孫愛慧
(吉林師范大學數學學院,吉林四平136000)
上三角矩陣代數上的Jordan 全可導點
孫愛慧
(吉林師范大學數學學院,吉林四平136000)
Zhao和Zhu證明了如下結果:復數域上的任意上三角矩陣代數中的每一矩陣都是Jordan全可導點.本文將證明:特征不為2的無限域上的任意上三角矩陣代數中的每一矩陣都是Jordan全可導點.
Jordan全可導點;導子;上三角矩陣代數;三角代數
設R為一個有單位元的交換環,A為R上的一個代數.我們總是用1A表示A中的單位元,令X°Y=X Y+YX,設n≥2為一個固定的整數.
設φ:A→A是一個R-線性映射.若對任意的X,Y∈A,都有φ(X°Y)=φ(X)° Y+X°φ(Y)成立,則稱φ是一個導子.設G∈A.若對任意的X,Y∈A,且X Y=G,有φ(X°Y)=φ(X)°Y+X°φ(Y)成立,則稱φ在G點Jordan可導.如果每一個在G點Jordan可導的線性映射都是一個導子,則稱G是一個Jordan全可導點(見文獻[1]).
Zhao和Zhu在文獻[1]中應用算子代數的方法證明了如下結果:復數域上的任意上三角矩陣代數的每一個元素都是全可導點.本文將使用代數方法證明:特征不為2的無限域上的任意上三角矩陣代數中的每一矩陣都是Jordan全可導點.
定理特征不為2的無限域上的任意上三角矩陣代數中的每一矩陣都是Jordan全可導點.
在證明定理之前,我們需要如下引理:
引理[2]設F是一個無限域,Τn(F)是F上的一個n×n上三角矩陣代數.設φ是Τn(F)上的一個F-線性映射.假設對于任意的可逆元X∈Τn(F)有φ(X)=0,則φ=0.
證明假設對于任意的可逆陣X∈Τn(F)有φ(X)=0.任取A∈Τn(F),由于F是無限域,則存在λ∈F,使得λ1Τn(F)-A是可逆的.由假設我們有φ(λ1Τn(F)-A)=0,以及φ(1Τn(F))=0,因此φ=0.證畢.
下面我們給出定理的證明.
定理證明設F是一個特征不為2的無限域,Τn(F)是F上的一個n×n的上三角矩陣代數,又設G∈Τn(F),假定φ:Τn(F)→Τn(F)是一個Jordan可導的F-線性映射.我們的目標是證明φ是一個導子.
設A=Τr(F),M=Mr,t(F),B=Τt(F),此處r+t=n,則Τn(F)可看成一個三角代數(關于三角代數的定義及性質,參見文獻[3-5]).設,令
由上式兩邊展開后得:
我們分五步來證明:
第一步將證明:fM=0=fB,gA=0=gM.
對于任意的m∈M以及非零的λ∈F,在(1)式中取a1=λ1A,m1=m0-λm,b1=b0, a2=λ-1a0,m2=m,b2=1B,則有
由于F是一個無限域,則由上面的等式得到:對于任意的m∈M有2fM(m)+ 2fB(1B)=0.易見fM(m)=0,從而fM=0.
對任意的可逆元b∈B,以及非零的λ∈F,在(1)式中取a1=1A,m1=0,b1=λb0b-1, a2=a0,m2=m0,b2=λ-1b,則有
由于F是一個無限域,則由上面的等式得到:2fB(b)=0,從而fB(b)=0.由引理可知fB=0.類似地,由(3)式可得gA=0=gM.
第二步我們證明:hA=0=hB.
對任意的可逆元a∈A以及非零的λ∈F,在(2)式中取a1=a,m1=λm0,b1=λb0, a2=a-1a0,m2=0,b2=λ-11B,并利用關系hB(1B)=0,可得
由于F是一個無限域,由上面的等式可得hA(a)=0.再由引理可得hA=0.類似地,由(2)式可得hB=0.
第三步將證明:對于任意的a∈A,m∈M,b∈B,有
對任意的可逆元b∈B,m∈M以及非零的λ∈F,在(2)式中取a1=1A,m1=m, b1=λ-1b0b-1,a2=a0,m2=m0-λm b,b2=λb,可得
由于F是一個無限域,由上面的等式可得:
再由引理可知等式(4)成立.
第四步將證明:對于任意的a∈A,m∈M,b∈B,都有
首先假設G/=0.由(4)式可見只需證明fA(1A)=0=gB(1B).在(4)式中令a=1A,則對于任意的m∈M,有fA(1A)m=m gB(1B).根據文獻[3,Proposition 3]可得
另一方面,由于φ在G點Jordan可導,并且1Τn(F)G=G,則有
因此,φ(1Τn(F))°G=0.又由F的特征不為2,可得φ(1Τn(F))G=0.考慮G/=0可得φ(1Τn(F))=0.即fA(1A)=0=gB(1B).
第五步最后證明fA與gB均為導子.
利用第四步的結果可見,對于任意的a1,a2∈A,m∈M有
另一方面,對于任意的a1,a2∈A,m∈M,都有
由上述兩個等式可得,對于任意的a1,a2∈A,有
由于M是一個左忠實A-模,可得fA(a1a2)-fA(a1)a2-a1fA(a2)=0,即fA為導子.同理可得gB也為導子.綜合上述步驟,由[4,引理5]可得φ是一個導子.
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(責任編輯林磊)
Jordan all-derivable points in upper triangular matrix algebras
SUN Ai-hui
(College of Mathematics,Jilin Normal University,Siping Jilin 136000,China)
Zhao and Zhu proved the following result:Every matrix in upper triangular matrix algebras over the com p lex number field is a Jordan all-derivable point.The aim of this paper is to show that every matrix in upper triangular matrix algebras over an in finite field of characteristic not 2 is a Jordan all-derivable point.
Jordan all-derivable point;derivation;upper triangular matrix algebra; triangular algebra
O 153.3
A
10.3969/j.issn.1000-5641.2016.01.005
1000-5641(2016)01-0039-04
2014-11
國家自然科學基金(11301215);吉林省科技廳青年科研基金(20130522094H)
孫愛慧,女,碩士,副教授,研究方向為基礎數學.E-mail:sunaihui2002@126.com.