隨機波動率下永久美式障礙期權的漸近式

張嬌嬌,畢秀春,李 榮,張曙光

(1.廈門大學數學科學學院,福建廈門361005;2.中國科學技術大學管理學院,安徽合肥230026)

隨機波動率下永久美式障礙期權的漸近式

張嬌嬌1,畢秀春2*,李 榮2,張曙光2

(1.廈門大學數學科學學院,福建廈門361005;2.中國科學技術大學管理學院,安徽合肥230026)

研究波動率服從快速均值回復Ornstein-Unlenbeck(O-U)過程的永久美式障礙期權的定價問題.考慮永久美式向下敲出看漲期權,該期權的定價問題可歸結于求解自由邊界問題.使用擾動法,把期權價格以及最優執行價格按均值回復時間長度的冪進行展開,通過求解Poisson方程組,得到期權和最優執行價格的漸近公式.

隨機波動率;永久美式障礙期權;偏微分方程;擾動法;Poisson方程

隨機波動率模型為近年來最流行的期權定價模型之一,大量的金融實證表明波動率具有集聚性.由此性質,Stein等[1]提出了服從均值回復Ornstein-Unlenbeck (O-U)過程的隨機波動率模型,但假設風險資產過程與波動率過程是不相關的;Heston[2]提出波動率的平方遵循平方根過程的隨機波動率模型.對許多金融市場的觀察發現波動率的均值回復是非?？斓?稱之為快速均值回復波動率.例如:Fouque等[3]對高頻S&P 500資產價格的歷史數據的分析表明波動率是快速均值回復的;Hikspoor等[4]分析的商品價格數據也體現了快速均值回復特征.因而本研究考慮服從快速均值回復O-U過程的隨機波動率模型,且風險資產過程與波動率過程是相關的,它推廣了文獻[1]的模型.

近年來,永久美式期權的定價問題成為學術界和業界關注的熱點,出現了大量關于永久美式期權的文獻,其中,最經典的是Merton[5]給出了常波動率下永久美式看跌期權的精確定價公式.但他的方法不能推廣到隨機波動率模型,主要是因為最優執行價格不再是常數而是一個關于波動率的未知曲線.Zhu等[6]采用spectral-collocation(SC)方法得到了Heston模型下永久美式看跌期權價格的數值解.之后,Zhu等[7]討論在緩慢變化的隨機波動率下永久美式看跌期權的定價問題,采用漸近展開方法分別給出該期權價格和最優執行價格的解析漸近公式,并與SC方法得到的漸近公式作了比較.

最近,Fouque等[3]提出快速均值回復O-U過程的隨機波動率模型,使用擾動法得到了美式看跌期權價格和最優執行價格的漸近公式.隨后,Souza等[8]考慮在快速均值回復O-U過程的隨機波動率下帶連續紅利的美式看漲期權,但是沒有給出該期權的最優執行價格的1-階漸近公式.Zhu等[9]探討了一般快速均值回復的隨機波動率下永久美式看跌期權,不僅得到了該期權價格和最優執行價格的解析漸近公式,而且還從定量角度分析了快速均值回復的波動率對該期權價格的影響.Chen等[10]研究多尺度隨機波動率下永久美式看跌期權,其波動率由兩個過程所驅動,同樣使用擾動法給出了該期權和最優執行價格的近似定價公式.

永久美式障礙期權在銀行擠兌、銀行存款保險等有著重要的作用,具有一定的現實意義.因此本研究考慮在快速均值回復O-U過程的隨機波動率下永久美式障礙期權的定價問題,以帶連續紅利的永久美式向下敲出看漲期權為例,同樣采用擾動法得到了該期權價格和最優執行價格的漸近公式.

1 模型介紹

1.1模型假設

給定概率空間(Ω,F,Ft,P),本研究所有過程都在這個概率空間上有定義.其中域流Ft是由過程{Xs}0≤s≤t和{Ys}0≤s≤t所生成的σ代數.風險資產價格Xt遵循隨機微分方程(SDE):

其中,μ是常均值回復率,q是資產支付的連續紅利率,σt是波動率過程,Wt是標準布朗運動.設σt= f(Yt),其中f是不為零的有界正函數,Yt是快速均值回復O-U過程,滿足下面SDE

這里α,m和β都是正常數,其中,參數α描述了過程Yt回復的速度,參數m為Yt的長期水平是標準布朗運動,與Wt的相關系數為

由Ito公式知,過程Yt有顯式解

注意到,Yt服從正態分布其中令t→∞,可得Yt的不變分布是正態分布N(m,ν2).

在本文中,令＜·＞表示關于過程Yt的不變分布的積分.

由于布朗運動Wt和的相關系數是則存在另外一個與Wt獨立的布朗運動Zt,使得

假設存在一個等價鞅測度P*(γ),在P*(γ)下,貼現股票價格是鞅,其中r是利率.令

這里,適應過程γt和滿足Novikov條件[11],使得P*(γ)是有定義的概率測度,特別地,當f(y)是不為零的有界函數且γt有界時,顯然滿足上述條件,稱過程γt為隨機部分Zt的風險市場價格.因為波動率σt不是可交易資產,所以等價鞅測度并不唯一,它依賴于γ.在P*(γ)下,得到下面的SDEs

1.2永久美式向下敲出看漲期權滿足的偏微分方程(PDE)

本研究以隨機波動率下永久美式向下敲出看漲期權為例,該期權沒有精確解,下面使用擾動法求其漸近解.

假設市場選定了一等價鞅測度P*(γ),則永久美式向下敲出看漲期權的價格V(x,y)為

其中,過程(Xt,Yt)在P*(γ)下滿足式(1)～(2),為給定障礙.

在上面的假設下,永久美式向下敲出看漲期權的定價歸結于求解下面的自由邊界問題:

過程Yt是快速均值回復的,也就是說,α是很大的數,因此∈是很小的數.根據∈,得

其中ν是Yt的不變分布的標準差.

將式(4)和(5)直接代入式(3)的PDE中,得

定義算子:

則式(6)簡化為

由系數的假設可知,對給定的∈＞0,這個方程有唯一解V.由式(6),可以看出V是關于∈的函數.再由∈是很小的數,使用擾動法,將V和按的冪進行展開,得

其中V0,V1,V2,…是關于(x,y)的待定函數,x0, x1,x2,…是關于y的待定函數.式(8)代入式(7),可得

從而得到一組Poisson方程

定價問題歸結于求一組Poisson方程,下一節的目的是解出方程組(12)中的V0,V1,…,然后,根據V0,V1,…,解出式(9)中的x0,x1,….

2 漸近公式

首先重述一下文獻[12]中的引理3.1及相關結果,這在后面的推導過程中起到關鍵的作用.

引理1 設ζ(x,y)∈Cl,l(R×R)且是有界的.則Poisson方程

有唯一解當且僅當

其中p(y)是關于L0的平穩密度函數.此外,方程(13)解的形式為

其中P0(x,y)是方程(13)滿足條件〈P0(x,y)〉= 0的唯一解,C(x)關于變量y是常數.

2.10-階項V0(x)

Poisson方程組(12)的第1個方程L0V0=0和L0僅是關于變量y的算子,蘊含了V0對于變量y是常數,即V0只是關于變量x的函數:

再由算子L1的定義知L1V0=0.從而方程組(12)的第2個方程簡化為L0V1=0.

使用同樣的方法,顯然有

故L1V1=0.從而方程組(12)的第3個方程化簡為

引理1蘊含了Poisson方程(15)是無解的,除非該方程滿足條件

由于O-U過程Yt的不變分布是

又由式(14),有

基于式(10)和(11),可得V0滿足下面Black-Scholes方程

總結上面的結論得到以下命題:

命題1 波動率服從快速均值回復O-U過程的情形下,永久美式障礙期權的價格展開式首項V0是波動率為常數的對應永久美式障礙期權Black-Scholes定價公式.

下面求解V0,設

是方程(17)的解,其中C1和C2是待定系數,以及λ1,λ2是下面特征方程的兩個根

解得

其中

為求C1和C2,使用障礙條件,

再用永久美式向下敲出看漲期權的邊界條件U(x0) =x0-K,其中x0是最優執行價格xfb的0階項,即

聯立式(19)和(20),解得

把式(21)代入式(18),得

其中x是t時刻標的資產價格.

選取x0使得U(x)達到最大值,則對式(22)關于x0求導數,并令結果表達式為0,則得到了關于x0的方程:

從而,得到了在隨機波動率下永久向下敲出看漲期權的價格漸近展開式(8)中的首項V0(x)

其中最優執行價格xfb的0階項x0滿足方程(23).

2.21-階項V1(x)

由式(16),得

根據Poisson方程(15),計算2階項V2:

其中C(x)對于變量y是常數,Φ(y)是下面Poisson方程的唯一解

同樣,式(12)的第4個方程是V3關于算子L0的Poisson方程,因此這個方程有解也必須滿足條件

于是得到

其中

定義

注意到,V1滿足的PDE(27)對應滿足邊界條件的齊次方程

僅有零解.因此,僅需求一個特解即可.

對式(24)直接計算得

則式(26)改寫為

其中

由常微分方程的常數變易法,解得

其中

(關于V1(x)使用的常數變易法可參考文獻[13]).

此外,根據V0(x)和V1(x)的表達式,直接計算可得最優執行價格xfb的1階項

其中,

從而,得到了在隨機波動率下永久美式向下敲出看漲期權和最優執行價格的一階漸近公式.總結上邊的結論作為下面的定理,此定理是本文中的主要結論.

定理1 在快速均值回復O-U過程的隨機波動率下永久美式向下敲出看漲期權的一階漸近公式為

其中V0(x)和V1(x)分別滿足式(24)和(28).該期權的最優執行價格的一階漸近公式為

這里,x0和x1分別滿足式(23)和(29).

注1 本研究得到了在快速均值回復O-U過程的隨機波動率下永久美式向下敲出看漲期權的一階漸近公式,該漸近公式并不是對所有的x都是有意義的.當x非常接近于最優執行價格時,該漸近公式是不精確的,這是因為持該期權的合同可能沒有足夠長的時間使得快速均值回復波動率的“平均效應”得以實現,這時就需要考慮邊界層.要得到期權的2階漸近項V2(x,y),僅需求解式(25)中的C(x)即可.在求解C(x)的過程中,就需要考慮邊界層,這是一個非常復雜的問題.因而,本研究只考慮一階漸近公式.

注2 使用Fouque等[14]類似的方法,通過小的改動可證明一階漸近公式是收斂的:

3 結 論

本研究考慮在快速均值回復O-U過程的隨機波動率下永久美式障礙期權的定價問題,以永久美式向下敲出看漲期權為例進行討論的.使用擾動法,得到了永久美式向下敲出看漲期權價格和最優執行價格的漸近公式.使用同樣方法可以討論其他情況的障礙期權的漸近公式.在本研究中,隨機波動率是關于O-U過程Yt的一般函數f(y),也可以討論特殊函數.

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The Asymptotic Formula of the Perpetual American Barrier Option Under Stochastic Volatility

ZHANG Jiaojiao1,BI Xiuchun2*,LI Rong2,ZHANG Shuguang2

(1.School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China; 2.The School of Management,University of Science and Technology of China,Hefei 230026,China)

This study considers a stochastic volatility model for pricing perpetual American barrier options where the volatility is driven by a fast mean reversion Ornstein-Unlenbeck(O-U)process.It takes the case of the perpetual down-and-out call option for example,pricing problem of which can be formulated as a free boundary problem.Using the perturbation method,we first expand the price and the optimal exercise price of this option in the power of the length of mean reversion time.Then,by solving a set of Poisson equations,two asymptotic formulae are derived for this option price and the optimal exercise price,respectively.

stochastic volatility;perpetual American barrier options;partial differential equation;perturbation method;Poisson equation

O 211.9;O 29

A

0438-0479(2016)06-0912-06

10.6043/j.issn.0438-0479.201603009

2016-03-03 錄用日期:2016-09-01

國家自然科學基金(11401556,11471304);中央高?；究蒲袠I務費專項(WK 2040000012)

xcbi@mail.ustc.edu.cn

張嬌嬌,畢秀春,李榮,等.隨機波動率下永久美式障礙期權的漸近式[J].廈門大學學報(自然科學版),2016,55(6): 912-917.

ZHANG JJ,BI X C,LI R,et al.The asymptotic formula of the perpetual American barrier option under stochastic volatility[J].Journal of Xiamen University(Natural Science),2016,55(6):912-917.(in Chinese)