常微分方程教學的一些思考

摘 要：常微分方程是數學相關專業的一門重要的專業課程，是現代數學的一個重要分支。如何把教學方法和教學內容同動力系統發展方向相結合，培養學生能夠運用動力系統理論知識解決實際問題，這是當今“常微分方程” 教學面臨的新課題。

關鍵詞：微分方程 教學內容 教學方法 動力系統

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2017）03-0008-01

1 引言

一個世紀以來，常微分方程理論（動力系統）得到了迅猛發展，極大地促進了力學、物理、生物、化學、自動控制、機械工程、電子科學及航空航天技術的發展。教育部在《教育部關于中央部門所屬高校深化教育教學改革的指導意見》中指出“對傳統學科專業進行更新升級，用新理論、新知識、新技術更新教學內容，調整專業培養目標和建設重點，優化人才培養方案，推進專業綜合改革，提高高校優勢特色專業集中度”。李克強總理于2016年4月15日在北京大學數學科學學院考察時說：數學是自然科學的皇冠，是其他科學研究的主要工具；基礎數學研究在我國是薄弱環節，對許多領域形成瓶頸制約，需要一批人靜下心來把“冷板凳”坐熱；一定要把基礎數學研究擺在更加重要的位置。李克強總理又于2016年5月31日在全國科技創新大會上再次說到：“世界上科技創新走在前列的國家，很大程度上得益于數學領域的長期領先；要現實科技跨越發展，必須大力加強數學研究和應用，培養更多拔尖人才，加快建設數學強國”。因此在新形式下我們需要培養一批掌握動力系統理論、能夠運用動力系統的新理論、新方法解決實際問題，服務于科技的專業人才。這對動力系統及非線性科學的基礎核心課程“常微分方程”提出了新的要求。如何運用新的教學思想去改進教學方法，如何將新知識、新方法注入新的教學內容中，這是當今 “常微分方程”課程教學面臨的新課題。結合作者這些年的學習和教學經歷，本文將從教學方法和教學內容這兩個方面出發，探討新時期“常微分方程”課程的教學。

2 選擇適當的教學方法

常微分方程既是數學分析的延續，又是代數學、泛函分析、偏微分方程、微分幾何、拓撲學等專業課程的基礎，現已經發展成為數學學科的一個重要分支——動力系統。引入先進的教學理念和現代化的教學手段，有利于提升教學效果，培養學生運用數學理論知識解決實際問題的能力。新的教學方法主要有：講授、討論、演示、任務驅動、自主學習等。根據常微分方程課本，一般第一章都是常微分方程模型、發展歷史、基本問題的介紹，詳情請看文獻[1-5]。我們以文獻[4、5]為例探討教學方法的選取。依據“講歷史、講思想、講方法”的教學理念，第一章宜采用自主學習和課堂討論的方式進行教學，讓學生了解常微分方程的發展歷史、研究問題及如何運用所學知識對微分方程模型進行研究。對于第二部分內容——初等積分法、線性方程及常系數線性方程等，宜采用混合教學法：以任務驅動和自主學習為主，結合PPT演示等教學方法進行相關內容的教學，即首先向學生介紹相關內容的重點與難點，要特別關注首次積分的構造、解的結構等，讓學生明白自己當前的學習任務，以任務為動力來加強自主學習。最后一部分內容主要介紹常微分方程的定理理論，其內容主要包括微分方程解的存在性、唯一性、解的延拓、解對初值和參數的依賴性、Lyapunov穩定性理論、動力系統的基本概念等。這部分內容是常微分方程的重點、難點內容，也是學生后續學習過程中常用的理論基礎。數學的靈魂是思想，只有形成了思想才具備理論上的創新能力。因此這部分內容主要應以教師講授為主，重點介紹相關理論的數學思想、重要定理的證明思想以及如何運用相關理論對微分方程模型進行數學分析，培養學生運用所學數學理論知識解決實際問題的能力?？傊?，任何教學方法都將以“突出重點、加強基礎、重視能力、強調應用”為教學目的，努力提高教學水平。

3 新形勢下教學內容的選取

隨著當前教育的改革與發展，選修課程所占比重增加，必修課學時減少，不少學校常微分方程課程的教學學時才48。當前科學發展日新月異，常微分方程的理論和方法一直處于不斷完善和發展中。在學時減少的情況下，如何選擇合理的教學內容是當前常微分課程教學的新課題。傳統的常微分方程課程教學過多偏重于精確求解，事實上很多方程我們無法求解，比如Riccati方程、三體運動方程等，因此精確求解已經不是常微分方程發展的方向。教學內容的選取需保證理論基礎的完整性和學習的可持續性。常微分方程的教學內容應偏重于常微分方程定理理論部分，其重點內容包括Picard存在唯一性定理、Peano存在性定理、解的延拓、解對初值和參數的依賴性、Lyapunov穩定性理論、動力系統基本概念等。這些教學內容涉及一些偏微分方程、泛函分析、拓撲學、近世代數等課程的基本思想。這些內容的學習使得學生在以后的專業課程學習中對新知識有初步的感覺，有利于提高他們對新課程學習的興趣，甚至為研究生階段打下良好的基礎。在今后的常微分方程教學改革中，應該根據教學大綱和教學計劃的安排，把重心放在教學內容的選擇上，重點加強學生數學思維與數學素養的培養與訓練，培養學生運用所學數學理論知識解決問題的能力。

總之， 隨著科技的發展，社會的進步，教學必須發生改變。只有這樣， 才能提高學生學習的積極性和主動性，提高學生運用所學數學理論知識解決問題的能力，為社會培養高素質的人才。

參考文獻：

[1] V.I. Arnold.Ordinary Differential Equations[M]. MIT Press，Princeton，1973.

[2] 張芷芬，丁同仁等，微分方程定性理論[M].科學出版社，1985.

[3] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].高等教育出版社，2004. [4] 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程[M].高等教育出版社，2007.

[5] 張偉年，杜正東，徐冰.常微分方程[M].高等教育出版社，2014.

作者簡介：吳奎霖，男，博士，貴州大學副教授，研究方向：微分方程與動力系統。