模糊控制技術在SIMPLER算法中的應用及求解性能分析

王艷寧,孫東亮,苗政,陳家慶,蔡曉君

(1.華北電力大學可再生能源學院,102206,北京;2.北京石油化工學院機械工程學院,102617,北京)

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模糊控制技術在SIMPLER算法中的應用及求解性能分析

王艷寧1,孫東亮2,苗政1,陳家慶2,蔡曉君2

(1.華北電力大學可再生能源學院,102206,北京;2.北京石油化工學院機械工程學院,102617,北京)

為了提高SIMPLER算法在三維流動問題上的求解性能,引入模糊控制方法來自動調控速度亞松弛因子的大小.在數值計算過程中,將相鄰兩個迭代層次上的最大動量殘差比值作為模糊控制輸入量,速度亞松弛因子的變化量作為模糊控制輸出量,基于最大動量殘差的變化趨勢可實現速度亞松弛因子的自動調控,從而達到加快收斂的目的.最后,通過3個經典的流動問題驗證了模糊控制方法的優越性.研究表明:當初始亞松弛因子為最不利值時,模糊控制方法的收斂速度約是固定松弛因子方法的5～30倍;當初始亞松弛因子為最佳值時,模糊控制方法迭代次數與固定松弛因子方法迭代次數之比為0.7～2.0,收斂速度相差不大;采用模糊控制方法后,SIMPLER算法在不同初始亞松弛因子下均能得到高速收斂的解,同時健壯性也顯著提高.研究工作將為大幅提升SIMPLER算法在三維流動問題上的求解性能起到重要作用.

模糊控制;SIMPLER算法;三維流動問題;亞松弛因子;收斂速度;健壯性

求解流動與傳熱問題的壓力修正算法首次由著名學者Patankar和Spalding提出,并被命名為SIMPLE算法[1]。為了克服SIMPLE算法中初始壓力和速度場單獨進行設定的缺點,隨后Patankar提出了改進算法SIMPLER[2]。目前,SIMPLE系列算法已被廣泛應用于求解流動與傳熱問題[3-7]。

就SIMPLER算法而言,為有利于迭代計算的收斂,一般均需進行亞松弛處理,以限制相鄰兩層次之間待求物理量的變化。亞松弛因子對SIMPLER算法的收斂速度具有極大影響,通常在最佳和最不利亞松弛因子情況下收斂速度相差高達幾十倍,因此為加快收斂速度,選擇合適的亞松弛因子是一個關鍵因素。由于非線性問題迭代求解過程的復雜性,如何選擇合適的亞松弛因子,具有很大的不確定性,很難為其建立數學模型,因而可以考慮引入模糊控制技術。

目前,已有學者將模糊控制技術應用在了求解二維流動問題的SIMPLER算法中。Liu和Ryoo等利用基于殘差的單變量模糊控制方法實現了二維流動模擬求解的加速[8-9]。隨后,Ryoo等又提出了一種ANFIS方法來控制松弛因子的變化,該方法采用了雙變量模糊控制方法,并實現了良好的收斂效果[10]。最近,文獻[11-14]以傅里葉分析為基礎,提出了一種新的模糊控制方法來實現求解過程的加速,并且在二維流動問題上取得了加速收斂的效果,大量節省了求解時間。

目前,大部分研究主要集中在二維問題的求解,對于三維問題的研究報道卻非常少。與二維問題相比,三維問題數值節點成倍甚至成百倍增加,在PC機上至少需要幾天甚至幾個月的時間才能獲得一個收斂結果,因此提高求解算法在三維流動問題上的收斂速度具有更加重要的意義。本文擬將模糊控制技術應用到求解三維流動問題的SIMPLER算法中,并對其求解性能進行系統的分析研究。

1 控制方程及其離散

本文所研究的三維問題為穩態不可壓縮層流流動,其守恒形式的控制方程如下。

連續性方程

(1)

動量方程

(2)

(3)

(4)

式中:u、v、w為x、y、z方向上的速度分量;p為壓力;ρ為密度;η為動力黏度;S為源項。

數值傳熱學中常用的數值方法有:有限差分法、有限元法、有限分析法和有限容積法[15],其中有限容積法通過將守恒形式的控制方程對控制容積做積分來導出離散方程,從而可以保證離散方程具有守恒特性,而且離散方程系數具有明確的物理意義,因此本文采用有限容積法對控制方程(1)～(4)在三維直角坐標系交錯網格上進行離散。以下僅給出動量方程的離散形式,其中對流項采用至少二階精度、絕對穩定的SGSD格式[16],擴散項采用中心差分格式。離散的動量方程為

(5)

(6)

(7)

式(5)～(7)中:系數a和源項b的具體推導過程見文獻[15];α為速度亞松弛因子;下標e、n、t分別表示主網格的東界面、北界面和上界面;下標nb表示相鄰節點。

本文采用的模糊控制方法需分別對速度亞松弛因子αu、αv和αw的大小進行自動調節,但針對αu、αv和αw的調控方法完全相同,因此為了表達方便,以下給出方程(5)～(7)通用的離散動量方程表達形式

φ=∑anbφnb+b

(8)

式中:φ可分別表示為速度u、v、w。下面基于通用的離散動量方程(8)對模糊控制方法進行介紹。

2 模糊控制方法

2.1 模糊控制輸入量和輸出量

通常在計算過程中當動量殘差逐漸變大,說明求解過程趨于發散,需減小亞松弛因子,以防止計算過程發散;當動量殘差逐漸變小,說明求解過程趨于收斂,可適當增大亞松弛因子,以加快收斂速度?；谝陨戏治?本文選取的模糊控制輸入量為最大動量殘差比值,其表達式為

(9)

其中dn為當前迭代層次n上的最大動量殘差

(10)

dn-1為上一迭代層次n-1上的最大動量殘差

(11)

模糊控制輸出量為亞松弛因子的變化量Δα。

2.2 隸屬函數和控制規則

(a)輸入量e的隸屬函數

(b)輸出量Δα的隸屬函數圖1 輸入量和輸出量的隸屬函數

控制規則如表1所示,它由3條規則組成,第1條規則可描述為“若e為PS,則Δα為PS”,表示本次迭代最大動量殘差小于上次迭代之值,方程趨于收斂,為了加快收斂,可小幅增大亞松弛因子;第2條規則可描述為“若e為PM,則Δα為NS”,表示本次迭代最大動量殘差大于上次迭代之值,方程趨于發散,則需小幅減小亞松弛因子;第3條規則可描述為“若e為PB,則Δα為NB”,表示本次迭代最大動量殘差遠大于上次迭代之值,方程極劇發散,則應大幅減小亞松弛因子。

表1 模糊控制規則

若令模糊集合A1、A2、A3分別表示e設定的3個模糊子集PS、PM、PB,模糊集合B1、B2、B3分別表示Δα設定的3個模糊子集PS、NS、NB,則表1所示的3條模糊控制規則構成的模糊關系為

R=(A1×B1)∪(A2×B2)∪(A3×B3)

(12)

式中:符號“×”表示直積運算,“∪”表示求并運算。

2.3 模糊控制方法的實施

然后,通過下式計算得出輸出模糊集合

B=A°R

(13)

這是模糊推理的合成運算法則,“°”為合成算子。

(14)

最終得出修正后的亞松弛因子αn+1,可表示為

αn+1=αn+Δα*

(15)

式中:下標n表示當前迭代層次,n+1表示下一迭代層次。

3 算例分析

以下基于求解三維流動問題的SIMPLER算法,通過3個經典算例,對本文采用的模糊控制方法與傳統固定松弛因子方法進行分析比較。

3.1 方腔頂蓋驅動流動(算例1)

在三維問題中,方腔頂蓋驅動流動的數值基準解經常用來考核程序和比較算法。三維方腔頂蓋驅動流動的結構如圖2所示,其雷諾數定義為

(16)

式中:H為方腔的邊長;ulid為方腔頂蓋的移動速度。

圖2 方腔頂蓋驅動流動的結構圖(算例1)

圖3顯示了不同網格數下z=0.5H截面中心線Lc上的u速度分布,從圖中可以看出,在3種不同網格數下模糊控制方法計算所得的結果基本一致,說明網格數為52×52×52時可獲得網格獨立的解,因此本文選取52×52×52為計算網格。圖4對本文的計算結果與文獻中的結果進行了比較,從圖中可以看出,模糊控制方法計算所得的結果與Tang等提供的數值基準解[18]相一致,證明了模糊控制方法的可行性。

(a)Re=100

(b)Re=500

(c)Re=1 000 圖3 不同網格數下z=0.5H截面中心線上的u速度分布比較(算例1)

圖4 Re=1 000時z=0.5H截面中心線上的速度分布(算例1)

(a)Re=100

(b)Re=500

(c)Re=1 000 圖5 固定松弛因子方法與模糊控制方法在收斂性和健壯性方面的比較(算例1)

圖5在不同雷諾數條件下對固定松弛因子方法與模糊控制方法進行了求解性能比較,其中橫坐標為初始亞松弛因子α0,取值為0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9和0.99。當采用固定松弛因子方法時,在迭代過程中初始亞松弛因子始終保持不變;當采用模糊控制方法時,初始亞松弛因子僅為初始值,在迭代過程中該數值會進行不斷調整,以達到快速收斂的目的。由圖5可以發現:對于固定松弛因子方法,所需的最大迭代次數與最小迭代次數之比高達58.5～63.0,例如當Re=100時,所需的最大迭代次數為16 291,最小迭代次數為258;對于模糊控制方法,所需的最大迭代次數與最小迭代次數之比僅為2.45～2.65,遠遠優于固定松弛因子方法,說明即使初始亞松弛因子為最不利值時,模糊控制方法也可以獲得快速收斂的解;當初始亞松弛因子為最不利值,即α0=0.1時,模糊控制方法迭代次數與固定松弛因子方法迭代次數之比為0.03～0.06,說明在最不利值情況下模糊控制方法的收斂速度約是固定松弛因子方法的17～34倍;當初始亞松弛因子為最佳值,即α0=0.9時,模糊控制方法迭代次數與固定松弛因子方法迭代次數之比為0.7～2.0,相差不大;在不同雷諾數情況下,固定松弛因子方法僅可以在α0≤0.9區間內獲得收斂的解,而模糊控制方法可以在α0≤0.99區間內獲得收斂的解,說明與固定松弛因子方法相比,模糊控制方法具有更好的健壯性,其中健壯性是指是否可以在很寬的亞松弛因子變化范圍內得到收斂的解。

3.2 復雜方腔頂蓋驅動流動(算例2)和外掠后臺階流動(算例3)

為了進一步驗證模糊控制方法的優越性,以下基于復雜方腔頂蓋驅動流動(見圖6)和外掠后臺階流動(見圖7)對固定松弛因子方法和模糊控制方法進行分析比較。

圖6 復雜方腔頂蓋驅動流動的結構圖(算例2)

圖7 外掠后臺階流動的結構圖(算例3)

復雜方腔頂蓋驅動流動的雷諾數定義見式(16),經過網格獨立性考核,選取網格數為52×52×52。外掠后臺階流動的雷諾數定義為

(17)

式中:uin為流體的入口速度。經過網格獨立性考核,選取網格數為80×20×20。

由圖8可以看出,與算例1相同,在算例2和3中模糊控制方法的收斂性和健壯性均優于固定松弛因子方法。對于復雜方腔頂蓋驅動流動,當初始亞松弛因子為最不利值時,模糊控制方法的收斂速度約是固定松弛因子方法的17倍;當初始亞松弛因子為最佳值時,模糊控制方法迭代次數與固定松弛因子方法迭代次數之比為1.1,相差不大;與固定松弛因子方法相比,模糊控制方法具有更好的健壯性。同樣,對于外掠后臺階流動,當初始亞松弛因子為最不利值時,模糊控制方法的收斂速度約是固定松弛因子方法的5.5倍;當初始亞松弛因子為最佳值時,模糊控制方法迭代次數與固定松弛因子方法迭代次數之比為0.98,相差不大;與固定松弛因子方法相比,模糊控制方法具有更好的健壯性。

(a)復雜方腔頂蓋驅動流動(Re=500)

(b)外掠后臺階流動(Re=300) 圖8 固定松弛因子方法與模糊控制方法在收斂性和健壯性方面的比較(算例2和3)

3.3 模糊控制方法調控機理分析

為了研究模糊控制方法加快求解收斂的內在機理,本文分別針對3個算例,給出不同α0情況下亞松弛因子隨迭代次數的變化過程,如圖9所示。圖中虛線表示一個接近最佳亞松弛因子的值。從圖中可以看出,亞松弛因子隨著迭代推進逐步向最佳亞松弛因子靠攏,到達后則在最佳亞松弛因子附近上下波動。由此可見,模糊控制調控機理主要體現在:當亞松弛因子較小時,增大亞松弛因子的值,可加快迭代收斂;當亞松弛因子較大時,減小亞松弛因子的值,可防止迭代發散。以上兩方面的綜合作用使得亞松弛因子最終控制在最佳亞松弛因子附近,因此可以加速迭代過程的收斂。從圖中還可以看出,當初始亞松弛因子距離最佳亞松弛因子較遠時,需經過一定次數的迭代,才能達到最佳亞松弛因子附近,因此不同的初始亞松弛因子對模糊控制方法所需的迭代次數具有一定的影響,但影響有限。

(a)方腔頂蓋驅動流動(Re=500)

(b)復雜方腔頂蓋驅動流動(Re=500)

(c)外掠后臺階流動(Re=300)圖9 模糊控制方法中亞松弛因子隨迭代次數的變化

4 結 論

本文將模糊控制技術擴展到了求解三維流動問題的SIMPLER算法中,并通過方腔頂蓋驅動流動、復雜方腔頂蓋驅動流動和外掠后臺階流動3個經典算例,對本文采用的模糊控制方法與傳統的固定松弛因子方法進行了分析比較,得出了以下主要結論:

(1)當初始亞松弛因子為最不利值時,模糊控制方法迭代次數與固定松弛因子方法迭代次數之比僅為0.03～0.18,模糊控制方法的收斂速度約是固定松弛因子方法的5～30倍,說明即使初始亞松弛因子為最不利值時,模糊控制方法也可以獲得快速收斂的解;

(2)當初始亞松弛因子為最佳值時,模糊控制方法迭代次數與固定松弛因子方法迭代次數之比為0.7～2.0,相差不大;

(3)與固定松弛因子方法相比,模糊控制方法可以在更寬的初始亞松弛因子范圍內獲得收斂的解,因此模糊控制方法具有更好的健壯性。

通過以上分析可以看出,本文所采用的模糊控制方法在收斂性和健壯性方面均優于傳統的固定松弛因子方法,具有較好的應用前景。

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(編輯 荊樹蓉)

Application of a Fuzzy Control Method in SIMPLER Algorithm and Its Solving Performance Analysis

WANG Yanning1,SUN Dongliang2,MIAO Zheng1,CHEN Jiaqing2,CAI Xiaojun2

(1. School of Renewable Energy, North China Electric Power University, Beijing 102206, China; 2. School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of Petrochemical Technology, Beijing 102617, China)

In order to enhance the solving performance of the SIMPLER algorithm for three-dimensional fluid flow problems, a fuzzy control method was introduced to automatically adjust the value of the velocity under-relaxation factor. The ratio of the maximum momentum residuals of two successive iteration levels is used as the input variable of the fuzzy control, and the variation of the velocity under-relaxation factor is taken as the output variable of the fuzzy control. Based on the changing trend of the maximum momentum residual, the velocity under-relaxation factor could be adjusted for accelerating the iteration convergence. Finally, the fuzzy control method was evaluated by solving three classic fluid flow problems. It could be concluded that when the initial under-relaxation factor is set at its most unfavorable value, the convergence rate of the fuzzy control method is about 5-30 times of the fixed relaxation factor method; however, when the initial under-relaxation factor is at its optimum value, the ratio of the iteration number of the fuzzy control method to the fixed relaxation factor method is 0.7-2.0 and there is a little difference for the convergence rates between the two methods. The SIMPLER algorithm using fuzzy control method could not only always get solutions with high convergence rate under different initial under-relaxation factors, but also possess much better robustness. Therefore, this research is of great significance in improving the solving performance of the SIMPLER algorithm for three-dimensional fluid flow problems.

fuzzy control; SIMPLER algorithm; three-dimensional fluid flow problem; under-relaxation factor; convergence rate; robustness

2015-03-22。 作者簡介:王艷寧(1992—),男,碩士生;孫東亮(通信作者),男,教授。 基金項目:國家自然科學基金面上資助項目(51476054);教育部新世紀優秀人才支持計劃資助項目(NCET-13-0792);北京市自然科學基金資助項目(3132010)。

時間:2015-10-13

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20151013.1134.008.html

10.7652/xjtuxb201601013

TK124

A

0253-987X(2016)01-0078-07