferences and noise while keeping the distortionless response in the direction of desired signal and keeping constant side-lobe level and beamwidth. At last, the original problem was translated into SOCP problem, which could be solved effectively via convex optimization toolbox. Simulation results showed that the proposed algorithm could form a wide null in the strong coherent interference position under the premise of taking all the performance of array into account .

second order cone programming(SOCP); coherent interference; covariance matrix reconstruction; null widening; convex optimization

2016-04-05

中國博士后科學基金項目資助(2014M552606)；安徽省自然科學基金項目資助(1408085MF111);中國博士后科學基金特別資助項目(2015T81083)

黃超(1991—)，男，安徽舒城人，碩士研究生，研究方向：雷達信號處理和陣列信號處理。E-mail：18226658179@163.com。

TN911.7

A

1008-1194(2016)05-0117-06