一類新超混沌系統的動力學行為及電路實現

尹社會，郭洪林

（河南工業職業技術學院 河南 南陽 473000）

一類新超混沌系統的動力學行為及電路實現

尹社會，郭洪林

（河南工業職業技術學院 河南 南陽 473000）

利用狀態反饋法構造了一類新的四維超混沌系統，通過Matlab進行了數值模擬，并結合相圖、Lyapunov指數譜圖和分岔圖等對該系統進行了定性和定量的動力學行為分析。通過Multisim振蕩電路的搭建對該系統進行了電路仿真實驗，實驗結果與Matlab數值模擬結果一致，驗證了該系統的混沌特性。

超混沌系統；Lyapunov指數；分岔圖；電路仿真

混沌是發生在確定性系統中的一種不確定行為，混沌狀態是平衡狀態、周期狀態、擬周期狀態以外的第四種狀態?；煦缡欠蔷€性科學的一個重要分支，混沌理論的研究及其在信息安全領域中的應用是當前科學界和工程領域的一個前沿課題[1-10]。由于電路系統與其對應的數學模型具有很好的吻合性，使電路模型能夠方便地模擬各種非線性混沌系統，并能很好地復現各種復雜的非線性現象；且電子測量更為方便，如采用示波器，可以直接獲得被測量數據的時域圖和相圖。在混沌的理論探索和應用研究中，非線性電路充當著橋梁的角色。借鑒已有的混沌系統，可以設計各種混沌、超混沌系統及實現線性系統的混沌化。從電路的設計這個角度來考慮，在混沌理論分析的基礎上，將狀態方程中的各種理論參數數值通過某種對應關系的變換，然后將理論參數值轉換成實際所需要的電路參數值，這種用理論指導電路設計的方法是最終解決用電路實驗證實產生混沌吸引子具有可行性的關鍵技術所在[11-16]。利用這種方法獲得的電路參數具有較高的準確性，可進一步用于指導硬件電路的設計與實驗，這些電路參數設計值的準確性很高，當電路設計完成后，很多電路實驗都只需對某些元件的參數值稍微作一點調試，便可獲取所需的硬件實驗結果。隨著電子元器件精度的提高與電子技術的發展，使得實驗數據的精度大幅提高，直接推動了混沌電路的深入研究。

1 數學模型及其主要結果

張轉周等提出的的一個三維非線性混沌系統[17]，其數學模型如下，

由于其特殊的動力學行為，該系統的動力學特性被分析并研究，其全局動力學行為也被研究過[18]。本文基于該三維非線性系統構建了一個新四維超混沌系統，通過在第2個方程中加入擾動項，并引入第4個方程。其數學形式如下：

圖1 系統（2）軌線的相圖

為了探討系統 （2）的動力學行為的復雜性，下面通過Lyapunov指數譜圖和分岔圖進行研究。在系統參數a=5，c=1，d=0.1，e=7.2時，通過改變參數b可以發現系統的動力學行為的變化，如圖2所示，參數b∈[1，24]，可以發現在區間[1，9.4]內系統（2）只有一個Lyapunov指數為0，其余均小于0，說明系統處于周期運動狀態，中間有很小的區間會出現最大Lyapunov指數大于 0的情況，即出現混沌狀態。在區間[9.4，24]內會出現兩個正的Lyapunov指數，說明系統處于超混沌狀態，但是其中第二、第三Lyapunov指數都非常接近于0，這說明系統的超混沌特性并不是太明顯。分岔圖是另一個驗證系統動力學特性的有效手段，如圖3所示，可以看出，結論與圖2非常一致。

圖2 Lyapunov指數譜圖

圖3 系統（2）的分岔圖

圖4 極限環相圖（b=5）

2 電路設計與實現

對系統（2）進行電路仿真則需要考慮系統的狀態變量的變化范圍是否超出運算放大器、乘法器的電源電壓提供范圍，具體涉及到運算放大器組成的反相比例放大器、反向加法器、減法器以及積分器等電路模塊中的運算放大器是否工作在線性工作區，因此在進行具體的電路實現時要進行狀態變量的適當比例變換。在本系統中，可以進行縮放到原來的1/10的線性變化，即令因為改變變量符號并不影響方程，因此這里依然采用原來的變量符號，則系統（2）變換為

在系統（3）中，運算放大器采用TL062，乘法器采用AD633，根據系統（3）可以得到相應的電路原理圖，如圖5所示。

電路中已經標注各元件對應的參數值及型號，限于篇幅，這里不再贅述。通過示波器可以觀察到系統（3）產生的相圖如圖6和圖7所示，與前面的圖1和圖4相比較可以看到，模擬電路的實驗結果與計算機數值仿真結果具有很好的一致性。

3 結論

本文從一個三維非線性混沌系統出發，通過線性反饋構造了一個四維超混沌系統，然后通過 Lyapunov指數和Lyapunov維數，吸引子相圖、分岔圖和Lyapunov指數譜圖證明了系統的超混沌特性。最后通過模塊化模擬電路的設計實現了系統的模擬電路，電路實驗結果與數值仿真結果相一致，為系統的實際應用提供了良好的條件。以后的工作重點將考慮構造基于新超混沌系統的混沌保密通信系統。

圖5 電路原理圖

圖6 示波器觀察到的混沌吸引子相圖

圖7 示波器觀察到的極限環相圖

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Dynamics behavior of a class novel hyper-chaotic systems and its circuit implementation

YIN She-hui，GUO Hong-lin
（Henan Polytechnic Institute，Nanyang 473000，China）

A class of hyper-chaotic system is constructed based on state feedback method in this paper.The phase portrait，Lyapunov exponent diagram and bifurcation diagram for the system by Matlab are obtained.The circuit simulation of system is also obtained by Multisim.Both results obtained by above methods are consistent.

Hyper-chaotic system；Lyapunov exponent；bifurcation diagram；circuit simulation

TN911

A

1674－6236（2016）15-0042-03

2016-01-16 稿件編號：201601121

河南省科技發展計劃項目（142300410416）；南陽市科技發展計劃項目（2013RK013）

尹社會（1979—），男，河南沈丘人，碩士研究生，講師。研究方向：非線性電路和系統等。