一種隨機振動Von Mises應力的計算方法研究

劉相秋，張紅波

(1.中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471099；2.中國人民解放軍駐中國空空導彈研究院軍事代表室，河南 洛陽 471099)

一種隨機振動Von Mises應力的計算方法研究

劉相秋1，張紅波2

(1.中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471099；2.中國人民解放軍駐中國空空導彈研究院軍事代表室，河南 洛陽 471099)

針對隨機振動中應力的不確定性，采用模態疊加理論推出了線性系統隨機振動von Mises應力均方根值和功率譜密度的計算方法；采用該計算方法對一算例結構進行了von Mises應力均方根值和功率譜密度計算，并針對應力計算結果進行了結構隨機振動疲勞分析，通過與已有試驗結果的對比，驗證了方法的有效性。

線性系統；隨機振動；模態疊加；von Mises應力；功率譜密度；疲勞分析

0 引言

隨機振動現象在自然界和工程中廣泛存在，是導致很多電子器件故障和結構失效的主要原因。由于隨機振動時，載荷隨時間變化的規律預先無法確定，很難用確定性的時間或空間坐標函數描述，而只能用概率統計的方法描述，導致隨機振動響應分析要比確定性載荷下的力學問題要復雜得多[1-6]。von Mises應力在結構失效判斷、疲勞計算等過程中通常占有較重要的地位。通過隨機振動響應分析，一般可直接獲得結構的加速度、位移和應力分量的功率譜密度(power spectral density，PSD)函數，但是由于von Mises應力是應力分量的導出量，且為各應力分量的非線性函數，往往不能直接得到。以往隨機振動中von Mises應力一般通過估算公式，或者通過計算時域應力分量，進而計算von Mises應力的方法來得到，但這些方法要么計算結果不準確，要么計算過程繁瑣[7-11]。針對以往算法的缺點，本文基于模態疊加理論推導了von Mises應力均方根值和功率譜密度計算方法，并通過隨機振動疲勞分析算例驗證了方法的有效性。

1 隨機振動von Mises應力

von Mises應力是一種基于第四強度理論的等效應力，認為材料破壞的主要原因是形狀改變比能達到臨界值，適用于塑性材料建立失效判據。von Mises應力σeq的表達式為

(1)

式中：σij為各應力分量?？紤]到隨機振動時，應力是時間的函數，式(1)還可寫為如下的矩陣乘積表達形式：

(2)

式中：應力分量σ(t)=(σxx(t)，σyy(t)，σzz(t)，σxy(t)，σxz(t)，σyz(t))T；系數矩陣A為

應力分量σ(t)還可寫成下列模態坐標的形式：

(3)

將上式代入式(2)，可將von Mises應力也寫成模態坐標的表達形式：

(4)

還可將式(4)改寫為平方的形式：

(5)

對式(5)左右兩邊同時取期望值，則式(5)可變為如下形式：

(6)

(7)

由功率譜密度的定義知，von Mises應力的功率譜密度如下：

(8)

式中：

(9)

式(7)和(9)為基于模態疊加理論推導出的隨機振動過程中von Mises應力均方根值及應力功率譜密度計算方法，公式的應用前提是外部載荷為零均值，大多數工程中的隨機振動問題都屬于這種情況。由式(4)可以看出，von Mises應力的頻率成分將取決于qi(t)qj(t)，因此其頻率成分將包括模態頻率的二倍頻，這主要是由于von Mises應力的非負性造成的。

2 von Mises應力計算實例

本節針對一算例結構，采用第1節推出的計算方法，進行von Mises應力功率譜密度和均方根值的計算。結構模型為如圖1所示的薄板，厚度2 mm，材料為鋁，在薄板窄邊上加載一隨機振動激勵，激勵為如圖2所示的加速度功率譜密度曲線，振動方向垂直于板面。通過模態計算可知結構的一階模態頻率為49 Hz,二階模態為399 Hz，應力分布見圖3。

通過給出的計算方法，式(8)和(9)，計算結構應力最大點的von Mises應力功率譜密度和應力均方根值，應力最大點的功率譜密度曲線見圖4,應力均方根值為64.8 MPa。從圖中可以看出，應力功率譜密度最大峰值出現在98 Hz左右，為一階模態頻率的2倍。

圖1 算例薄板結構Fig.1 Plate structure for calculating

圖2 隨機振動激勵Fig.2 Excited PSD

圖3 應力分布云圖Fig.3 Stress distribution of the plate

圖4 應力功率譜密度Fig.4 PSD of von Mises stress

接著，采用Dirlik方法對結構進行振動疲勞壽命的計算[12-14]，材料S-N曲線見圖5。通過計算得到結構的振動疲勞壽命為1 473 s。

圖5 鋁材料S-N曲線Fig.5 S-N curve of aluminum

從文獻[15]中查閱到的7個試件疲勞壽命試驗結果見表1。此外，文獻[15]采用Dirlik方法進行仿真計算的疲勞壽命結果為1 011 s，其應力分布通過最大主應力頻響幅值和輸入的乘積得到?？梢钥闯?，該計算方法的結果與試驗結果及文獻計算結果較為接近。

表1 試件疲勞壽命試驗結果

3 結束語

本文通過模態疊加理論推出了線性系統隨機振動von Mises應力均方根值和功率譜密度的計算方法；采用該計算方法對一算例結構進行了隨機振動von Mises應力的計算，并針對計算結果進行了隨機振動疲勞分析，通過計算結果的對比，驗證了文中方法的有效性。該方法為線性系統在隨機振動條件的von Mises應力計算提供了簡便的途徑，在工程中可操作性強，便于進行后續的振動疲勞計算。

[ 1] 周興廣.多軸隨機振動環境的疲勞損傷機理淺析[J]. 航天器環境工程,2010,27(6):723-726. ZHOU Xing-guang. Fatigue Damage Methods Under Multi-Axial Random Vibration Environment[J]. Spacecraft Environment Engineering，2010, 27(6):723-726.

[ 2] 張玉梅,韓增堯,鄒元杰.隨機振動環境下航天器結構強度設計方法綜述[J]. 力學進展,2012,42(4):464-470. ZHANG Yu-mei, HAN Zeng-yao, ZOU Yuan-jie. An Overview of Structural Strength Design Methods for Spacecrafts in Random Vibration Environment[J]. Advances in Mechanics, 2012,42(4):464-470.

[ 3] 吳薇.機載電子設備的抗振動設計[J]. 壓電與聲光, 2008,30(1):19-21. WU Wei. Antivibration Design of Airborne Electronics Equipment[J]. Piezoelectrics & Acoustooptics, 2008, 30(1):19-21.

[ 4] 束立紅,羅元文,朱若燕.Q235鋼缺口試件隨機振動疲勞壽命試驗研究[J].湖北工學院學報，2000, 15(4):30-33. SHU Li-hong, LUO Yuan-wen, ZHU Ruo-yan. Fatigue Life Test and Research of Q235 Noteched[J]. Journal of Hubei Polytechnic University, 2000, 15(4):30-33.

[ 5] ZHAO Wang-wen, BAKER M J. On the Probability Density Function of Rainflow Stress Range for Stationary Gaussian Processes [J].International Journal of Fatigue, 1992,14(2):121-135.

[ 6] FRENDHAL M, RYCHLIK I. Rainflow Analysis: Markov Method [J]. International Journal of Fatigue,1993,15(4):265-273.

[ 7] 包名,尚德廣,陳宏.一種新的隨機多軸疲勞壽命預測方法[J].機械強度, 2012，34 (5):737-743. BAO Ming, SHANG De-guang, CHEN Hong. New Fatigue Life Prediction Method Under Random Multiaxial Loading[J]. Journal of Mechanical Strength， 2012，34 (5):737-743.

[ 8] 沙云東,郭小鵬,廖連芳，等.隨機聲載荷作用下的復雜薄壁結構Von Mises應力概率分布研究[J]. 振動與沖擊,2011, 30(1): 137-141. SHA Yun-dong, GUO Xiao-peng, LIAO Lian-fang,et al. Probability Distribution of Von Mises Stress for Complex Thin-Walled Structures Undergoing Random Acoustic Loadings[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(1): 137-141.

[ 9] 白春玉，牟讓科，馬君峰.多軸應力響應下結構振動疲勞壽命預估的時域方法研究[J]. 機械科學與技術, 2013,32(2):289-293. BAI Chun-yu, MU Rang-ke, MA Jun-feng. Time Domain Analysis for the Estimation of Structure Vibration Fatigue Life Under Multiaxial Stress Responses[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2013,32(2):289-293.

[10] 陳學前,杜強,馮加權.復合載荷作用下結構的響應仿真[J].科學技術與工程,2008,8(10):2535-2538. CHEN Xue-qian, DU Qiang, FENG Jia-quan. Simulation on Structures Under Complex Loading[J]. Science Technology and Engineering. 2008,8(10):2535-2538.

[11] SEGALMAN DANIEL J, FULCHER CLAY W G, REESE GARTH M. An Efficient Method for Calculating R.M.S.Von Mises Stress in a Random Vibration Environments[J].Journal of Sound and Vibration, 2000,230(2): 393-410.

[12] 曹明紅，邵闖，齊丕騫.寬帶隨機振動疲勞壽命的頻域分析與試驗對比研究[J]. 機械科學與技術,2013,32(6):839-844. CAO Ming-hong, SHAO Chuang, QI Pi-qian. Comparison of the Frequency-Domain Analysis and the Test Results for a Wide-Band Random Vibration Fatigue Problem[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2013,32(6):839-844.

[13] 張翼，楊晨，羅楊陽.隨機振動載荷下導彈吊掛疲勞壽命分析[J].機械科學與技術,2013,32(11):1675-1679. ZHANG Yi, YANG Chen, LUO Yang-yang. Fatigue Life Analysis of Missile Hanging in Random Vibration Load[J].Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2013,32(11):1675-1679.

[14] 劉龍濤，李傳日，馬甜.有限元仿真在振動結構疲勞分析中的應用[J]. 裝備環境工程,2013,10(4):23-29. LIU Long-tao, LI Chuan-ri, MA Tian. Application of Finite Element Simulation in Vibration Structure Fatigue Analysis[J]. Equipment Environmental Engineering. 2013,10(4):23-29.

[15] HBM United Kingdom Limited. DesignLife Worked Examples[K]. Southfield,2013:181-196.

A Method of Calculating Von Mises Stress in a Random Vibration Process

LIU Xiang-qiu1，ZHANG Hong-bo2

(1. China Airborne Missile Academy,Henan Luoyang 471099, China; 2. PLA, Military Representative Office in China Airborne Missile Academy,Henan Luoyang 471099,China)

Aiming at the stress uncertainty in a random vibration process, a method of calculating von Mises stress is researched. The mode superposition method is adopted to calculate power spectrum density (PSD) and root mean square (RMS) of von Mises stress. In order to validate the method, an example is performed to calculate PSD and RMS. Based on the PSD and RMS results, vibration fatigue life is analyzed. The calculated results correlate well with the experimental data.

linear system; random vibration; mode superposition; von Mises stress; power spectrum density (PSD); fatigue analysis

2015-12-22；

2016-04-21 基金項目：航空基金(2014ZD12018) 作者簡介：劉相秋(1980-)，女，吉林通化人。高工，博士，主要研究方向為結構動力學。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.01.008

O324; TJ76

A

1009-086X(2017)-01-0040-04

通信地址：471099 河南省洛陽市030信箱65分箱 E-mail：liuwang2824@126.com