改進Kriging的熱結構耦合梁共振非概率可靠性分析

云永琥，陳建軍，曹鴻鈞

(電子裝備結構設計教育部重點實驗室(西安電子科技大學)，西安 710071)

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改進Kriging的熱結構耦合梁共振非概率可靠性分析

云永琥，陳建軍，曹鴻鈞

(電子裝備結構設計教育部重點實驗室(西安電子科技大學)，西安 710071)

針對梁結構在熱結構耦合作用時其極限狀態函數為隱式形式且難以求解的問題，基于振動可靠性理論，將改進的Kriging模型與有限元方法相結合，提出了熱結構耦合梁共振非概率可靠性分析方法.首先利用Kriging法構建熱結構耦合梁可靠性功能函數的近似模型，并利用主動學習法改進了選取新增樣本點的方式，使得改進后的Kriging近似模型更加逼近于真實極限狀態函數.在此基礎上，考慮結構參數的不確定性，對梁結構的不確定變量用區間變量進行描述，建立了含有超橢球凸集的梁結構共振非概率可靠性模型，最后結合優化方法求解出梁結構共振非概率可靠性指標.算例結果表明了該方法的合理性以及計算精度高的特點，為熱結構耦合梁的共振非概率可靠性分析提供了可行的途徑.

熱結構耦合；非概率可靠性；Kriging方法；區間變量；共振可靠度

航天器廣泛采用的大型柔性附件由于在太空中受到高溫熱載荷與結構變形之間的耦合作用，將導致不穩定的熱振動[1]，在此動態過程中，結構的變形導致熱傳導邊界條件的變化，形成不均勻的溫度場.反之由于溫變對結構參數的影響以及溫度梯度產生的熱應力，則可改變結構的剛度分布，從而影響結構固有頻率.這種溫度場與應力場之間的相互影響即為熱結構耦合效應[2].由于固有頻率的改變將影響結構的共振可靠性，為此對熱載荷下的結構進行共振可靠性分析顯得十分必要.文獻[3]基于ANSYS軟件對齒輪結構的溫度場和熱應力進行了求解，并分析了熱環境對結構固有頻率的影響.文獻[4]采用NASTRAN軟件分別研究了均勻和非均勻溫度場對壁板結構模態的影響.文獻[5]基于有限元方法建立了水輪發電機組主軸系統的非線性振動可靠性模型.文獻[6]采用點估計法計算了航空輸流管道的共振可靠度.

上述文獻對熱結構耦合以及共振可靠性的分析方法均是基于確定性結構參數和確定性數學模型，實際上由于材料特性、幾何尺寸和載荷等參數等往往具有不確定性，若將這些不確定性引入分析模型中，則能更好地反映結構中各種不確定性因素對響應的影響.然而，當各參數的不確定信息量不足以用概率模型描述時，非概率可靠性理論可為工程結構安全性提供一種有效的評估方法[7].文獻[8]基于凸模型首次提出了非概率可靠性概念，并指出凸模型包括區間模型和超橢球模型.文獻[9]利用超橢球模型變量之間相關性的優點建立了結構非概率可靠性模型.

實際工程中，對于復雜結構的極限狀態函數往往不能解析表出，這將導致傳統的可靠性方法無法求解.因此，近似模型的方法被提出，即利用較少的數值仿真結果，構造一個計算量小、精度高、求解速度快，并能替代結構極限狀態函數的模型.目前Kriging方法作為一種新的近似模擬技術[10]，已在機械、航空等領域得到廣泛的應用，該法采用了高斯隨機過程模擬，使得預測模型不僅提供了在未知點的預測值，而且還提供了不確定性的估計量.文獻[11]基于Kriging方法的優良擬合特性，高效地求解了結構的可靠性指標.

本文針對熱結構耦合梁共振非概率可靠性的功能函數不能表為顯性形式，且無法采用傳統可靠性分析方法的弊端，為提高近似模型的擬合效率，提出了利用改進Kriging方法所建立的近似模型替代梁結構的共振可靠性功能函數的方法，并與超橢球模型相結合構建梁結構共振非概率可靠性模型，采用優化方法獲得了梁結構共振非概率可靠性指標，算例表明了本文所提出方法的可行性和有效性.

1 基于Kriging近似模型的非概率可靠性

1.1 Kriging近似模型

Kriging方法是一種具有統計特征的近似技術，并有平滑效應及估計方差最小等特點，被認為是對真實計算模型最好的線性無偏估計，為復雜結構系統分析及優化提供了方便[10].Kriging近似模型假設系統的響應是一個隨機函數y(x)，由回歸模型f(x)和隨機誤差z(x)組成形式如下:

式中：f(x)=[f1(x)f2(x) …fp(x)]T，β=[β1β2… βp]T；p為變量的訓練樣本容量；z(x)服從正態分布N(0,σ2)，但協方差非零，即

若給定已知訓練樣本S=[x1x2…xp]T及其響應值Y=[y1y2…yp]T，則任意待求點xnew的線性無偏預測最優值為[10]

(1)

(2)

式中：F為由樣本點處的函數f(x)所組成的列向量；R為由R(xi,xj)構成的對稱陣；r(xnew)為待求點和訓練樣本之間的相關向量，其表達式為

方差z的估計值為

(3)

式(3)中利用極大似然估計使R滿足如下優化問題:

1.2 非概率可靠性模型

本文基于凸模型，將參數不確定性量化在超橢球域內.首先對區間變量進行標準化轉換，使變量的可行域歸一化為一個等效單位超球域.給定區間變量x∈Rn，滿足以下關系[9]：

(4)

將區間參數量綱一的離差向量δ的取值范圍定義為超橢球集合：

(5)

式中，Wi為第i個超橢球模型的對稱正定矩陣，其決定著超橢球的主軸方向，并與常數εi一起控制形狀大小.

(6)

將式(6)代入式(5)，原凸模型集合可以轉換成

式中：u為區間參數x的標準化向量，Ec為標準u空間的單位超球集合.

圖1所示為標準空間中的二維單位圓，為區間變量所對應的標準凸域，極限狀態方程g(u)經標準化變換后，其極限狀態曲線g(u)=0將標準空間劃分為可靠域(g(u)>0)與失效域(g(u)<0)，記β為平面坐標原點到極限狀態曲線的最短距離.由圖1中可見，當β=1，失效區相切于單位圓，結構處于臨界的失效狀態；當β>1時，結構變量的離差均處于可靠區內，則結構安全.顯然，當β遠遠大于1時，結構變量的離差范圍與極限狀態曲線的距離越遠，其安全程度就越高,因此可將β定義為結構的非概率可靠性指標[12].對于多個結構變量的情況，可靠性指標β可采用如下最優化目標函數值形式進行求解：

(7)

式(7)還可轉化成如下等價形式：

圖1 非概率可靠性指標示意

2 熱結構耦合梁有限元方程的建立

圖2為矩形截面梁結構示意圖，梁左右兩端固定，其y方向上表面同時受到力f0和熱流q的共同作用，下表面與外界進行對流換熱，其余表面均為絕熱.熱流均勻加載在梁上表面(見圖3)，在梁軸線方向上無溫度梯度，熱流僅沿梁厚度(-y)方向熱傳導.對此熱結構耦合梁的動力響應求解問題，須同時構建其動力學模型和熱分析模型.

2.1 梁動力學有限元模型

沿梁軸向離散為單元并建立梁結構在熱載荷下的無阻尼動力學有限元方程[13]：

(8)

(9)

式中：M為質量矩陣;u為位移向量;K為剛度矩陣;FB為力載荷列陣;FT為熱載荷列陣[14].式(9)中的剛度矩陣K除了結構自身的彈性剛度矩陣Ks=∫VBTDBdV外，還考慮了熱應力對剛度矩陣的影響，增加了一項熱應力剛度矩陣Kσ=∫VGTΓGdV，其中:B為應變矩陣;D為彈性矩陣;G為形函數對空間坐標的微分矩陣;Γ為應力矩陣.

圖2 梁結構示意

圖3 梁熱分析模型

2.2 梁熱分析有限元模型

如圖3所示，沿梁厚度方向離散為單元并建立其耦合熱傳導有限元方程[15]：

(10)

其中各個矩陣和向量的表達式如下:

式中：C為熱容矩陣；T為節點溫度列陣；N為節點溫度形函數；P為節點熱載荷列陣；Kk、Kh分別為熱傳導剛度矩陣和對流換熱矩陣；H為熱結構耦合矩陣，它表示熱載荷與結構變形的耦合作用對溫度場的影響；ρ為質量密度;k為熱傳導系數;μ為泊松比;h為換熱系數;q為熱流量;c為比熱容;T0為結構初始溫度;α為熱膨脹系數;E為彈性模量.

聯立求解式(8)和式(10)方可實現梁的熱結構耦合動力響應分析.

2.3 熱結構耦合作用下梁的固有頻率分析

在熱環境下梁結構的固有頻率計算即為求解式(11)的廣義特征值問題：

(11)

式中:ω為結構固有頻率，Φ為結構振型向量.

在式(11)求解中，質量矩陣M不受溫度影響，則結構固有頻率ω僅與結構剛度K相關.由于在溫變下所引起結構內部的熱應力將導致K的改變，從而影響結構的固有頻率.故在求解熱環境下的結構動力特性時，需考慮熱環境對結構剛度的影響.

3 熱結構耦合梁共振非概率可靠性分析方法

3.1 熱結構耦合梁共振非概率可靠性模型

為了防止梁結構的共振失效，結構激振力頻率與固有頻率應保持在一定的范圍.假設結構的激振力頻率為ω，固有頻率為ωi(x)，根據振動理論建立共振可靠性功能函數：

(12)

式中：x為影響結構固有頻率參數向量；ωi(x)為結構前3階固有頻率；γ為特定區間.

由熱結構耦合作用下梁的固有頻率分析可知，結構剛度矩陣K與物性參數以及熱應力有關，因此需要聯立式(8)和式(10)進行求解，由于方程式(8)和式(10)的非線性以及需要相互迭代計算，因此剛度矩陣K屬于非線性隱式函數.而在式(12)中，共振可靠性功能函數中的固有頻率ωi(x)與剛度矩陣K是密切相關的，故共振可靠性功能函數Z也為非線性隱式函數.針對該問題采用傳統方法來求解其可靠度將變得十分困難，特別是考慮方程的變量參數為區間不確定性變量之后，將使得計算更加復雜.為此，本文采用改進Kriging方法所建立的模型代替功能函數Z，并結合優化算法對所擬合的功能函數進行非概率可靠度指標的求解.

3.2 改進Kriging的非概率可靠度求解方法

本文進行可靠度分析的關鍵是如何準確的擬合功能函數Z所對應的極限狀態曲面.由于抽樣樣本計算出來的功能函數值大多分布在極限狀態曲面(Z=0)兩側，而那些在極限狀態曲面附近的樣本點則顯得尤為重要，將直接影響到能否準確的擬合出極限狀態曲面，它們具有如下兩個特征[16]：

考慮上述兩個特征，利用學習函數L(x)構造如下方程[16]：

本文利用學習函數L(x)改進了Kriging方法選取新增訓練樣本的方式，使得Kriging法所擬合出來的近似模型在樣本點分布的區域能更快地逼近真實極限狀態方程，忽略了那些離極限狀態曲線較遠的樣本點，從而達到提高計算精度的目的.利用改進Kriging法建立熱結構耦合梁共振非概率可靠度模型的算法步驟如下：

4 算例分析

4.1 數值小算例

假設極限狀態方程f(x,y)=3+3x+3y-x2-y2+2sin3x-sin3y=0.以18組初始訓練樣本構建最初Kriging近似模型.利用遺傳算法求得變量參數θ最優值為1.326 7.根據改進Kriging的非概率可靠度求解方法所述，展開主動學習，按照判定條件不斷選取新的訓練樣本進行計算，使改進Kriging法所建立的近似模型逐漸逼近極限狀態方程曲線.圖4(a)給出了近似模型第8次擬合的極限狀態曲線，圖4(b)顯示了在最后收斂時的擬合極限狀態曲線.

圖4 迭代過程中模擬極限狀態方程曲線

方差Kriging方法改進Kriging方法σ23．51261．1852

4.2 梁結構共振非概率可靠度分析

如圖2所示，選取航空航天領域內廣泛采用的鈦鋁合金梁作為研究對象，尺寸為：1 000 mm×30 mm×30 mm，上表面受均勻熱流q以及中部受到豎直方向激振力F=f0sin(2πωt)作用，f0=10 kN，初始溫度T0=20 ℃.材料及載荷的區間參數見表2.根據共振理論建立梁結構可靠性分析功能函數為：Z=gi=|ω-ωi(x)|-γ，γ取相應頻率均值的10%～15%.

表2 梁結構及載荷的區間參數

選取20組訓練樣本構建初始Kriging近似模型，利用主動學習方法不斷新增訓練樣本，達到56組時滿足判定條件，然后將得到的近似模型替代原隱式極限狀態方程，并將區間變量轉化為超橢球模型，采用二次規劃算法求解超橢球模型非概率可靠度指標.求解出梁結構的前三階固有頻率為159.25、437.29、856.79 Hz.梁結構的共振非概率可靠度指標為η=1.853，由于外激勵頻率360 Hz處于一階與二階固有頻率之間，故非概率可靠度指標大于1，梁結構不會發生共振失效.本文算例還得出熱應力所引起的梁結構內部應力大小為180 MPa，小于梁結構的臨界應力載荷230 MPa，故梁結構不會產生屈曲現象.

圖5給出了可靠度指標隨著激勵頻率變化的曲線圖，在共振頻率的周圍，結構的非概率可靠性指標(β)小于1，結構不可靠.圖6則從結構的位移響應驗證了圖5的正確性，圖6中給出梁中點位置隨激勵頻率變化的位移曲線，激勵頻率越遠離共振頻率，結構就越可靠.

圖5 不同激勵頻率下的非概率可靠性指標變化

Fig.5 The variation of non-probabilistic reliability index at different excitation frequencies

在表3中，假設變量在其區間范圍內呈均勻分布，將Monte Carlo法模擬計算結果作為近似精確解.本文方法計算結果與其相對誤差為1.53%，但迭代次數僅為56次，結構響應值的計算次數明顯減少.而本文方法雖然比采用響應面法的迭代次數多，但本文的計算結果則更加接近精確解，表明本文方法具有較高的計算效率.表4說明了熱結構耦合的作用使得梁結構各階固有頻率值有所增大，且增加幅度基本相同.由于共振可靠性對固有頻率比較敏感，因此在進行共振可靠性分析時，有必要考慮熱結構耦合效應對固有頻率的作用.

圖6 梁中點處的激振位移變化

計算方法計算量可靠性指標相對誤差/%MonteCarlo1061．825—響應面法(RSM)231．6758．23本文方法(改進Kriging)561．8531．53

表4 熱結構耦合效應對固有頻率的影響

5 結 論

1)將改進的Kriging模型與橢球凸集模型相結合，構建了熱結構耦合梁共振非概率可靠性模型，并采用優化方法對可靠性指標進行了求解，避免了計算模型的重復調用，大大減小了計算量，數值計算結果驗證了本文所提方法的準確性與高效性.

2)熱結構耦合效應對梁固有頻率有增大的作用，故在熱載荷下計算梁的共振可靠性時應考慮熱結構耦合效應的影響.

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(編輯 張 紅)

Non-probabilistic reliability analysis on resonance of thermal-structural coupling of a beam based on improved Kriging

YUN Yonghu, CHEN Jianjun, CAO Hongjun

(Key Laboratory of Electronic Equipment Structure Design (Xidian University), Ministry of Education, Xi’an 710071, China)

Since the implicit limit state function for thermal-structural coupling of a beam is difficult to determine, a non-probabilistic resonance reliability method for the thermal-structural coupling of a beam is presented. The method is based on the theories of resonance reliability analysis, the improved Kriging model and finite element analysis techniques. In the proposed method, the approximation model for the reliability function of the beam structure is established by Kriging method, and the improved Kriging approximate model becomes more close to the limit state function by using the active learning method to improve the selecting method of new sample points. Then considering the uncertainty of structure parameters, the parameters of beam structure are described by interval variables, so that the approximation model for the non-probabilistic resonance reliability of the beam structure including ellipsoidal convex sets can be established. Finally, the non-probabilistic resonance reliability index of the beam structure is calculated by the optimization method. The calculation results show that the proposed method is of rationality and high accuracy, and can provide a feasible way for the non-probabilistic resonance reliability analysis of thermal-structural coupling of the beam structure.

thermal-structural coupling； non-probabilistic reliability； Kriging method； interval variables； resonance reliability

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.10.019

2015-05-20

國家自然科學基金 (51175398)

云永琥(1986—)，男，博士研究生；

陳建軍(1951—)，男，教授，博士生導師

陳建軍, jjchen@xidian.edu.cn

TB114.3

A

0367-6234(2016)10-0131-06