幾何畫板應用于“指數函數”的教學設計

江蘇省靖江中等專業學校 季潔宇

幾何畫板應用于“指數函數”的教學設計

江蘇省靖江中等專業學校 季潔宇

在傳統的教學中，考查隨著底數的變化對指數函數圖象與性質產生的影響時，通常是用描點法進行圖象教學，費時又費力。而利用幾何畫板來探究指數函數的圖象與性質則能很好地解決上述問題，將底數的變化和指數函數圖象的變化對應起來，通過底數的連續動態變化展示指數函數圖象的分布情況，給學生創造一個動態、可視的教學情景，從而突出本節課的教學重點，突破難點。

幾何畫板［1］；指數函數［2］；圖像動態變化

指數函數傳統的教學用方法主要是通過手工作出圖象來認識，考查底數的變化對指數函數圖象與性質的影響，往往是通過觀察函數值的運算得出。這一操作費時又費力，學生只能在老師的解釋和粗略的作圖條件下進行理解，而利用幾何畫板能很好地解決這一問題。在幾何畫板的背景下，只需通過改變作圖過程中參數值（即底數）所對應動線段端點的位置，就可以觀察到參數值（即底數）的變化對指數函數圖象的影響，從而讓學生在圖象觀察中總結出指數函數的性質，并能讓學生體驗數形結合的魅力及數學的動態美。

幾何畫板是一個用于幾何動態研究的計算機作圖工具，它不僅具有強大的作圖、計算及動畫功能，而且具有即時性和交互性。利用幾何畫板作圖圖形更精確、科學、合理、數學味更濃，作圖過程中也更能體現數學思想；同時利用幾何畫板輔助教學可以創造一個動態的、可視的教學情景，能使抽象的問題直觀化、形象化，學生也易于理解和接受，課堂教學效果好。

一、教學分析

1.教學背景

本節課內容是蘇教版《數學》（基礎模塊上冊），根據教學實際情況，本節內容劃分為兩個課時。第一課時：探究指數函數的圖象與性質；第二課時：指數函數性質的實際應用。指數函數是學生在學習了函數的概念、圖象與性質以及了解了冪函數之后，學習的又一個新的初等函數。它是一種新的函數模型，也是應用研究函數的一般方法，研究函數的一次深刻實踐。指數函數的學習，一方面可以進一步深化對函數概念的理解，另一方面也為研究對數函數、三角函數等初等函數打下基礎，同時在生活及生產中有著廣泛的應用。

2.教學目標

（1）知識與能力目標：能從具體實例中概括指數函數典型特征，學會用數學符號表示，建構指數函數的概念；掌握指數函數的圖象、性質及其簡單應用。

（2）過程和方法目標：能借助《幾何畫板》軟件畫出具體指數函數的圖象，探索指數函數的圖象和性質；滲透數形結合、分類討論的思想。

（3）情感態度與價值觀：在對研究的目標、方法和途徑已有初步認識的情況下，進一步培養學生較好的歸納、猜想和推理能力；在探究活動中，學生通過獨立思考和合作交流，發展思維，養成良好思維習慣，提升自主學習能力。

3.教學對象

中職一年級會計班

4.教學方法

任務驅動法、小組合作法

5.教學重難點

重點：指數函數的圖象與性質。

難點：指數函數性質的探究過程及其圖象與底數的關系。

6.教學準備

多媒體教室、班級分為ABCDEF六小組。

二、教學設計

1.教學軟件設計

（1）用PowerPoint制作演示文稿，在投影中體現課題、教學目標、學習方法、問題、結論等。

（2）用《幾何畫板》軟件制作“描點法作指數函數圖象”、“底數在連續變化的指數函數圖象”等動態課件。

2.教學流程設計

（1）創設情境，建構概念

【情境1】某細胞分裂時，由一個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，……如果不考慮細胞的死亡，細胞分裂x次時相應的細胞個數為y，如何描述這兩個變量的關系？

【情境2】“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。設木棰的剩余量為y，次數為x，如何描述這兩個變量的關系？

【設計意圖】通過列舉生活中指數函數的具體例子，感受指數函數與實際生活的聯系。引導學生從具體實例中概括典型特征。

【設計意圖】概念教學應當讓學生感受形成過程，了解知識的來龍去脈。指數概念的形成，經歷一個由粗到細、由特殊到一般、由具體到抽象的漸進過程，符合學生的認知規律。

例1：（搶答）判斷下列函數哪些是指數函數？

小結：指數函數是y=ax或化歸成y=ax形式的函數。

【設計意圖】本環節主要設計意圖是加深學生對指數函數定義及呈現方式的理解，通過例1來檢測學習效果；教師請學生給出答案，并進行評析。

（2）實驗探索，匯報交流

問題1：你打算如何研究指數函數的性質？

啟發：我們一般研究函數的時候都研究哪些性質？當初我們是怎樣研究這些性質的？請同學們思考后組內交流。

【設計意圖】學生已經學習了函數的概念、表示方法及其性質，所以教師可以先讓學生明確研究函數性質的內容與方法，然后通過問題串的形式對學生進行啟發。

討論得出：一般研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性。獲得性質的途徑有：一種是從圖象入手，即我們可以通過畫具體函數圖象，分析它們的性質。然后由這幾個具體的指數函數歸納總結一般指數函數的性質。另外一種就是從函數的解析式入手，用代數式證明的方法獲得性質。事實上，我們可以將兩者結合起來，先從具體圖象入手獲得性質然后利用代數式證明的方法對獲得的性質加以證明。

【設計意圖】學生在對已有的函數的認知基礎上，各小組討論提出所要研究的問題及研究問題的方法。

問題2：選取數據，畫出圖象，觀察特點，歸納性質。

【設計意圖】考慮到中職學生已有的認知水平，老師直接規定每小組畫一對具體指數函數圖象，這有可能造成學生片面的認知，但是通過組間交流，學生相互補充，共同驗證結論，最后達到完整的認知。

【設計意圖】教師啟發、點撥。以小組為單位，選出代表匯報學習成果，投影并供全體學生交流。教師演示“描點法作圖”、“底數在連續變化時指數函數圖象”使之與匯報交流活動達成共識，最后實現殊途同歸。

師生共同得出幾何特征并板書，指數函數y=ax（a＞0且a≠1）具有以下性質：

①定義域為R。

②值域為（0，+∞）。

③圖像過定點（0，1）。

④非奇非偶函數。

⑤當a＞1時，函數y=ax在（-∞，+∞）上單調遞增；0＜a＜1時，函數在（-∞，+∞）上單調遞減。

【設計意圖】由幾何畫板的動態圖象歸納得到的性質最好得到有理有據的驗證，對于指數函數引導學生從函數解析式入手進行證明，例如指數函數定義域、值域、過定點等。

（3）新知運用，鞏固深化

例2比較下列各組數中兩個值的大?。?/p>

解：①考察指數函數y=1.6x。

因為1.6＞1，

所以y=1.6x在（-∞，+∞）上單調遞增。

又因為3.2＜3.3，

所以1.63.2＜1.63.3。

②、③略。

［設計意圖］大部分學生能運用指數函數單調性解決問題，可能有部分同學利用作商或作差進行比較，轉化為比較冪與1的大小，進而運用指數函數的單調性。學生在初步運用新知解決問題時，提醒學生應注重題意理解，擴大知識遷移，感悟解題方法，鞏固新知，加深理解。

思考：①、②能否用函數的圖象來驗證一下答案？③能否用計算器來驗證一下答案？

幾何畫板驗證①、②如下圖：

知識拓展：“復利”實際上就是我們通常所說的“利滾利”。即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再計算下一期的利息。如果存入銀行1000元，年利率是2.25%，按照復利，試計算5年末的本利和。你能在Excel工作表中完成相應的財務函數計算嗎？

提示：FV函數，在固定利率的等額分期付款方式中，計算某項投資的終值。只需在Excel單元格中輸入“=FV（rate，nper，pmt，［pv］，［type］）”即“FV（利率，期數，每期投入，初期值，期初/期末模式）”便可得到，如下圖。

［設計意圖］讓學生體會數學是學好其他專業課的基礎。

（4）概括知識，總結評價

問題3：本節課我們學習了哪些知識？你還學會了哪些方法？

①指數函數的定義、性質以及簡單應用。

②研究函數的一般方法和步驟。先確定研究的內容：定義域、值域、單調性、奇偶性和其他性質；然后從幾個具體的指數函數開始，畫出圖象，列出性質；最后得到一般情況。這是一種從特殊到一般的研究方法，這種方法在今后我們學習新的函數的時候還會繼續沿用、還要繼續深化。

【設計意圖】課堂總結不應僅僅是對知識的簡單回顧，而是讓學生在知識、方法、策略等多方位進行反思，使學生在獲得知識的同時能力也有所提高。

（5）分層作業，因材施教

①必做題：課本P79練習1、2、3

學習指導用書B組1、2、3、4。

三、教學反思

1.探究指數函數的圖象與性質是本節課的一條主線，而知識的建構始終圍繞數形結合來進行，在函數性質探究的過程中要制作大量的圖形，因此教學中使用《幾何畫板》軟件來完成這一任務，將不同的函數圖象展示出來，同時又能動態地展示函數圖象的形成過程以及變化過程?！稁缀萎嫲濉返氖褂?，使得軌跡問題形象直觀，便于正確建構知識。學生可以從多個維度感受和體驗知識的發生、形成過程，培養數形結合的能力，同時也激發了學生的興趣和熱情，活躍了學生的思維，調動了學生積極參與、主動學習、獨立探索新知識的精神。

2.本節課充分體現以學生為主體，教師為主導的教學理念。每一個教學環節，每一個學生都能夠積極參與，在相互學習中，不同層次的學生都得到了不同的收獲；在相互切磋中，學會了用多種方法來學習，打開了學生的學習視野。既有全體學生的共同提高，又不乏個性智慧之光，使教師向“因材施教”的理想邁進了一步。

3.在教學過程中，語言不夠簡練，與學生的互動面不夠廣，還不夠讓學生充分展現自己。

［1］葉建紅.幾何畫板在中職數學教學中的應用［J］.科技信息，2012（18）：345-346.

［2］崔永紅，邱亞明.改進指數函數教學設計的三個案例［J］.職業教育研究，2010（11）：104-105.