脈沖星導航系統的星歷表誤差RKF校正算法

李曉宇，姜 宇，金 晶，賀 亮，沈 毅

(1.哈爾濱工業大學控制工程系，哈爾濱150001;2.上海航天控制工程研究所，上海200233)

脈沖星導航系統的星歷表誤差RKF校正算法

李曉宇1，姜 宇1，金 晶1，賀 亮2，沈 毅1

(1.哈爾濱工業大學控制工程系，哈爾濱150001;2.上海航天控制工程研究所，上海200233)

為了減小星歷表誤差對脈沖星導航系統的影響，本文提出了一種針對星歷表誤差的RKF(Robust Kalman filter)導航定位方法。通過對星歷表誤差進行分析，得到星歷表誤差隨時間變化的關系。建立帶有星歷表誤差的量測模型，利用Kalman濾波原理進行計算。在Kalman濾波計算的過程中，星歷表誤差項是未知的，利用矩陣不等式進行處理，最終確定誤差協方差的下界，并計算反饋增益得到最終的狀態估計值。將RKF方法與UKF和其他兩種處理星歷表誤差的濾波方法分別在繞飛地球和火星的軌道上進行測試并進行對比分析，實驗結果表明，提出的方法可以取得到比UKF和其他兩種濾波方法更高的定位精度，有效的減小星歷表誤差對脈沖星導航系統的影響。

自主導航;脈沖星導航 (XNAV);星歷表誤差

0 引 言

近年來，X射線脈沖星導航［1］作為一種新興的自主導航方式，受到越來越多的關注。具有自主性強的特點，可以有效的克服利用地面跟蹤導航系統的缺陷，完全勝任各種自主導航探測任務。脈沖星是一種高速旋轉的中子星，不斷的發出X射線電子束，這種電子束具有周期穩定的，容易辨識的優點。當X射線粒子束掃過某一個平面的時候，星載探測器可以在單位時間記錄到達的光子數，形成一個觀測輪廓。將脈沖星的觀測輪廓和標準輪廓進行對比，可以得到脈沖星光子到達太陽質心與到達航天器的時間差。因此，可以將該時間差作為脈沖星導航系統的觀測量，結合軌道動力學模型，根據EKF，UKF和NPF等濾波算法［2－7］得到導航信息。

在繞飛行星探測的過程中，動力學模型是以行星本體質心為慣性坐標系下建立的，而觀測模型是建立在SSB坐標系下的。在對觀測模型進行坐標轉換的過程中，需要用到行星的位置，而行星的位置是由星歷表預報提供的。目前廣泛使用的DE405星歷表［8］是由美國宇航局(NASA)的噴氣推進實驗室(Jet propulsion laboratory，JPL)于1997年提供的，通過雷達等測量方式，提供行星在太陽系中的位置。由于受到當時測量技術條件的限制，難免會存在誤差。在DE405星歷表之后，JPL在新的航天任務中通過測量行星位置對星歷表進行不斷更新，并在2007年發布了新的DE421［9］星歷表，與DE405相比，DE421通過最新的觀測信息，可以提供更精確的行星位置。盡管通過新的星歷表可以獲取行星的位置，但由于其他天體攝動仍會對行星產生影響，隨著時間的推移，使得行星的位置發生變化，導航系統定位結果存在誤差。因此，在脈沖星導航過程中，需要對星歷表誤差進行分析，并設計相對應的導航算法減小該誤差對導航系統的影響。

為了解決星歷表誤差影響導航精度的問題，利用增廣矩陣的ASUKF方法［10］和利用差分量測的TDUKF方法［11］被提出。在文獻［10］中，通過對DE405和DE421兩種星歷表誤差的分析證明，由星歷表誤差引起的系統偏差是緩慢變化的。將該系統偏差增廣到動力學模型中，作為導航系統狀態向量的一部分，并在濾波的更新階段補償量測模型中的偏差。但是，這種ASUKF濾波算法僅適用于繞飛地球的航天器導航過程中。對于其他行星的繞飛情況(例如火星)，天體攝動會產生復雜的影響，使得對系統偏差的建模不準確，進而影響導航系統的定位精度。在文獻［11］中，利用相鄰兩個時刻的量測更新進行相減，達到消除觀測量中星歷表誤差的目的。但是兩個觀測量相減使得系統過程噪聲和量測噪聲相關，使得新的觀測量中噪聲增大，對導航精度產生影響。

根據上述分析，本文提出一種針對星歷表誤差的魯棒Kalman濾波(Robust Kalman filter，RKF)方法。通過對星歷表誤差的分析，將星歷表誤差引起的系統偏差引入到建立的量測模型中，通過濾波計算得到帶有系統偏差項的誤差協方差，利用矩陣不等式計算系統偏差的下界，并根據系統偏差的下界計算導航系統的反饋增益，對最終的估計狀態進行校正。該方法不需要增加系統模型的維度，保證了系統的可觀測性。只需要利用當前時刻的觀測量，利用矩陣不等式計算系統偏差協方差的界，并對估計結果進行校正，取得較高的定位精度。

本文內容安排如下:第1節闡述星歷表誤差產生的原因及對脈沖星導航系統的影響進行分析。第2節介紹脈沖星導航系統的軌道動力學模型和量測模型，并提出RKF方法。第3節進行實驗仿真分析，驗證RKF方法的有效性。第4節給出結論。

1 脈沖星導航星歷表誤差分析

1.1 脈沖星導航

根據前文中介紹的脈沖星導航原理可知，脈沖星導航的量測量Δt是X射線脈沖星發出的光子到達航天器的時間和太陽質心 (Solarsystem barycenter，SSB)之差，如圖1所示。RSC是在SSB坐標系下航天器的位置向量。因此，觀測量Δt表示的是航天器位置向量RSC在第i顆脈沖星方向ni上的投影。因此關于時間差Δt的量測量可以表示為:

式中:c代表光速，ni表示脈沖星的方向向量，ni=［cosδisinαicosδicosαisinδi］，α和 δ分別代表SSB坐標系下的赤經和赤緯。航天器位置向量RSC可以通過該航天器繞飛的行星位置獲得:

式中:r表示航天器相對于行星的位置矢量，rE表示行星相對于SSB的位置，由JPL提供的星歷表預報得到。但是，由于測量技術條件的限制以及天體復雜攝動的影響，星歷表所提供行星的預報位置和真實位置存在誤差，如圖1所示。行星位置變為，航天器相對于行星的位置變為，與真實的航天器位置r存在誤差。因此，需要分析星歷表誤差對導航系統的影響。

1.2 星歷表誤差分析

由于在1997年到2007年之間的航天任務中增加了新的觀測手段，并提高了量測的精度，DE421星歷表可以獲得比DE405星歷表更準確的行星位置。表1中給出了DE405和DE421兩種星歷表在1997年內24小時和1年的誤差變化值。

從表中可以看出，地球相對于太陽的位置坐標較準確，誤差在較小。但是，火星的位置坐標誤差較大，由于其他天體對火星會產生復雜的攝動影響，使得誤差增大［9］。

表1 行星星歷表平均誤差

為了進一步分析星歷表誤差的變化，本文以兩種具有代表性的行星(地球和火星)進行具體分析。圖2和圖3中分別給出了地球和火星在24小時和一年內的星歷表誤差隨著時間變化關系。隨著時間的增加，星歷表誤差不斷增加，長期運行的繞飛航天器，需要考慮星歷表誤差對導航系統的影響。

根據圖1定義星歷表誤差為:

在圖4中，橫坐標表示星歷表誤差ΔrE的值，縱坐標表示導航系統利用UKF濾波方法［12］的誤差估計值，所使用的軌道為已知繞飛地球的OPS_5111，其軌道參數、所采用脈沖星參數以及UKF濾波算法的實驗條件在第4.1節給出。通過對不同誤差值的分析可知，隨著誤差值ΔrE的增加，UKF算法的估計誤差值不斷變大，假設ΔrE每增加100米，UKF濾波算法的估計誤差會增大150米左右。當星歷表誤差達到1000米時，UKF的估計誤差達到了1500米。由于星歷表誤差ΔrE的存在，會使得量測殘差變大，對導航結果造成影響。因此，需要重新設計相對應的濾波器增益來校正星歷表誤差對系統的影響。

2 濾波方法

2.1 軌道動力學模型

繞飛行星航天器的軌道動力學模型可以用二體運動方程來表示。在以行星的為中心的慣性坐標系(J2000.0)下，系統的狀態向量x為:

式中:r=［x y z］T為航天器相對于行星的位置向量，v=［vxvyvz］T為速度向量。因此，根據二體運動方程，軌道動力學模型可以表示為:

式中:R為行星的半徑，μ為行星的引力常數，J2為攝動項系數。

2.2 量測模型

根據脈沖星導航原理可知，系統的量測模型可以表示為:

式中:h(xk) =［h(1)(xk)，h(2)(xk)，…，h(i)(xk)］T，根據公式(1)的幾何關系可知:h(i)(xk) =ni(rk+E，k)，E，k代表星歷表預報的行星位置，由DE405星歷表預報得到。i代表使用脈沖星的數量，在本文中，i=3。

2.3 導航算法

根據第2.1節和第2.2節的介紹，脈沖星導航系統可以寫為:

式中:wk為系統噪聲矩陣，=Qk。Vk為量測噪聲矩陣，，對于公式(7)中給定的導航系統，根據Kalman濾波算法，可以得到:

預測:

更新:

式中:Kk是需要確定的增益矩陣。

進一步展開可得:

最終整理可得:

假設 Pk/k－1的上界為 ∑k/k－1，即:Pk/k－1≤∑k/k－1;則協方差 ∑k/k－1定義為: ∑k/k－1=。將∑k/k－1展開可得:

將式(14)進一步展開可得:

最終整理可得:

式中:Hk=［n3×303×3］T，Bk代表星歷表誤差。定義誤差矩陣為:Bk=［B1，k，B2，k，…，Bi，k］T。其中，Bi，k=niΔrE=ni(rE－)。

假設Pk的上界為∑k，即:Pk≤∑k;則協方差∑

k定義為:進一步整理可得:

當∑k達到上界時，求導可得增益Kk的值。令:，則有:

由于存在大于1的正數ε使得不等式成立:

展開可知:

根據公式(20)和(22)可得:

否則

因此，本文提出的RKF算法流程圖如圖5所示。預測過程，可以根據式(8)和(13)得到。由于UKF方法中的UT變換對線性化誤差具有很好的處理效果。因此，預測階段的式(8)和(13)可以由文獻［12］中的UKF預測階段代替。更新過程，可以根據式(9)和(17)得到。首先根據式(25)、(26)算出的值，再根據式(18)算出的值，最后根據式(9)和(17)算出最終的估計值和誤差協方差。

3 仿真分析

3.1 仿真條件

為了驗證本文中所提方法的有效性，本文給出了已知衛星繞飛地球軌道OPS_5111［11］和繞飛火星軌道Mars［12］的軌道參數，如表2所示。在本文中，根據傳統脈沖星導航系統的設計方案［2－7］，選擇三顆脈沖星作為導航系統的觀測量，所選脈沖星的觀測參數如表3所示。所用的 X射線背景流量為Bx=0.005 ph·cm－2·s－1，探測器面積為 A = 1 m2，觀測頻度為500秒/次。

對于濾波器仿真輸入條件，本文根據脈沖星導航系統的取值方法做如下設置［2－7］:

1)初始誤差為:

2)初始誤差協方差為:

3)系統噪聲協方差為:

4)觀測噪聲協方差為:

Rk=diag［1092，3252，3402］。濾波中的周期為500秒。由于真實的行星位置無法準確的得到，本文利用DE421星歷表提供的行星位置來近似的模擬真實的行星位置，利用DE405星歷表在導航濾波過程中預報行星的位置。本文引入均方根誤差(Root mean square error，RMSE)作為評價導航濾波算法的定位性能指標，RMSE的定義如下:

式中:Δrk表示第k時刻真實的軌道位置rk與濾波器估計的軌道位置k之間的距離。為了證明RKF方法的有效性，本文通過與RKF和傳統UKF以及另外兩種ASUKF和TDUKF導航濾波方法的RMSE的值進行對比，對四種濾波算法的性能進行系統的分析和評價。

3.2 仿真結果分析

圖6給出了繞飛地球軌道分別利用 UKF，ASUKF，TDUKF和RKF的位置估計誤差結果。其中，RKF算法中的調節參數ε=1000。四種算法在1×105s后都可以收斂，但是UKF的估計誤差結果明顯大于其他三種方法，這表明使用UKF方法不能夠消除星歷表誤差對導航系統的影響。對于其他三種方法，RKF的估計誤差精度要明顯好于ASUKF和TDUKF方法。這表明，RKF可以更好的解決星歷表誤差問題。此外，ASUKF方法需要將系統偏差增廣到系統狀態中，增大了系統的維度，會使得系統的穩定性受到影響。對于TDUKF方法，由于需要用到兩個相鄰時刻的觀測量，增大了脈沖星導航系統的存儲空間。因此，本文提出的RKF方法可以克服上述缺點，滿足復雜航天任務的需要。

為了進一步證明本文提出方法的有效性，本文給出了4種算法在繞飛火星軌道的濾波結果，RKF算法中的調節參數 ε=100。如圖7所示。由于DE405星歷表預報火星位置的誤差較大，四種方法的估計誤差都有增大，但是UKF方法的估計誤差結果明顯比ASUKF，TDUKF和RKF的誤差大。為了展示ASUKF，TDUKF，RKF的估計誤差的細節，將圖7放大。由于繞飛火星軌道的周期較短，三種濾波算法經過5×104秒后開始收斂。但是ASUKF和TDUKF仍然要比本文中的RKF算法的估計誤差大。因此，在星歷表誤差較大的情況下，RKF方法仍然可以有效地解決星歷表誤差對導航系統的影響。

表2中給出了UKF和RKF在兩條軌道中的位置誤差估計結果，對于軌道1，本文所選擇的穩定區間為1×105秒到6×105秒，從表中可知，UKF的位置誤差估計結果明顯高于ASUKF，TDUKF和RKF。其他三種濾波方法的定位精度分別提高了61.7%，64.1%，67.4%。對于軌道2，本文中選擇的穩定區間為5×104到2.5×105秒，三種濾波方法的定位精度分別提高了96.6%，97.5%和98.3%。這是由于在UKF計算的過程中，星歷表的誤差會使得量測殘差增大，使得系統的導航精度降低。在軌道2中，星歷表誤差增大到5×104m左右，使得UKF濾波過程中的量測殘差急劇的增大，進而導致UKF的估計誤差增大。而對于ASUKF方法，雖然通過分析設定系統偏差，但是由于小行星帶產生的復雜攝動影響，使得系統偏差的模型不準確，導致ASUKF估計誤差變大。在TDUKF方法中，雖然相鄰時刻的星歷表誤差變化不大，可以利用觀測量差分將星歷表誤差消除，但是差分會增加量測方程的噪聲，使得TDUKF的誤差變大。而本文提出的RKF方法，通過量測殘差確定出星歷表誤差引起的系統偏差的下界，并通過設計反饋增益及時對估計結果進行校正，最終減小星歷表誤差對導航系統的影響。

表2 四種方法的估計誤差Table 2 Estimation error for four methods

由于本文中真實的星歷表數據是由DE421星歷表提供的，而DE421星歷表提供的和真實的星歷表數據仍然存在一定的誤差。為了證明在真實條件下，RKF方法仍然有效，本文給出在不同的星歷表誤差下，四種方法的導航性能曲線，如圖8所示。隨著星歷表誤差的增加，UKF的估計誤差急劇增大，而其他三種算法，估計誤差值較小。ASUKF，TDUKF，RKF三種方法都可以消除星歷表誤差對導航系統的影響。其中，RKF的方法可以取得比ASUKF和TDUKF方法更高的定位精度。實驗結果表明，在不同星歷表誤差下，RKF算法仍然可以得到更好的定位效果并有效減小星歷表誤差對導航系統的影響。即使DE421星歷表的近似行星位置和真實行星位置有誤差，本文提出的RKF方法，仍然可以通過真實的觀測量計算量測殘差，并利用不等式準確計算出系統偏差的下界，校正星歷表誤差對導航系統的影響。

表3 軌道參數Table 3 Parameters of orbit

表4 脈沖星參數Table 4 Parameters of pulsars

為了進一步體現所提RKF方法的有效性，本文給出了RKF濾波算法中星歷表估計誤差的評價指標。根據公式(23)中給出的推導公式，定義星歷表估計誤差協方差評價指標為:

4 結 論

本文提出一種針對星歷表誤差的RKF導航濾波方法，該方法通過分析星歷表誤差對導航系統的影響，建立帶有星歷表誤差的量測模型。根據量測殘差和矩陣不等式設計導航濾波器的增益，及時校正最終的狀態估計值。與UKF，ASUKF，TDUKF方法相比，RKF方法可以有效的消除星歷表誤差對導航系統的影響。本文中所提出的方法適用于繞飛行星探測的自主導航，具有較高的定位精度。

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通信地址:黑龍江省哈爾濱市南崗區西大直街92號哈工大主樓602(150001)

電話:(0451)86413411－8602

E-mail:xiaoyuli@hit.edu.cn

金 晶(1980－)，女，博士，副教授，主要從事信號處理及導航方法研究。本文通信作者。

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電話:(0451)86413411－8602

E-mail:jinjinghit@hit.edu.cn

(編輯:張宇平)

RKF Method for Pulsar Based Navigation with Emphasis Error Correction

LI Xiao-yu1，JIANG Yu1，JIN Jing1，HE Liang2，SHEN Yi1
(1.Dept.Control Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China 2.Shanghai Aerospace Control Technology Institute，Shanghai 200233，China)

In order to reduce the influence of the emphasis error to the X-ray pulsar navigation system performance，a RKF based method for dealing the emphasis error is proposed.Through analyzing the emphasis error，the relationship between emphasis error and time is obtained.The measurement model with emphasis error is established and calculated with the principle of Kalman filter.The estimation error covariance is dealing with the matrix inequality due to the emphasis error is contained in the estimation error covariance.The proposed RKF method is tested on the Earth and Mars rotation orbit and compared with UKF and other filtering method which can deal with the emphasis error.The simulation results shows the proposed method can achieve higher positioning accuracy than UKF and the other two filtering methods，the RKF based method can greatly reduce the impact of emphasis error for XNAV.

Autonomous navigation;X-ray pulsar based navigation(XNAV);Emphasis error

V448.25+3

A

1000-1328(2017)01-0026-08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.01.004

李曉宇(1984－)，男，博士生，主要從事X射線脈沖星信號處理及導航方法研究。

2016-06-03;

2016-10-27

中國航天科技集團－哈爾濱工業大學聯合技術創新中心創新基金(CASC－HIT15－1C04)