帶耦合時滯的復雜網絡通過時滯脈沖牽制控制達到同步

張 蘭

(重慶師范大學 數學科學學院，重慶 401331)

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帶耦合時滯的復雜網絡通過時滯脈沖牽制控制達到同步

張 蘭

(重慶師范大學 數學科學學院，重慶 401331)

研究了帶有耦合時滯的復雜網絡通過時滯脈沖牽制控制達到同步的問題，其中時滯脈沖牽制控制被設計，基于李雅普諾夫函數法等，提出了保證復雜動力網絡的指數同步的一些充分條件.本文的結果是基于先前結果的促進和改善.最后，通過數值模擬證明了結果的有效性.

復雜動力系統；指數同步；時滯脈沖牽制控制；耦合時滯

在過去的20年里，復雜動力網絡的研究在現代社會中各個領域發揮的作用越來越重要，可以發現在安全通信、生物系統、信息處理等各個領域都得到廣泛應用，因此引起了廣大學者的關注.而其中復雜網絡的同步問題各個學者研究的重要現象之一[1-2]，它的意思是指兩個或兩個以上隨時間變化的量在變化過程中保持一定的相對關系，同步又包括完全同步[3]、擬同步[4]、廣義同步[5]等.現在許多研究人員通過各種控制方法使系統達到同步，常見的控制方法包括間歇控制[6]、反饋控制[7]、自適應控制[8]、脈沖控制[9]等等，但是各種控制都是有利也有弊.

在這之前，許多研究者通過反饋控制使得系統達到同步[7]，但是反饋控制的保守性比較高，不能很好地應用于實際生活中.然而脈沖控制方法比較易于應用到實際生活中，因為它只需要小的控制增益和控制行為只在離散的時間施加，從而控制成本和傳播信息的數量會大大降低.本文研究通過脈沖時滯牽制控制復雜網絡達到同步的原因，其一是因為時滯在通信的傳輸過程中必然會發生，但是在以往的文章中，研究者只在系統中考慮了時滯[10]，沒有在控制中考慮.其二是因為為了降低成本.基于以上原因本文設計了牽制控制，即只通過控制系統的部分節點，再通過系統的耦合性從而達到控制整個系統達到同步的目的，這樣控制方法進一步降低了成本和傳播信息的數量.基于以上原因，本文存在較大的研究意義.

1 基本定義與預備知識

考慮以下帶耦合時滯的復雜網絡動力系統：

(1)

其中N為系統的節點數，xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xin(t))T∈n是第i個節點的狀態變量，f(x)=(f1(x1(t)),f2(x2(t)),…,fn(xn(t)))T∈n和h(x(t-τ(t)))=(h1(x1(t-τ(t))),h2(x2(t-τ(t))),…,hn(xn(t-τ(t))))T是激活函數；τ(t)是耦合變時滯，并且滿足0≤τ(t)≤τ，其中τ為正數.A∈n×n是已知的常數矩陣，?！蕁×n表示內部耦合矩陣，B=(bij)n×n是時滯耦合矩陣，并且滿足耦合條件：如果節點i與j有聯系(i≠j)，那么aij≠0；否則aij=0,其中當i=j時，.

然后使用Kronecker，那么系統(1)可以寫成如下形式：

(2)

系統(2)的初值為：

xi(s)=φi(s),-τ≤s≤0,i=1,2,…,N.

以下為同步狀態方程：

(3)

它的初始條件可以描述為：s(t)=ψi(t),-τ≤t≤0,i=1,2,…,N.

(4)

設e(t)=x(t)-s(t)，系統(4)與系統(3)作差可以得到誤差系統如下：

(5)

在設計出能使系統達到同步的控制之前，需要做以下的假設：

(H1) 存在正整數kij,gij,i,j=1,2,…,N,使得f,h滿足以下不等式：

(6)

(7)

下面給出全局指數同步的定義.

定義1 設V:R+×Rn→R+:如果存在正整數M>1,k>0，對于任何初值都使得:

成立，那么系統(3)在控制下與系統(2)達到全局指數同步.

下面給出一些本文需要的引理.

引理 1[11]下面不等式恒成立：

(8)

證明： 因為:

(9)

(10)

(11)

由于N>l:

(12)

同理可得:

(13)

引理 2[12]假設ρ>0，對于任意x,y∈n，下面不等式都成立：y.

引理 3[3]考慮以下的微分不等式：

(14)

假設:

(15)

2 主要結果

在本節中，脈沖時滯牽制控制被設計，通過脈沖時滯牽制控制器，系統(3)與系統(2)能夠達到同步，并得到了同步的標準.

定理 1 假設條件(H1)成立，并且存在ρ1>0,ρ2>0使得下列不等式成立:

(16)

(17)

當t≠tk時，

(18)

一方面，根據(H1)和引理2，存在正常數ρ1使得：

(19)

另一方面，存在正常數ρ2，與上面的方法相似，可以得到：

令G=(gij)N×N,

(20)

將不等式(19)和不等式(20)代入不等式(18)，可以得到：

(21)

(22)

根據Lyapunov的構造得：

(23)

當t=tk時，對脈沖部分進行分析：

(24)

根據引理2，不等式變成如下：

(25)

(26)

其中p(tk)表示發生脈沖的節點集合，再根據引理1得：

(27)

基于引理3，從式(16)，(17)，(23)和(27)推導中可以得到存在正常數M>1，k>0使得:

將h(x(t-τ(t)))變成簡單的x(t-τ)，可以得到下面的推論.

推論1 假設條件(H1)成立，并且存在ρ1>0，ρ2>0使得下列不等式成立:

(28)

(29)

3 應用

本節通過一些實際例子證明了結果的有效性.

例1 當n=3,N=5時，帶非線性有界干擾的復雜動力網絡被描述為如下的形式：

(30)

其中x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))T,τ=1,

系統的內部耦合矩陣為：

其中脈沖的發生間隔tk+1-tk=0.01，并且通過計算可以得到：

通過上面的分析可以得到：

dk=0.58<1,

根據引理3可以得出結論，系統(30)能夠達到同步狀態，從而證明了結果的有效性.

[1]YANGX,CAOJ.Hybridadaptiveandimpulsivesynchronizationofuncertaincomplexnetworkswithdelaysandgeneraluncertainperturbations[J].AppliedMathematicsandComputation，2014,227：480-493.

[2] YANG X,CAO J, YANG A.Synchronization of coupled reaction-diffusion neural networks with time-varying delays via pinning-impulsive controller[J].SIAM J CONTROL OPTIM,2015,51(5):3486-3510.

[3] YANG A,YANG Z.Synchronization of TS fuzzy complex dynamical networks with time-varying impulsive delays and stochastic effects[J].Fuzzy Set and Systems,2014,235:25-43.

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責任編輯：時 凌

Exponential Synchronization of Complex Dynamical Networks with Coupling Time-delay via Time-delayed Impulsive Pinning Control

ZHANG Lan

(Department of Mathematics,Chongqing Normal University,Chongqing 401331,China)

Exponential synchronization of complex dynamical networks with coupling time-delay via time-delayed impulsive pinning control is studied.Time-delayed impulsive pinning control is designed.Based on Lyapunov function method,etc.Some sufficient conditions are proposed to guarantee the exponential syn-chronization of complex dynamical networks. The results of this paper is based on the previous results made to promote and improve.Finally,numerical simulations are given to show the effectiveness of the theoretical results.

complex dynamical networks;exponential synchronization;time-delayed impulsive pinning contorl;coupling time-delay

2016-07-26.

國家自然科學基金項目(61263020).

張蘭(1993- )，女，碩士生，主要從事控制論的研究.

1008-8423(2016)03-0276-06

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.09.008

O189.1

A