李慶娟
【摘要】不定積分是高等數學的重要內容之一,它的求解方法有很多,熟練掌握不定積分的求解方法是后期
學習的堅實基礎,本文主要是基于分部積分法就一道不定積分的求解方法就行探討.
【關鍵詞】不定積分;分部積分法;湊微分.
【中圖分類號】013 【文獻標識碼】A
解法1 一般情況下,被積函數是兩類不同函數的乘積時,可以確定基本上是采用分部積分法,分部積分法的公式是∫udv=uv-∫vdu,在公式中哪個函數作為u,哪個函數作為v是有講究的,基本規律是將五類基本初等函數按順序排列,即“反對冪三指”,當任意兩類不同函數相乘時,基于誰排在后誰優先湊進去作為v的原則,所以就本題而言我們先處理三角函數,但注意cos2x作為整體是湊不進去的,故需要先變形,我們利用三角函數的倍角公式,將cos2x降冪,進而繼續求解,詳細過程如下
解法2 在解法1的基礎上,在第二步時可采用整體湊微分的方法.
解法3 解法1與2均是對三角函數采用降冪方法先進行化簡,再湊微分,然后利用分部積分法求得結果,那也可以不化簡而直接湊微分,但也只能將一個cosx湊進去,然后利用分部積分法求解,解法如下:
解法5 以上四個解法,都是從三角函數出發,那也可逆向思維,打破常規,考慮冪函數湊進去作為v,再采用分部積分法進行求解.
注:解法5中,雖然在第一步處理時是優先選擇了將冪函數湊進去作為v,但是注意后面處理相同情況時,還是優先選擇了三角函數,否則是解不出來結果的.
以上,我們給出了一道不定積分的五種計算方法,當然這方法都是分部積分法的應用,雖然是同一個應用,但是我們處理方式不同,方法過程就有所不同,今后,在做不定積分題目時,在掌握基本方法和原理的基礎上,我們要學會發散思維,靈活處理.