地形橫向密度擾動對于區域大地水準面建模的影響

吳懌昊 羅志才,2

1 武漢大學測繪學院，武漢市珞喻路129號， 430079 2 地球空間環境與大地測量教育部重點實驗室，武漢市珞喻路129號，430079

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地形橫向密度擾動對于區域大地水準面建模的影響

吳懌昊1羅志才1,2

1 武漢大學測繪學院，武漢市珞喻路129號， 430079 2 地球空間環境與大地測量教育部重點實驗室，武漢市珞喻路129號，430079

分別利用Helmert和KTH法模擬試算了不同地形起伏區域內橫向密度擾動對于大地水準面的影響。結果表明，在地形起伏較小的平原或丘陵地帶，橫向密度擾動的影響一般不會超過cm級，在精度允許的范圍內可以忽略其影響；在地形起伏較大的山區，橫向密度擾動的影響可達cm甚至dm級，對于cm級大地水準面精化而言，需要考慮其影響。此外，基于Helmert與KTH法解算的結果在地形起伏劇烈的山區差異較大，由于Helmert法計算地形效應時忽略了外區地形質量的影響，其解算結果可能存在偏差?？傮w而言，在地形起伏劇烈的山區建模時，需利用多種計算方法基于實測數據分別進行試算，通過計算的變密度大地水準面與實測的GPS水準數據進行比較分析，得到適合該區域的大地水準面建模方法。

地形橫向密度擾動；大地水準面；赫爾默特凝聚法；KTH法

確定高精度、高分辨率的大地水準面是物理大地測量的主要任務之一。利用Stokes理論解算大地水準面的前提是大地水準面外部不存在剩余質量，即需對地形質量進行相應的處理，并對實測重力進行歸算[1]。對地形質量處理時往往將地殼密度作為常數而不考慮其變化，這一假設不僅在理論上存在不嚴密性，在實際大地水準面的解算中也可能會引入較大的誤差。特別是在地形復雜、起伏大的山區，地殼密度可能偏離平均值10%～20%，橫向密度擾動可能會引起較大的誤差[2]。

國內外學者對橫向密度擾動對大地水準面的影響作了相關研究。文獻[2]從理論上證明，即使是一個很小的密度擾動在山區也可能會引起dm級的誤差；文獻[3]利用赫爾默特凝聚法計算加拿大山區橫向密度擾動對大地水準面的影響，表明在該區域橫向密度擾動的影響達7.0 cm；文獻[4]的研究表明，橫向密度擾動對大地水準面的影響在最深湖(貝加爾湖)和最高山脈(喜馬拉雅山)分別達到了1.5 cm和1.78 m；文獻[5]計算了伊朗山區地殼密度擾動對大地水準面的影響，表明其影響可達dm級或以上。國外學者的研究結果表明，在地形起伏較大的區域及多山地區，橫向密度擾動對大地水準面的影響較大，需要謹慎考慮其影響。由于不同的計算方法對于地形質量的處理方式不同，基于不同方法計算的橫向密度擾動對于大地水準面的影響也會存在差異。本文利用赫爾默特凝聚法和KTH法，以國內不同區域的大地水準面建模為實例，對比分析地形橫向密度擾動對大地水準面的影響，并分析不同建模方法的優劣，以期為后續的山區大地水準面精化提供參考。

1 橫向密度擾動影響的計算方法

1.1 赫爾默特凝聚法

赫爾默特凝聚法(Helmert)并不是移除地形質量的影響，而是把地形質量的影響壓縮到大地水準面以下，并利用與高程呈簡單線性關系的重力梯度將地面重力異常向下延拓到大地水準面上。赫爾默特重力異常ΔgHelmert可表示為[6]：

(1)

式中，Δgfa表示空間重力異常。計算點p的局部地形改正tc可表示為[1]：

(2)

(3)

式中，hp表示點p的地形高，R表示地球的平均半徑。

恢復移去地形質量的間接影響，可得到最終的大地水準面。間接影響Nind可表示為[6]：

(4)

式中，γ表示平均正常重力，hp和h表示計算點和流動點的地形高。

聯合式(2)及式(3)，橫向密度擾動Δρ對Helmert重力異常ΔgHelmert的總影響可表示為：

(5)

橫向密度擾動對間接影響的影響ΔNind可表示為：

(6)

結合式(5)及式(6)，橫向密度擾動對大地水準面的總影響ΔNtotal可表示為：

(7)

式中，S(ψ)表示Stokes函數。

1.2 KTH法

KTH法利用隨機性改化形式的Stokes公式計算大地水準面。與傳統方法相比，KTH法無需進行重力歸算，而直接采用地面重力異常計算得到近似的大地水準面高，在此基礎上加上大地水準面高的附加改正項得到最終的大地水準面[7-10]。區別于傳統方法計算地形質量影響時需要分別計算直接影響和間接影響，該方法直接計算地形質量對大地水準面的總影響，即組合地形影響，可表示為[7,11]：

(8)

(9)

式(9)中等式右邊第二項的影響較小，通?？蓪⑵浜雎圆挥?，此時可表示為：

(10)

我國采用正常高系統，計算的大地水準面往往要轉換為似大地水準面，橫向密度擾動同樣也會影響上述轉換結果。大地水準面和似大地水準面差距可表示為：

(11)

(12)

簡單布格重力異常ΔgB受到橫向密度擾動的影響，造成大地水準面和似大地水準面的差距也會受到地殼密度擾動的影響。經過簡單的推導可得，橫向密度擾動對大地水準面和似大地水準面差距的影響Δζρ可表示為：

(13)

對比式(10)和式(13)可知，利用KTH法計算橫向密度擾動對大地水準面的影響與計算橫向密度擾動對大地水準面和似大地水準面差距的影響公式一致，因此在后續的試算中可以利用KTH法計算橫向密度擾動對大地水準面的影響，即計算出了橫向密度擾動對大地水準面和似大地水準面差距的影響。

2 數值分析

國外學者往往通過地質勘察部門所發布的地質圖、地理信息數據及相關信息獲取特定區域的真實地殼密度資料[3]。由于在進行相關研究中缺乏相應的地殼密度資料，本文通過模擬研究計算不同區域、不同密度擾動對該區域大地水準面精化的影響，以此說明在這些地區是否要考慮橫向密度擾動的影響。本文主要采用普拉特-海福特均衡補償系統計算的地殼均衡密度擾動[12]和模擬的特定橫向密度擾動。普拉特-海福特均衡模型假設大地水準面下方某一深度處存在一個補償面，該補償面下方的密度是均勻的，上方的質量在該補償面上產生的壓強處處相等。通過均衡補償理論就可以得到每個柱體的密度ρ，在不影響精度的情況下通過適當的平面近似ρ可表示為[12]：

(14)

式中，D表示大地水準面到補償面的距離，即補償深度；H為地面到大地水準面的距離，即海拔高程；ρ0=2.67g/cm3為平均地殼密度。

通過式(14)可得到近似的地殼密度擾動Δρ：

(15)

為了對比分析不同密度擾動對局部大地水準面精化的影響，本文在試算區域內定義了3種常密度擾動Δρ1、Δρ2及Δρ3，分別偏離平均地殼密度的5%、10%及15%，表示如下：

(16)

式中，ρ1、ρ2及ρ3表示3種相應的地殼密度。

由于密度擾動對大地水準面的影響與密度擾動大小和計算區域的地形起伏相關，為了進一步說明地形起伏的影響，本文選取兩個地勢高低、地形起伏各異的試算區域：1)我國東南某丘陵區域ΩA，其緯度范圍為26°～28°，經度范圍為116°～118°，見圖1(a)；2)我國四川省西部某山區區域ΩB，其緯度范圍為31°～33°，經度范圍為101°～103°，見圖1(b)。DEM模型采用SRTM模型，其分辨率為3″×3″，即90 m×90 m，其相應的統計信息見表 1。由圖1、圖2可知，區域ΩA地形總體上起伏較小，屬于較為平坦的區域。結合表 1和表 2，其高程平均值約為430 m，平均均衡密度擾動為0.028 g/cm3，約為平均地殼密度的1%。區域ΩB屬于海拔高程較高的山區，地形總體上起伏較大，該區域高程平均值約為3 885 m，均衡密度擾動的平均值0.236 g/cm3，偏離平均地殼密度約為8.8%，地殼密度擾動較大。

圖1 不同區域的數字地形模型Fig.1 The DEM over various computational regions

max/mmin/mmean/mstd/mrms/mΩA215524430.45270.32508.29ΩB613219523885.58467.633913.62

采用均衡密度擾動及特定的3種密度擾動，計算橫向密度擾動對大地水準面的影響。利用不同方法計算區域ΩA內橫向密度擾動影響的結果如圖3和圖4所示。由圖可見，密度擾動對大地水準面的影響與地形起伏和密度擾動本身的大小有關。由于試算區域總體上較為平坦，真實的地殼密度與平均地殼密度相差不大，橫向密度擾動對大地水準面的影響較小。若將均衡密度擾動作為真實的密度擾動信息，從表 3統計信息可知，由不同方法計算的均衡密度擾動引起的大地水準面誤差不超過cm級，其標準差在mm量級，在精度允許的范圍內可以忽略其影響。由于該計算區域地勢較為平緩，地形影響較小，上述兩種方法計算的橫向密度擾動影響的差異并不顯著。

圖2 不同區域的地殼均衡密度擾動Fig.2 The variation of isostatic crust density over various regions

max/g·cm-3min/g·cm-3mean/g·cm-3std/g·cm-3rms/g·cm-3ΩA0.1300.0020.0280.0180.033ΩB0.3140.1250.2360.0260.237

區域ΩB內基于不同方法計算的橫向密度擾動影響的結果如圖5、圖6和表 4所示?？梢钥闯?，試算區域地形起伏較大，真實的地殼密度與平均地殼密度相差較大，橫向密度擾動對大地水準面的影響較大?；贖elmert法計算的均衡密度擾動對其影響的最大值可達9.4 cm，標準差達到2.7 cm(圖5)。若真實地殼密度與平均地殼密度相差更大，會引入更大的誤差。KTH法的計算結果與地形起伏的相關程度更為明顯，基于均衡密度擾動計算的影響的最大值達到dm級，標準差為5.1 cm(圖6)，其結果對大地水準面有較大影響。Helmert法與KTH法在該區域的解算結果有較大差異(表 4)，其主要原因是Helmert法計算密度擾動的直接影響和間接影響時(見式(5)、式(6))，由于積分區域的限制而忽略了外區地形質量的影響(即地形效應的中長波影響)，使得基于該方法計算的結果產生偏差，地形起伏越劇烈，可能產生的偏差越大。這一結論與文獻[1]的研究結果一致。相比而言，KTH法基于全球高程球諧展開式求解的理論能夠較好地顧及地形影響的中長波效應，在實際計算中能更為精確地逼近相應的地形效應。由于本文研究過程中缺乏實測的重力和GPS水準數據，現階段難以定量給出基于經典Hermert法計算地形效應引入的偏差對于大地水準面的影響，未來基于某山區大地水準面建模的實例分析有望進一步討論兩種方法的差異及建模的優劣性?？傮w而言，在地形起伏較大的山區，由于橫向密度擾動引入的地形效應對高精度的局部重力場建模的影響較大，實際計算中可能需要利用多種計算方法(包括KTH、RTM及Molodensky等方法)基于實測數據分別進行試算，通過計算的變密度大地水準面與實測的GPS水準數據進行比較分析，得到適合該區域的大地水準面建模方法。

圖3 利用Helmert法計算的不同橫向密度擾動對大地水準面的影響(ΩA)Fig.3 The effect on geoid modeling by using Helmert method based on various crust density variation(ΩA)

圖4 利用KTH法計算的不同橫向密度擾動對大地水準面的影響(ΩA)Fig.4 The effect on geoid modeling by using KTH method based on various crust density variation(ΩA)

方法密度擾動max/mmin/mmean/mstd/mrms/mHelmert法均衡密度擾動0.0086-0.0002 0.00050.00110.0012地殼密度偏離正常值的5%0.0216 0.0062 0.00140.00150.0021地殼密度偏離正常值的10%0.0432 0.0123 0.00290.00300.0042地殼密度偏離正常值的15%0.0649 0.0185 0.00430.00440.0062KTH法均衡密度擾動0.0000-0.0235-0.00060.00120.0014地殼密度偏離正常值的5%0.0000-0.0240-0.00150.00190.0024地殼密度偏離正常值的10%0.0000-0.0481-0.00290.00390.0049地殼密度偏離正常值的15%0.0000-0.0721-0.00440.00580.0073

圖5 利用Helmert法計算的不同橫向密度擾動對大地水準面的影響(ΩB)Fig.5 The effect on geoid modeling by using Helmert method based on various crust density variation(ΩB)

圖6 利用KTH法計算的不同橫向密度擾動對大地水準面的影響(ΩB)Fig.6 The effect on geoid modeling by using KTH method based on various crust density variation(ΩB)

方法密度擾動max/mmin/mmean/mstd/mrms/mHelmert法均衡密度擾動 0.0943-0.0694 0.00670.02780.0286地殼密度偏離正常值的5% 0.0496-0.0312 0.00590.01430.0154地殼密度偏離正常值的10% 0.0992-0.0624 0.01170.02850.0308地殼密度偏離正常值的15% 0.1488-0.0936 0.01760.04280.0462KTH法均衡密度擾動-0.0207-0.3837-0.15840.05120.1665地殼密度偏離正常值的5%-0.0221-0.1629-0.08740.02000.0897地殼密度偏離正常值的10%-0.0442-0.3258-0.17480.04010.1794地殼密度偏離正常值的15%-0.0663-0.4887-0.26230.06010.2691

3 結 語

本文利用Helmert和KTH法模擬試算了不同地形起伏區域橫向密度擾動對大地水準面的影響。結果表明，在地形起伏較小、地勢較低的平原地區或丘陵地帶，橫向密度擾動的影響一般不會超過cm級，在精度允許的范圍內可以忽略；在地形起伏較大、地勢較高的山區，即使橫向密度擾動偏離平均地殼密度的5%，對大地水準面的影響也將達到cm級甚至dm級，對于cm級大地水準面的精化而言，需要考慮其影響。此外，Helmert與KTH法解算結果在地形起伏劇烈的山區差異較大，是因為Helmert法計算地形效應時忽略了外區地形質量的影響，其解算結果可能存在偏差，地形起伏越劇烈，可能產生的偏差越大。因此，在地形起伏較大的區域，基于更為嚴密的KTH法建模的精度更高。由于不同方法對于地形質量的處理方式不同，在地形起伏劇烈的區域建模時可能需要利用多種計算方法基于實測數據分別進行試算，通過計算的變密度大地水準面與實測的GPS水準數據進行比較分析，得到適合該區域的大地水準面建模方法。

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The Effect on Geoid Modeling Caused by Lateral Topographical Density Variation

WUYihao1LUOZhicai1,2

1 School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, 129 Luoyu Road, Wuhan 430079, China 2 Key Laboratory of Geospace Environment and Geodesy, Ministry of Education, Wuhan University,129 Luoyu Road, Wuhan 430079, China

Based on the Helmert condensation and the KTH methods, this paper studies the effect on regional geoid modeling caused by the lateral density perturbation. The simulated research shows that the effect on geoid modelling caused by lateral density variation generally does not exceed one centimeter in plains and less undulating areas; these variations can be ignored within the precision limitation. However, for mountainous areas, this effect reaches to the centimeter or even decimeter level, which should be considered carefully in centimeter-accuracy geoid modelling. These effects show significant variation in mountainous areas; the errors are supposed to exist in the results derived from the Helmert condensation method due to neglecting the outer-zone topographical effects. In total, for regional geoid modeling in mountainous areas, various geoids based on variable crust density should be computed by different approaches, and GPS/leveling data can be used to choose the optimal methodology for geoid modeling in these regions.

lateral topographical density variation; geoid; Helmert condensation approach; KTH approach

National Natural Science Foundation of China, No. 41374023.

LUO Zhicai, professor, PhD supervisor, majors in satellite gravity and physical geodesy, E-mail: zhcluo@sgg.whu.edu.cn.

2015-10-14

項目來源：國家自然科學基金(41374023)。

吳懌昊，博士生，主要從事物理大地測量學研究,E-mail: whuwyh@126.com。

羅志才，教授，博士生導師，主要從事衛星重力和物理大地測量學研究，E-mail: zhcluo@sgg.whu.edu.cn。

10.14075/j.jgg.2016.11.013

1671-5942(2016)010-1003-05

P223

A

About the first author:WU Yihao, PhD candidate, majors in physical geodesy, E-mail: whuwyh@126.com.