從一道習題的推廣談數學文化的滲透

文︳申 潛

從一道習題的推廣談數學文化的滲透

文︳申 潛

題目解答不難，不過做完后不妨留心思考：題目中給出的是具體的橢圓，那么這個結論對所有橢圓是否都成立呢？也就是說，我們把這個事情一般化，探究橢圓是否都具有這樣的性質。這樣就可以解一題而通一類，培養解題能力和數學思維。若M，N是橢圓=1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩點，P是橢圓上異于M，N的一點，直線 PM，PN 的斜率分別為 k1，k2，則 k·1k2= 。

解：設點 M（x0，y0），則 N（-x0，-y0），設橢圓上點 P（x，y）。

也就是說，其斜率乘積與橢圓的長、短軸有關。再進一步推廣，雙曲線是否也有這樣的性質？

說到圓錐曲線和特殊到一般的數學思想，不得不提一個著名定理——費馬大定理。

1637年左右，法國學者費馬在閱讀丟番圖《算術》的拉丁文譯本時，在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數分成兩個立方數之和，或將一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關于此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下?！?/p>

費馬的話可整理成：當整數n＞2時，關于x，y，z的方程xn+yn=zn沒有正整數解。

畢竟費馬沒有寫下證明，而他的其他猜想對數學貢獻良多，由此激發了許多數學家對這一猜想的興趣。1753年，瑞士著名數學家歐拉在給哥德巴赫的信中說，他證明了n=3時的費馬猜想。1816年，巴黎科學院把費馬猜想簡化歸結為是奇素數的情況，認為費馬猜想應該成立，并稱之為“費馬大定理”（以區別費馬關于同余的小定理），還為證明者設立大獎和獎章，費馬大定理之謎從此進一步風靡全球。

19世紀初，法國自學成才的女數學家熱爾曼證明了當n和2n+1都是素數時費馬大定理的反例x，y，z至少有一個是n整倍數。在此基礎上，1825年，德國數學家狄利克雷和法國數學家勒讓德分別獨立證明費馬大定理在n=5時成立。1839年，法國數學家拉梅對熱爾曼方法作了改進，并證明了n=7的情形。他的證明使用了跟7本身結合得很緊密的巧妙工具，只是難以推廣到n=11的情形。

1844年，庫默爾提出了“理想數”概念，他證明了對于所有小于100的素指數n，費馬大定理成立，此一研究告一段落。但對一般情況，在猜想提出的頭200年內，數學家們仍對費馬大定理一籌莫展。

1955年，日本數學家谷山豐首先猜測橢圓曲線與另一類數學家們了解更多的曲線——模曲線之間存在著某種聯系；谷山豐的猜測后經韋依和志村五郎進一步精確化而形成了所謂“谷山—志村猜想”。這個猜想說明了有理數域上的橢圓曲線都是模曲線。這個很抽象的猜想盡管讓一些學者搞不明白，但它使費馬大定理的證明向前邁進了一步。

1984年，德國數學家弗雷在德國小城奧伯沃爾法赫的一次數論研討會上宣稱：假如費馬大定理不成立，則由費馬方程可構造一個橢圓曲線，它不可被模形式化，也就是說谷山—志村猜想將不成立。但弗雷構造的所謂弗雷曲線不可模形式化也說不清具體證明細節，因此也只是猜想，被稱為“弗雷命題”。弗雷命題如果得證，費馬大定理就與谷山—志村猜想等價。

1986年，英國數學家安德魯·懷爾斯聽到肯·里貝特證明弗雷命題后，感到攻克費馬大定理到了最后攻關階段，并且這剛好是他的研究領域。他開始放棄其他所有活動，精心梳理有關領域的基本理論，花了一年半時間把橢圓曲線與模形式通過伽羅瓦表示方法“排隊”。接下來要將兩種排隊序列對應配對，這一步他花了兩年時間卻無進展。此時他攻讀博士學位時學的巖澤理論一度取得實效。1991年，他的博士導師科茨告訴他，有位叫弗萊切的學生用蘇聯數學家科利瓦金的方法研究橢圓曲線，這一方法使其工作有了重大進展。

1993年6月，在劍橋牛頓學院的一次學術會議上，懷爾斯以“模形式、橢圓曲線與伽羅瓦表示”為題，分三次作了演講。聽完演講，人們意識到谷山—志村猜想已經被證明。由此把法爾廷斯證明的莫德爾猜想、肯·里貝特證明的弗雷命題和懷爾斯證明的谷山—志村猜想聯合起來就可說明費馬大定理成立。其實這三個猜想每一個的證明都非常困難，懷爾斯的證明，成為完成費馬大定理證明的最后一棒。至此，費馬大定理經過眾多數學家從特殊情形出發，一步一步推廣到一般情況，最后在橢圓曲線的幫助下，終于被證明了。

一個定理的證明歷經多年，凝結了眾多數學家的心血。由解題展開，聯系數學文化，學生可以體會到數學不是“冷冰冰”的形式化的表述和推理，而是背后都蘊藏著豐富的數學文化，有著“火熱的思考”。

邵東縣一中）