平面三次PH過渡曲線的構造

劉瑩瑩, 王旭輝

(合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230009)

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平面三次PH過渡曲線的構造

劉瑩瑩, 王旭輝

(合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230009)

文章采用三次PH曲線構造兩圓之間的過渡曲線(兩圓不相互包含的情況)，該過渡曲線滿足G2連續條件。因為在兩圓不相互包含的情況下,曲線兩端點處曲率同號,所以能構造出C型過渡曲線。在一定條件下,可以證明兩圓之間存在唯一的三次PH過渡曲線。此外,文章還給出了該過渡曲線的構造算法,并通過實例驗證了該方法的有效性。

三次PH曲線;G2連續;過渡曲線;曲率

0 引 言

平面G2連續過渡曲線可用于2條曲線(如兩圓弧)間的光滑拼接。一般地,G2連續過渡曲線在端點處保持切向量平行且曲率相等。為了使得過渡曲線盡可能光滑,要求曲線內部曲率盡可能單調;若無法保證單調,也要求曲線內部有盡可能少的極值點。G2連續過渡曲線在工程設計中有廣泛的應用,如公路或鐵路等工程和技術設計、機器人行動路徑的規劃等。

為了保證過渡曲線的曲率盡可能單調,文獻[1]利用clothoid曲線構造了一種過渡曲線。雖然該過渡曲線曲率單調,但因為該曲線的表達式涉及到Frensel積分,所以該過渡曲線與傳統的CAD/CAM系統不兼容。文獻[2]提出運用三次Bézier曲線構造過渡曲線。一般地,Bézier曲線在計算中有很多局限性,如它的弧長公式和等距曲線公式無法表示為有理形式或多項式形式。為了解決這些問題,文獻[3-5]采用五次PH曲線構造過渡曲線；文獻[6-8]提出三角Bézier-like曲線構造過渡曲線；文獻[9]提出用三次PH曲線構造兩曲率圓內含情況下的過渡曲線,并給出這種情況下圓心距的取值范圍,取得了較好的結果。

本文給出兩圓不相互包含情況下的過渡曲線的構造方法。通過對兩圓的半徑進行限制,給出兩圓之間圓心距的范圍,可以得到兩圓之間存在唯一的三次PH過渡曲線。

1 問題背景

給定平面參數曲線方程P(t)=(x(t),y(t)),該參數曲線的切向量P′(t)=(x′(t),y′(t)),曲線P(t)的曲率為：

(1)

其中

對于參數曲線,如果它的單位切向量連續變化且曲率也連續變化,那么稱該曲線二階幾何連續,記為G2。如果該過渡曲線內部曲率值是由負變到正或由正變到負,那么該過渡曲線稱為兩圓弧間S型G2連續過渡曲線,如果該過渡曲線內部曲率值不變號,那么稱其為兩圓弧間C型G2連續過渡曲線。

1990年,Farouki和Sakkali在計算機輔助幾何設計中引入Pythagorean-hodograph平面曲線(簡稱PH曲線)。PH曲線具有很好的性質,例如其弧長可以用含參數的多項式精確表示。

定義1 對于多項式參數曲線P(t)=(x(t),y(t)),若存在多項式σ(t),使x′2(t)+y′2(t)=σ2(t)，則稱P(t)為PH曲線。

定義2 給定三次多項式Bézier曲線

(2)

(3)

對應的u(t)、v(t)應為一次多項式,令

(4)

根據三次PH曲線控制多邊形的幾何特征,此時的三次Bézier控制頂點可以表示為：

(5)

由(2)～(4)式,可得：

(6)

為方便計算,取控制多邊形的起點向量P0=(0, 0),控制多邊形的邊向量P1-P0=(1, 0),故

(7)

將(7)式代入(5)式,得v0=0。在這種情況下,(5)式和(6)式可改寫為：

(8)

(9)

由(9)式可得κ(0)與κ(1)同號。故在兩圓不相互包含的情況下,三次PH過渡曲線為C型過渡曲線。

2 三次PH曲線構造過渡曲線

設三次PH曲線的兩端點分別為P0和P3,P0的曲率圓心以及曲率半徑分別為C0和r0,P3的曲率圓心以及曲率半徑分別為C1和r1。若圓心距為r,則有|C1-C0|=r。

首先由G2連續可得：

(10)

假設r1>r0,若令：

(11)

(12)

將(11)式和(12)式代入(10)式,可得：

(13)

引理1(Kneser定理) Spiral上任何一點的曲率圓一定包含較小的曲率圓,并且一定被較大的曲率圓所包含[10]。

由引理1知,在兩圓不相互包含的情況下,構造C型G2連續過渡曲線,不可能找到Spiral曲線,即這種過渡曲線不能保持曲率單調,故曲率內部必包含極值點。為了保證曲線盡可能光滑,本文要求曲線內部有盡可能少的極值點,并假設所構造的C型過渡曲線曲率只存在一個極值點。

下面討論PH過渡曲線的存在性。

定理1 當兩圓不相互包含時,即當r>r1-r0時,若

(14)

則(2)式定義的三次PH曲線為C型過渡曲線。

證明 三次PH曲線的曲率導數為：

(15)

其中

當00,相應地,f(0)f(1)<0,這時的三次PH曲線有盡可能少的曲率極值點。因此由三次PH曲線構造的是C型G2連續過渡曲線。

(16)

且

(17)

其中

(18)

則滿足上述條件的三次PH過渡曲線是唯一的。

證明 設三次PH曲線的兩端點分別為P0和P3，P0的曲率圓心以及曲率半徑分別為C0和r0,P3的曲率圓心以及曲率半徑分別為C1和r1，三次PH曲線的坐標系設定與端點曲率圓如圖1所示。若圓心距為r,則有|C1-C0|=r。

圖1 三次PH曲線的坐標系設定與端點曲率圓

由圖1得:C0=(0,r0),C1=(x3-r1sin 2θ,y3+r1cos 2θ),則兩圓之間的圓心距向量為C1-C0=(x3-r1sin 2θ,y3+r1cos 2θ-r0)。

構造關于θ的函數g(θ)=|C1-C0|2-r2。令q=cosθ,則0≤q<1。將r0=λ4r1帶入g(θ)得關于變量q的四次方程為:

(19)

由(19)式得:

且

因為

3 過渡曲線生成算法

過渡曲線生成算法步驟如下：

(1) 輸入要生成的過渡曲線初始端點P0,根據(11)式和(16)式的要求,輸入兩圓的半徑r0、r1以及λ的值。

(2) 根據(17)式和(18)式的要求,輸入兩圓的圓心距r,由(19)式解出q和θ的值。

(3) 將θ代入(13)式,求出u0、u1、v1的值。

(4) 將u0、u1、v1代入(8)式和(2)式,輸出相應的三次PH C型過渡曲線。

4 數據實例

例1 給定起點P0=(0,0),選取r0=1,根據0.517 6<λ<1,本文選擇r1=1.5,這時P0的曲率圓為Ω0,并且圓心為(0,1),經過一系列計算可知,要構造的過渡曲線的端點曲率圓的圓心距的范圍為(r1-r0)

圖2 r1=1.5時的三次PH過渡曲線(實線部分)

圖3 曲率圖和曲率的導數圖

例2 給定起點P0=(0,0),選取r0=2,根據0.517 6<λ<1,本文選擇r1=2.469 1,這時P0的曲率圓為Ω0,并且圓心為(0,r0),經過一系列計算可知,要構造的過渡曲線的端點曲率圓的圓心距的范圍為:(r1-r0)

圖4 r1=2.469 1時的三次PH過渡曲線(實線部分)

5 結 論

本文基于次數較低的三次PH曲線,從其G2連續的代數角度來構造兩圓不相互包含情況下的過渡曲線。因為次數較低,所以在方程求根時,克服了傳統方法求近似解的缺點,計算更加簡便。此外,本文給出求兩圓不相互包含的情況下,生成PH過渡曲線的方法,證明了此種情況下只存在唯一的PH過渡曲線。

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[10] GUGGENHEIMER H W.Differential geometry[M].New York:McGraw-Hill,1963.

(責任編輯 朱曉臨)

Construction of planar cubic PH transition curve

LIU Yingying， WANG Xuhui

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Cubic PH curves were used to construct the transition curves between two circles where one circle is not included in the other one. The transition curves are G2continuous at the two endpoints. Under the assumption that one circle is not included in the other one, the curvature of the curve at the endpoints is positive or negative simultaneously. Thus, C-shaped transition curves can be constructed. Moreover, under some special conditions, the cubic PH transition curve is unique. An algorithm is also provided to generate the cubic PH transition curves. Finally, the effectiveness of the presented method is demonstrated by some numerical examples.

cubic PH curve; G2continuity; transition curve; curvature

2015-03-25；

2015-05-25

國家自然科學基金青年基金資助項目(11301131)

劉瑩瑩(1972-),女,安徽六安人,合肥工業大學碩士生;

王旭輝(1980-),男,安徽廬江人,博士,合肥工業大學副教授,碩士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.09.026

TP391

A

1003-5060(2016)09-1288-05