高維奇異攝動最優控制問題中的空間對照結構

武利猛,倪明康,陸海波,張娟

(1.河北科技師范學院數學與信息科技學院,河北秦皇島066004; 2.華東師范大學數學系,上海200241;3.上海應用技術學院經管學院,上海201418)

高維奇異攝動最優控制問題中的空間對照結構

武利猛1,倪明康2,陸海波3,張娟1

(1.河北科技師范學院數學與信息科技學院,河北秦皇島066004; 2.華東師范大學數學系,上海200241;3.上海應用技術學院經管學院,上海201418)

研究了一類線性高維奇異攝動最優控制問題的空間對照結構解,利用k+σ交換引理證明了空間對照結構解的存在性.同時,利用邊界層函數法基礎上發展起來的直接展開法構造了該問題一致有效的形式漸近解.最后,通過例子驗證了主要結果.

奇異攝動;最優控制;空間對照結構

0 引言

奇異攝動理論的發展已經經歷了一個多世紀,它已被人們推廣和應用到自然科學的各個領域.特別是邊界層函數法、匹配法、多尺度方法等在控制論、天體力學、流體力學、光學、聲學、天體物理、化學反應動力學、土木工程、海洋等學科中得到了成功的應用［1］.奇異攝動方法自上世紀60年代開始應用于控制理論研究,并一直伴隨著控制理論的發展而不斷壯大.通常構造奇異攝動最優控制問題的漸近解有兩種方法:第一種方法是將漸近方法直接應用于最優性條件［2］,第二種方法是在利用邊界層函數法基礎上發展起來的直接展開法來構造最優控制問題的漸近解［3］.直接展開法的思想是:首先將性能指標、狀態方程和邊界條件按快慢尺度分離,然后對小參數進行展開.通過直接展開,我們得到一系列極小化控制序列,每一個新的控制序列簡化了原問題的性能指標.需要指出的是,直接展開法不但容易找到漸近解之間的關系,而且表明了最優控制問題的本質,同樣地,它可以直接應用于一些最優控制計算算法.

文獻［4-5］利用直接展開法和邊界層函數法分別研究了向量和數量情形奇異攝動變分問題中的空間對照結構解的存在性,并構造了其一致有效的形式漸近解.文獻［6］證明了線性最優控制問題中階梯狀空間對照結構的存在性.空間對照結構理論初建于上世紀九十年代中期［7-13］,現已成為奇異攝動領域中的熱點問題之一.

應用文獻［4-5］中的思想,我們借助于k+σ交換引理和直接展開法考慮高維奇異攝動最優控制問題,不但證明了奇異攝動最優控制問題空間對照結構解的存在性,而且構造了最優控制和最優軌線的漸近解.本文簡化了空間對照結構解的存在性定理證明,進一步推廣了文獻［4-5］的相應結論.

1 問題陳述

考慮高維奇異攝動最優控制問題

其中μ＞0是小參數,y∈Rn,u∈Rn,A(t)和B(t)是n×n矩陣.

由于討論的需要,我們對(1)中的函數給出一些限制條件.

［H1］假設函數f(y,u,t)在區域D={(y,u,t)|||y||＜H,u∈Rn,0≤t≤T}上充分光滑,A(t)和B(t)是充分光滑的且fuu(y,u,t)＞0,B(t)是非奇異矩陣,t∈［0,T］,其中H是一正常數.

在(1)中令μ=0得到相應的退化問題

(2)可記為

［H2］假設存在互不相交的兩函數,使得

由假設［H2］可知

考慮Ham ilton函數

其中λ=(λ1,λ2,···,λn)T是Lagrange乘子.

由最優解的必要條件可以推出

由(5),我們可以得到如下奇異攝動邊值問題

［H3］假設系統(6)的特征方程

有2n個實特征根λi(t),i=1,2,···,2n,其中

2 解的存在性

考慮系統(6)的“連接問題”

邊界條件可以記為

圖1 系統(9)的奇異解Fig.1 Singu lar solution of system(9)

我們給出如下定義

其中Ws(S1)為S1的穩定流形,Wu(S2)為S2的不穩定流形,ω(N0)為N0的ω極限集, α(N1)為N1的α極限集,Ui為χ1從時刻Ti-δ到時刻Ti+δ的映像,這里Ti±δ為沿著每個慢流形上所走的時間,i=1,2.

［H4］假設流形與過點M1(0)的n維穩定流形Ws(M1(0))橫截相交,Wu(S1)和 Ws(S2)橫截相交,且與過點M2(T)的n維不穩定流形Wu(S2)橫截相交.

結合M.K.Ni和Z.M.Wang［14］的主要結果,借助于首次積分,我們可以得到確定t0的方程,這和文獻［14］的做法類似,只需關于t0的方程滿足相容性條件即可,這里不再贅述.

定理1如果滿足假設［H1］-［H4］,那么對于充分小的μ＞0,最優控制問題(1)存在階梯狀空間對照結構解,并且滿足極限關系

類似地,記過S2的不穩定流形為Wu(S2),設,那么dim Wu(S2)=n+1.由假設［H4］和橫截的定義知σ2=n+n+1-2n-1=0.容易得到dimχ2=0,dim U2=1,dim Ws(U2)=n+1.

記σ=dim(Ws(U2)∩Wu(U1)),由橫截的定義可知σ=n+1+n+1-2n-1=1,即存在S1到S2的異宿軌道.

綜上分析,問題(1)滿足k+σ交換引理的條件,故定理成立.

3 漸近解的構造

根據直接展開法,假設問題(1)的形式漸近解為

其中τ0=tμ-1,τ=(t-t*)μ-1,τ1=(t-T)μ-1,是正則項級數系數,Lkx(τ0)是左邊界層項級數系數,Rkx(τ1)是右邊界層項級數系數,是內部轉移層項級數系數.

轉移點t*(μ)∈［0,T］,它具有如下漸近展開式

結合文［4］的主要結果,可知

把形式漸近解(10),(11)代入到(1)中,按t,τ0,τ與τ1分離,再比較μ的同次冪,可以得到確定,k≥0,的一系列最優控制問題.

由假設［H2］,可得

接下來,我們給出確定L0y(τ0),L0u(τ0)和R0y(τ1),R0u(τ1)的方程和條件:

這樣,我們就構造了所有主項的漸近解

結合定理1和N.Fenichel［15］的主要結果,我們有如下定理.

定理2如果滿足假設［H1］-［H4］,那么對足夠小的μ＞0,最優控制問題(1)存在階梯狀空間對照結構解y(t,μ),進一步滿足如下漸近表達式

4 例子

考慮如下具體最優控制問題

對于問題(15),容易驗證其滿足假設［H1］-［H4］.接下來利用前面給出的方法來構造其一致有效漸近解.

通過計算容易得到

這里t0=π,相應地也就確定了.

左右內部層的零次近似滿足以下問題

同理可得

從而我們得到問題(15)的形式漸近解為

將漸近解和數值解進行比較,結果如圖2所示.

圖2 數值解和漸近解Fig.2 Numerical solution and asym p totic solution

從圖2我們可以看出,漸近解和數值解是比較擬合的,從而很好地驗證了主要結論.

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(責任編輯林磊)

Contrast structure of higher dimensional singularly perturbed optimal control problem

WU Li-meng1,NI Ming-kang2,LU Hai-bo3,ZHANG Juan1
(1.School of Mathematics and Information Technology,Hebei Normal University of Science and Technology,Qinhuangdao Hebei 066004,China; 2.Department of Mathematics,East China Normal University,Shanghai 200241,China; 3.School of Economics and Management,Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418,China)

In this paper,a class of linear high-dimensional singularly perturbed optimal control problem is discussed.By means of k+σexchange lemma,we prove the existence of contrast structure solution for the singularly perturbed optimal control problem. Meanwhile,by virtue of the direct scheme method which is based on boundary function method,we construct the uniformly valid formal asymptotic solution.Finally,an example is presented to illustrate the main results.

singular perturbation;optimal control;contrast structure

O175.14

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2016.01.003

1000-5641(2016)01-0019-08

2014-12

國家自然科學基金(11401385,11371140);河北省自然科學基金(A 2015407063);秦皇島市科學技術研究與發展計劃項目(201401A 038);河北科技師范學院博士基金(2013YB008)

武利猛,男,博士,研究方向為奇異攝動最優控制理論.Email:neamou123@163.com.