帶橫向支撐壓桿的穩定承載能力

李 平 閆鐵成（隴東學院，甘肅 慶陽 745000）

1 引 言

壓桿的極限狀態是整體失穩。理想的軸心壓桿的臨界力可以由歐拉公式推得，歐拉公式給出的臨界力NE是桿件能夠繼續保持直線平衡狀態的極限荷載，達到這一荷載后桿件即發生彎曲變形。

對于兩主軸（X、Y）慣性矩相差很大壓桿的截面（如工字型截面），繞強軸的臨界力Nx比繞弱軸的臨界力Ny大很多，因此，壓桿彈性工作范圍內的臨界力取決于弱軸的剛度，穩定承載能力取決于Ny。

從以上（1）（2）（3）式不難看出，計算長度l的減小，可以使得壓桿的穩定承載能力Ny有明顯的提高，實際工程中通常采用設置橫向支撐的方法來實現減小壓桿計算長度以達到提高穩定承載能力的目的。設置橫向支撐的實質是在壓桿弱軸方向提供一個有一定剛度的支座，本文試圖以桿件高度中央設置支撐的壓桿為例，分析支撐的剛度與壓桿穩定之間的關系。

2 支撐的剛度Kb

本文研究的力學模型采用圖1(a)所示，在桿件高度中央設置一橫向水平支撐，可以看作剛度為Kb如圖1(b)所示的彈簧支座，若該支座的剛度很弱，則支撐軸向變形大、桿軸線發生如圖1(c)所示的波形圖，此時支撐對Ny的提高并不顯著。因此，必須分析壓桿支撐的剛度，使之具備剛性支座的最小剛度。

當支撐的剛度足夠時，壓桿屈曲時，桿軸線呈一個全波如圖1（d）所示，反彎點處于支撐的位置，相當于一個鉸，支撐的壓縮量d很小，給反彎點處求矩：

則：

圖1 桿件中央帶支撐的壓桿

可以看出，中央橫向支撐剛度至少要達到4Nl/L，才可以實現計算長度減少到L/2的目的。

若n個支撐把壓桿分成n+1個等段，則彈簧的剛度應至少為［2］：

當n無線增大時，kl/ Nl趨近于4，因此，只要支撐剛度不低于

才能實現通過設置橫向支撐減小計算長度的目的。此分析中并未限制橫向支撐的軸向變形d在彈性范圍內，因此以上支撐剛度的分析可以用于非彈性失穩分析。

考慮到壓桿中的橫向支撐并非完全剛性，國外學者Berlin將總長為l的桿件分為n段，定義單個節間長分別為ln-1和ln、pn-1、pn+1為桿端壓力，Mn為桿中部支座處力偶，由平衡關系得［3］：

橫向支撐處的轉角βn為：

將式（9）和邊界條件Mn-1=Mn+1=0帶入連續梁三彎矩方程中得：

其中，

聯立方程（8）（10），方程對于Mn和δn有非零解時，桿的屈曲方程即為可能。因此pn-1與pn的臨界值可由方程組系數行列式為零得到：

當支撐半剛性時，式（14）有解等于：

其中，彈性支撐參閱文獻［4］。

3 支撐的內力設計

考察圖1所示體系，壓桿、橫向支撐在彎曲變形下均處于完全彈性狀態，在軸心壓力作用下，壓桿的彎曲使得支撐產生壓力，荷載增加至發生圖1（a）所示兩個半波形屈曲，此時支撐產生的內力為F。帶橫向支撐壓桿屈曲時，幾何條件是壓桿的撓度與支撐的壓縮變形d相等，結合屈曲條件和平衡條件，得支撐內力F與壓桿臨界荷載 Pcr之比［1］：

式中λb為撐桿的長細比，=F/FE。

F是支撐必須能承受的力，代表壓桿對撐桿強度上的最低要求。若不考慮壓桿的安全儲備（安全度和富裕度），有可能會出現壓桿未達到臨界荷載（例如兩個半波的屈曲臨界荷載），而撐桿的剛度卻已然達到了0，這與設置橫向水平支撐提高壓桿的承載能力相悖。國內學者童根樹在1986年提出，鑒于支撐本身的臨界荷載FE（FE=π2EIb/b2）大于上述F力，采用支撐本身的臨界荷載來設計撐桿，這樣既可保證支撐的內力達到F 后，撐桿仍有富余的剛度供壓桿支撐。

4 帶橫向支撐壓桿的穩定性

圖1所示高度中央設置一橫向支撐的完善壓桿，假設壓桿和支撐桿都是無限彈性的，則壓桿的臨界荷載是：

式中Kc=2pEI/l=44π2EI/L3是被支撐壓桿失穩形式發生改變時的剛度；支撐桿的軸壓剛度Kb=EAb/b。

將式（16）與兩端鉸接無支撐情況下的完善軸壓桿的臨界力pcr=π2EI/L2相比，式（16）的穩定承載能力明顯提高了[π2EI/(0.5L)2-π2EI/L2]Kb/Kc,該增值是由支撐的剛度提供的，表面上看壓桿的臨界荷載pcr與支撐的剛度Kb成正比。但從物理意義上講，橫向支撐的剛度只有大于0，才能保證臨界荷載增加，即帶橫向支撐壓桿的荷載增加達到屈曲臨界荷載時，支撐的剛度必須大于0，這樣才能達到提高壓桿承載力的效果。

G.winter曾報告過有關減小壓桿計算長度的支撐實驗[5]，實驗用冷彎槽鋼組合的工字截面，撐桿用十層紙，在桿段上設置一至四道支撐。實驗結果是：即使采用紙帶這樣的弱支撐，壓桿的承載力仍然提高很多。楊隆宇、李正良采用角鋼規格Q420、2L160×14、長細比為30～50作為撐桿，實驗表明：橫向支撐可有效提高試件的穩定承載能力。

5 結 語

本文通過對壓桿橫向支撐的剛度、內力的探討，總結有以下幾點：

1）設置橫向支撐是減小壓桿計算長度提高穩定承載能力的有效方法。

2）橫向水平支撐必須滿足最小剛度的要求，才能對壓桿提供剛性支座達到減小計算長度的目的。

3）壓桿達到屈曲臨界荷載時，橫向支撐的剛度必須大于0，才能保證壓桿的臨界荷載實現提高的目的。

4）本文的推論未考慮初始缺陷的影響，有待以后進一步討論。

[1]陳紹蕃，《鋼結構設計原理》，北京：科學出版社，2005年4月。

[2]周承倜，《彈性穩定理論》，四川：四川人民出版社，1981,77頁。

[3]Zimmermann H Die knickfestig keit eines stabes mit elastic-cher querstutzung ［M］Berlin:kessinger public,1906.

[4]Simitses G j An introduction to the elastic stability of structures ［M］Englewood cliffs:Pretice Hall,1976.

[5]Winter.G.,Lateral Bracing of Columns and Beams,Transaction ASCE,125.part 1,1960.