劉佳
概率滲透到現代生活的方方面面.正如19世紀法國著名數學家拉普拉斯所說:“對于生活中的大部分,最重要的問題實際上只是概率問題.你可以說幾乎我們所掌握的所有知識都是不確定的,只有一小部分我們能確定地了解.甚至數學科學本身,歸納法、類推法和發現真理的首要手段都是建立在概率論的基礎之上.”
概率是對一個事件發生的可能性大小的描述.以生活實際中的概率問題為背景,初步認識概率,也為學習高中數學中的概率知識內容打下基礎.然而,正因為才初步接觸相關知識,在實際學習中同學們對這部分的內容會有不少的混淆以及錯誤,下面就這些錯誤的成因以及解決策略進行簡單的闡述.
易錯點1:對事件發生概率的理解不清晰
例1 下列事件屬于必然事件的為( ).
①今天下雨的可能性為99%;②太陽從東方升起;③某種彩票平均每10張中有一張中獎,小紅買了10張這種彩票,肯定有一張獲獎;④南沙群島的某一天下了一場大雨.
A. ② B. ②③
C. ②③④ D. ②④
【學生錯解】B.
【學生分析】每10張彩票有1張中獎,那么每張彩票的中獎概率就是1/10,所以10張彩票中必然有一張會中獎,所以③是正確的.
【錯因分析】必然事件是指一定會發生的事件,②中太陽從東方升起是必然事件,③中彩票的中獎概率是1/10,并不代表10張彩票中必然有一張彩票會中獎,而正確的④選項同學們較易忽視,南沙群島的某一天下了一場雨是過去已經發生了的事,所以是必然事件,這與①中的情況恰好相反,今天下雨是還未發生的事件,所以①是不確定事件.
【正解】D.
易錯點2:幾何概型的認識錯誤
例2 在一次晚會上玩飛鏢游戲,靶子設計如圖1所示,從里到外的三個圓的半徑之比為1∶2∶4,則打中陰影部分的概率為多少?
【學生錯解】P(打中陰影部分)=2-1/4=1/4.
【學生分析】
P(打中陰影部分)=陰影部分圓環的寬度/大圓半徑
【錯因分析】該題考查的內容是幾何概率模型,根據幾何概型的意義,應求出陰影部分的面積占總面積的比,要避免單純依靠公式機械計算.
【正解】P(打中陰影部分)=π2-π1/π4
易錯點3:利用樹狀圖解決問題缺乏靈活性
例3 我市舉辦了首屆“漢字聽寫大賽”,經選拔后有50名學生參加決賽,這50名學生同時聽寫50個漢字,每正確聽寫出一個漢字得1分,根據測試成績繪制出頻數分布表和頻數分布直方圖如下:
(1) 求表中a的值;
(2) 請把頻數分布直方圖補充完整;
(3) 若測試成績不低于40分為優秀,則本次測試的優秀率是多少?
(4) 第5組10名同學中,有4名男同學,現將這10名同學平均分成兩組進行對抗練習,且4名男同學每組分兩人,求小宇與小強兩名男同學能分在同一組的概率.
【正解】(1) a=50-4-8-16-10=12
(2)
(3) 優秀人數=12+10=22(人)
優秀率=22/55×100%=44%
【學生錯解】(4) 設四名同學分別為①②③④,其中①代表小宇,②代表小強,樹狀圖如下:
由樹狀圖可知,共有12種等可能情況,符合題意的情況共有2種,所以P(小宇小強共組)=2/12=1/6.
【錯因分析】這與摸球問題的區別在于,當③號和④號出現在一組時,小宇和小強也恰好是在同一組的,所以符合題意的等可能情況共有4種.
【正解】(4) 由樹狀圖可知,共有12種等可能情況,符合題意的情況共有4種,所以P(小宇小強共組)=4/12=1/3.
(作者單位:江蘇省常州外國語學校)