破繭成蝶，讓學習真正發生
——以“等比數列前n項和”教學為例

孫嵐

破繭成蝶，讓學習真正發生
——以“等比數列前n項和”教學為例

孫嵐

用適合的方案、適當的問題、適時的跟進和適宜的題型來引導學生研究性地進行學習，從而把學習當成自己的事，這才是真正的學習。本文就“等比數列前n項和”的教學設計談談對“讓學習真正發生”的理解。

等比數列前n項和；教學設計；高中數學

在種類繁多的蛾子中，有一種叫“帝王蛾”，它的幼蟲生長在繭中，要變成蛾時它必須拼盡全力往外沖，由于洞口過于狹小，不計其數的蛾子悲壯倒下。有人不忍看到這慘烈的一幕，便將洞口剪大，讓幼蟲可以輕而易舉地鉆出那可怕的牢籠，但這些沒有經歷過“沖殺”的蛾子，卻永遠與飛翔無緣，永遠也無法成為真正的帝王蛾。帝王蛾如此，學生亦然，沒有經歷探究的過程而直接傳授結論，就不會讓能力有所提升。所以課堂上教師的作用是讓學生看到“繭外世界的美好”，激發他們“破繭”的欲望，點撥他們“破繭”的方法，用適合的方案、適當的問題、適時的跟進和適宜的題型來引導學生研究性地進行學習，把學習當成自己的事，這樣才能讓學習真正發生。筆者以“等比數列前n項和”的教學設計為例，談談如何做到“讓學習真正發生”。

一、給學生創設一個適宜學習的情境

實踐證明，學生在不平等的環境中的學習是被動的、緊張的、不愉快的。學生也容易產生厭學心理。因此，教師應對學生抱以期盼和希望，讓學生在寬松和諧的學習氛圍中找到自己，自主進行學習。

《普通高中數學課程標準（實驗）》中指出：教材應注意創設情境，從具體事例出發，展現數學知識發生、發展的過程，使學生能夠從中發現問題、提出問題，經歷數學的發現和創造過程，了解知識的來龍去脈。那么什么樣的情境才能讓學生有探索新知的欲望，才能使師生處于平等的位置，讓學生主動、輕松地學習呢？

我是這么教學的——

師：大家好，這節課我們一起來做個游戲，現在我來分配一下角色，你們是印度的國王，我是國際象棋的發明者。我想向您請求一些賞賜，賞賜的條件是，在國際象棋棋盤的第一個格子里放一粒麥子，第二個格子里放2粒麥子，第三個格子里放4粒麥子，第4個格子里放8粒麥子，以此類推，后一個格子里的麥粒數是前一個格子麥粒數的2倍。國王陛下，您能把這樣放滿整個棋盤64個格子的所有麥粒都賞賜給我嗎？

（學生在思考，沒有應答）

師：這是一個什么數學問題？

生：等比數列。

師：哪句話體現了這是一個等比數列？

生：后一個格子里的麥粒數是前一個格子麥粒數的2倍。

師：那么等比數列的定義是什么？通項怎么表示？有幾個基本量？

角色扮演式的課堂引入，讓學生體驗到新鮮感，在一定程度上體現學生在學習上的主體地位。此外，問題設計的起點較低，每個學生都能做出對應的回答，增強了他們后續學習的信心。學生具備了探索的欲望，何愁他們會不認真學習呢？

二、讓學生找到通往新知的階梯

美國心理學家布魯納認為：“知識的獲得是一個主動的過程，學習者不應是信息的被動接受者，而應是知識獲得過程中的主動參與者?！彼^“授人以魚，不如授人以漁”，優良學習方法、思維方法的習得，會讓學生的學習變得更有效、更深入。本節課的難點是等比數列前n項和公式的推導，在教學中教師應當引導學生逐步發現、運用錯位相減法進行數列求和，并使之內化為學生認知結構的一部分，而不僅僅是生搬硬套的結論。繼續上面的游戲——

師：“國王陛下，您能把這樣放滿整個棋盤64個格子的所有麥粒都賞賜給我嗎？”這又是一個什么數學問題？

生：等比數列前n項和。

師：能算出來是多少嗎？

生：項數太多了，死算算不出來。

師：那么你們之前有遇到過類似的問題嗎？

生：等差數列前n項和。

師：當時我們是采用什么方法解決？

生：倒序相加。

類比等差數列前n項和，對于等比數列的前n項和我們能否找到一個有效的手段來消項？

生：也用倒序相加。

師：試試看，是否可行。

學生（嘗試1分鐘后）：不可以，不能進行消項。

師：那怎么辦呢？等比數列項與項之間的聯系到底在哪里呢？

生：后一項與前一項的比值是一個定值。

師：很好，請大家圍繞等比數列的這一定義，目標是消項，尋求基本量的最簡形式，探求等比數列的前n項和，我給大家3分鐘的時間，可以嘗試不同方法。

師追問：怎么想到乘以q，乘q之后有何好處？

生1：考慮到等比數列的定義，后一項等于前一項乘以公比q，乘q之后產生了很多公共的項，作差就達到了“消項”的目的。

師：很好，你來具體說說。

上面式子的第2項和下面式子的第1項相同，上面式子的第3項和下面式子的第2項相同……，上面式子的最后一項和下面式子的倒數第二項相同。作差得，(1-q)Sn=a1-anq，即

師：q=1時呢？

生1：每一項都相同，等于a1，所以Sn=na1。

師：能不能總結一下求解的基本步驟？

生1：乘以公比，錯位，相減，化簡。

師：總結的非常到位，所以我們可以給它命名為？

生：錯位相減法。

知識的習得是一個螺旋上升的過程，很多新舊知識之間存在一種“溫故而知新”的關系，教師不是急于給出結果，而是起到一個穿針引線，搭建一條連接新舊知識階梯的作用。通過與等差數列求和方法的類比，把求和的計算轉化到如何進行“消項”。學生在自己的自主探究與教師的引導中，感悟更加清晰，思維更加深刻。這也有力地說明了教學活動不能直接灌輸，而應該在學生的活動與思考后加以點撥，這樣的設計使學生在理解和接受數學思想方法層面上是科學和自然的，給學生一種水到渠成之感。

三、為學生搭建思維共鳴的舞臺

著名數學家斯托伊亞爾指出：“數學教學是數學活動（思維過程）的教學，而不是數學結果（數學知識）的教學?！笨梢?，思維過程是教學的核心，數學教育應著眼于培養學生終身發展的能力，我們的課堂應著力于提升學生的核心素養，因此，不講思路和過程，忽視思想和方法，將結論硬塞給學生，無疑會抑制學生的探索、創新能力，阻礙學生的思維發展。那么如何才能培養學生的思維能力，使學生得到終身發展呢？這就要求教師在課堂上不能以 “教”代“學”，而是要讓學生經歷發現、收集、理解這一學習的過程。

等比數列公式的推導是本節課的重點和難點，如何想到錯位相減這一方法也是本節課要突破的關鍵點，要突破這些教學難點不是一問一答就能完全解決的，而是要通過幾個環節的跟進，讓更多的學生思考得更充分、更深入。通過學生思維的交流捕捉學生想法中的閃光點和值得商榷的地方。在類比等差數列求和方法的時候，學生在交流時發現求和的關鍵是消項，于是提出了也用倒序相加的方法對等比數列進行消項，教師并沒有急于否定，而是讓學生自己嘗試，在探究中發現消項的關鍵是觀察項與項之間的聯系，在矛盾沖突中讓學生的思維不斷碰撞，得出項與項的聯系就在于后一項等于前一項乘以公比，從而讓學生自己找出等比數列的求和方法，比如，有學生指出可以根據定義：a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，…，an=an-1q。累加得：Sn-a1=q（Sn-an）化簡得：當q≠1時

這樣教師把問題拋給學生，讓學生自己思考，在亦退亦進間，讓學生經歷了思維的沖擊，開闊了視野，享受了學習的過程。讓學習真正發生，教師的作用就在于構建一個讓學生學習、經歷的“有意義”的過程，使他們在過程體驗中理解和把握知識，從而形成自己的知識網絡，更重要的是形成自己的“思想”，最終從認識走向求知，從有形走向無形，從單一走向立體。

如果說“授人以魚，不如授人以漁”，那么我覺得，授人以漁，必先授人以欲。課堂教學中，我們要做的不是為學生“剪開洞口”，而是通過對學生的學習過程進行組織和調整來激發學生的欲望，鍛煉他們的技能，讓他們形成“破繭”的能力。讓他們通過自己的思考、交流、探索生成屬于自己的知識，進而培養他們的習慣、提升他們的能力、從而內化成自身的素質。我們要培養的不是被抱出洞口的孱弱的“蟲子”，而是蛻變出強有力翅膀的“帝王蛾”。

［1］謝麗麗，楊光偉.激活思維，“生動”課堂——“等比數列前n項和”教學研探［J］.中學教研，2014（06）.

［2］王斌.展示思維過程提高思辨能力［J］.寧德師專學報：自然科學，2007（03）.

［3］張金平.建構“有意義”的學習經歷［J］.江蘇教育：小學教學，2016（01）.

G633.6

A

1005-6009（2016）54-0032-02

孫嵐，江蘇省沙溪高級中學（江蘇太倉，215421）教師，一級教師。