位似圖形研究與實踐

江蘇省揚州市江都區吳橋中學(225232)

馬 萍●

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位似圖形研究與實踐

江蘇省揚州市江都區吳橋中學(225232)

馬 萍●

一、位似圖形的概念

如圖1所示，每幅圖的兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這點叫做位似中心，這時我們說這兩個圖形關于這點位似.

在圖1中，△ABC與△A′B′C是以O為位似中心的位似圖形，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′是以O為位似中心的位似圖形，五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′是以O為位似中心的位似圖形.

(1)位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形.位似圖形具有兩個特點：一是對應點的連線交于一點；二是對應邊互相平行或在同一條直線上.

(2)兩個位似圖形的位似中心只有一個.

二、位似圖形的性質

根據位似圖形的概念，可得到位似圖形的四個基本性質：(1)位似圖形的對應角相等，對應邊成比例；(2)位似圖形的對應點的連線所在的直線相交于一點，即經過位似中心.(3)位似圖形的對應邊互相平行或在同一條直線上；(4)位似圖形上任意一對對應點，到位似中心的距離之比等于相似比.

例1 一般的室外放映的電影膠片上每一個圖片的規格是3.5cm×3.5cm，放映的屏幕的規格是2m×2m，若放映機的光源距膠片20cm，問：屏幕拉在距離光源多遠的地方時，放映的圖像剛好布滿整個屏幕？

分析 四邊形ABCD(膠片)與四邊形A′B′C′D′(屏幕)是位似圖形，根據對應線段的比相等，列出比例式即可求解.

三、位似圖形的判定

判斷兩個圖形是不是位似圖形，先看它們是否相似，若相似，再看兩個圖形對應點的連線是否經過同一點，若經過同一點，則是位似圖形，否則不是位似圖形.

例2 如圖3所示，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E，F，G，H分別是OA，OB，OC，OD的中點那么矩形ABCD與四邊形EFGH是不是位似圖形？如果是，指出位似中心，并求出相似比；如果不是，請說明理由.

解 ∵E,F,G,H分別是OA，OB，OC，OD的中點，∴EFD.

∴EF∥GH,EF=GH,∠FEH=90°.

四、位似圖形實踐中易誤點

誤點1 弄不清位似與相似的關系而出錯

位似圖形是特殊的相似科形，而相似圖形則不一定是位似圖形，只有當相似圖形的對應點的連線所成的直線交于一點(位似中心)時，相似圖形才是位似圖形，判斷兩個圖形是不是位似圖形，應嚴格按位似圖形的概念去判斷.

例3 如圖4所示，∠ADE=∠ACB,試判斷△ADE與△ACB兩圖形是否為位似圖形？

解 不是位似圖形.因為∠ADE=∠ACB,且∠A=∠A,所以△AED∽△ABC.但對應點D，C的連線與E，B的連線不交于點A，對應邊DE與CB也不平行，故△ADE與△ACB兩個圖形不是位似圖形.兩個圖形是不是位似圖形，關鍵是根據位似圖形的定義去判斷，首先兩個圖形是相似圖形；其次是對應點的連線交于一點；然后對應邊相互地或在同一條直線上.本題中圖形滿足第一個條件，但不滿足后兩個條件，易出現判斷錯誤.

易誤點2 求關于某點位似的圖形時容易漏解導致錯誤.

在平面直角坐標系中，以原點為位似中心將一個圖形按照一定的相似比k放大或縮小，有兩種情況：一種是兩個圖形在原點的同側，這時對應點的坐標比為k；另一種是兩個圖形在原點的異側，這時對應點的坐標比為-k，求對應點的坐標時要把已知點的坐標分別乘k和-k得出兩種情況下對應點的坐標，有時由于考慮不全面，容易造成漏解的錯誤.

例2 已知E(-4，2)，F(-1，-1)，以原點O為位似中心，按相似比1∶2，把△EFO縮小，則點E的對應點E′的坐標為( ).

A.(2,-1)或(-2,1)B.(8,-4)或(-8,-4)

C.(-2,1)D.(-8,4)

一般地，在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x,y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx,ky)或(-kx,-ky).

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