不同晶體模型的微波布拉格衍射

鄭 航，吳奕初，楊 薇，劉海林,李美亞

(武漢大學 物理科學與技術學院，湖北 武漢 430072)

不同晶體模型的微波布拉格衍射

鄭 航，吳奕初，楊 薇，劉海林,李美亞

(武漢大學 物理科學與技術學院，湖北 武漢 430072)

研究了不同晶體模型下布拉格衍射規律，討論了簡單立方(100)晶面微波衍射圖出現2級衍射和3級衍射所需的條件. 將簡單立方模型改造成四方模型，討論了四方晶體模型的衍射峰隨晶面間距的變化規律. 設計了體心和底心立方模型，并觀察到了(100)晶面的消光現象. 采用有限點陣理論模擬計算結果也與實驗測量數據一致.

微波;布拉格衍射;晶體模型;晶面間距

微波光學與布拉格衍射是近代物理實驗的重要內容[1]. X射線布拉格衍射實驗，技術含量高，自動化程度高，但也存在不足：成本高，學生的參與度低，對實驗儀器各部件了解不足[2]. 而在微波布拉格衍射實驗中，3 cm固態微波源易獲取，模擬晶體結構可調節，整個儀器結構組成簡單. 微波波長在0.001～1 m之間,X射線波長介于0.001～10 nm之間,微波的波長遠大于X射線，用微波模擬X射線的布拉格衍射實驗，可以得到肉眼可視的模擬晶格，即將現象從微觀尺度放大到宏觀尺度. 因此有利于學生對X射線在實際晶體布拉格衍射的了解和認知.

早在1981年天津大學的應廣壽等[3]使用向量疊加的辦法，推出了布拉格衍射峰的位置并解釋了衍射圖中次級峰出現的原因. 俞書樂等[4]制作了底心立方模型，觀察到消光現象. 2006年起，可檢索到國內刊物發表的微波單縫及布拉格衍射相關論文有十余篇，例如，文獻[5]證明了入射波一定時衍射極大由晶面間距決定；文獻[6]介紹了微波單縫衍射實驗中出現的畸變現象；文獻[7]設計了線陣模擬晶體，能有效地調節晶面間距；文獻[8-9]討論了布拉格定律的衍射級數與微波波長的關系及實驗測量系統的改進. 柳艷等[10]測量發現體心立方的衍射峰強度比簡單立方的衍射峰強度明顯增加，但文獻中未給出模擬晶體的點陣參量及各晶面如何同時測量等細節；劉強春等[11]改變模擬晶體的實際位置，研究了模擬晶體位置對布拉格衍射峰位置的影響. 另外，文獻檢索發現國外學者也對微波布拉格實驗進行了深入研究或對儀器設備進行了改進，值得國內同行參考和借鑒，相關內容可參考文獻[12-14].

考慮到簡單立方結構的晶體非常罕見，本文在研究簡單立方模型的基礎上，進一步探討四方、體心立方及底心立方等不同晶體模型的微波布拉格衍射實驗. 實驗中觀察到了體心立方和底心立方模型(100)面的消光現象，并在向量模擬方法確定衍射峰的位置[3]基礎上，推導了多層晶體的模擬公式.

1 實驗原理及方法

1.1 微波布拉格衍射實驗原理

在微波布拉格衍射實驗中，仿照X射線衍射與真實晶體的相互作用關系，以微波代替X射線，以晶格常量與微波波長相近的模擬晶體代替真實晶體，用微波照射模擬晶體，得出從不同晶面的格點上反射的微波產生干涉應該具有的條件，即布拉格衍射條件：

2dsinθ=nλ,n=1,2,…，

(1)

其中，d為面間距，θ為掠入射角，λ為微波波長，n為衍射級數.

1.2 實驗儀器和晶體模型

實驗采用北京大華無線電儀器廠生產的DHMS-1微波分光儀． 3 cm固態微波發射源提供波源，它是由固態信號發生器生成與所需微波頻率相同的電流，而后由喇叭口天線發出具有平面波面的微波，經過中間的實驗儀器后，到達接收喇叭天線再將微波強度信號轉變成電流信號，電流信號由微安表讀出.

點陣常量為4 cm簡單立方模型由5×5×5共125顆小金屬球組成，將每條橫線上的小球等間距排列好，前后上下一致，可以逐層調節，先粗調后細調. 四方模型實際就是原來的簡單立方模型，調節微波入射方向的(100)晶面間距，由簡立方調節成四方(a≠b=c)，a可以2～5 cm變化，b=c=4 cm保持不變． 體心立方和底心立方模型是在4 cm簡單立方模型的基礎上添加位于體心64顆金屬球或底心的80顆金屬球. 實驗中采用9 mm尼龍線作連接線，白色棉線用于給小球提供足夠的摩擦力使之不易滑動，在木框架打孔，用于給位于體心的金屬球提供連接線固定位置，最后組裝成點陣常量為4 cm體心立方和底心立方模型.

2 實驗探究

2.1 簡單立方的峰位模擬和實驗檢驗

簡單立方的模擬晶體的晶格常量a=4 cm，微波源波長3 cm固定不變. 在測定(100)晶面的衍射強度分布圖時，選取合理的入射角20°～70°，法線和入射角組成的平面與(100)晶面相互垂直，且法線始終在另一個與被測(100)晶面相互垂直的(010)面內，測量(100)面隨掠入射角θ變化的衍射波強度，可得到(100)面和(200)面的衍射峰. 同樣(110)面和(120)面與(100)面存在固定夾角，只是比(100)面的操作多一步，即事先轉動固定的角度差. 對于簡單立方(110)面，固定角度差是45°，(120)面與(100)面的固定角度差是25.6°.

A1=cos 2φ,A2=cosφ，A3=1,

A4=cos (-φ),A5=cos (-2φ),

(2)

合向量為

A=A0(1+2cos 2φ+2cosφ)，

(3)

強度正比于振幅的平方值，因此

I=I0(1+2cos 2φ+2cosφ)2.

(4)

圖1 矢量合成示意圖

實驗中，簡單立方的(100)面的1級衍射強于2級衍射，是因為微波在晶面間進行了多次衍射，最后結果是多次衍射結果的疊加. 列出前5層的晶體模型的模擬公式組：

(5)

(6)

實際上，由125顆金屬球構成的5×5×5晶體模型包含著4×4×4晶體模型、3×3×3晶體模型、2×2×2晶體模型和1個小球晶體模型，其衍射圖中必然有這些晶體模型的組分． 取各組分的比例因數均為0.5，各層的向量如上，則總合向量為

A=A0(6.562 5+10cos 2φ+12.5cosφ+

5cos 1.5φ+6.25cos 0.5φ).

(7)

所以簡立方(100)晶面衍射強度模擬公式為

I(100)=I0(6.562 5+10cos 2φ+12.5cosφ+

(8)

同理，得到簡立方(110)和(120)晶面衍射強度模擬公式：

I(110)=I0(8.062 5+2cos 4φ+5cos 3φ+

(9)

(10)

A= 3.312 5+2cos 6φ+2cos 5φ+cos 4.5φ+

4cos 4φ+4.5cos 3φ+cos 3φ,

B= 2cos 2.5φ+6.5cos 2φ+6cosφ+

2.25cos 1.5φ+2.25cos 0.5φ.

由以上公式繪圖，取θ為20°～70°，就可得到簡立方3個主要晶面模擬圖.

圖2給出了4 cm簡立方3個主要晶面(100)，(110)和(120)衍射的模擬圖與實驗圖. 通過比較模擬和實測結果可以發現(100)面的衍射峰和(200)面的衍射峰的位置合理，并且2個峰的強度也比較合理. 然而(100)面強度明顯大于(200)，是因為散射波在反射路程中部分被其他金屬球再次散射到其他方向，路程越遠，強度越?。?這說明微波在晶格中衍射有多次散射，最終結果是多次散射的復合結果. (110)面的衍射峰的峰位在32°，(120)面的衍射峰的峰位在57°，擬合比較好，對次級峰的擬合也比較好. 次級峰是由各晶面的子散射波疊加而來的，可以由擬合式(8)～(10)計算出. 目前理論模擬圖中的各曲線可解釋各晶面的多次衍射強度相對強弱及次級峰出現位置，但各晶面的衍射峰相對強弱取決于晶體模型的大小、點陣金屬球數以及晶面間距等多種因素，圖2(a)只能給出相對強度的變化趨勢.

(a)模擬圖

(b)實驗圖圖2 4 cm簡立方3個主要晶面衍射的模擬圖與實驗圖

將晶體的晶格常量增加為a=5 cm，取θ為20°～70°，繪出(100)晶面的模擬圖和實驗圖． 結果表明：圖3(a)的37°和64°主峰，分別對應(200)和(300)晶面，圖3(b)在37°和62°處出現這2個主峰，分別與它們相對應，在23°，26°和30°附近出現次級峰，而(100)峰位小于20°，微波可能直射部分而未被測量到；在25°和57°出現2個衍射峰，分別對應(110)和(220)晶面，這與理論值的25°和58°基本吻合.

比較圖2和圖3，可觀察到晶面間距變大衍射峰向低入射角方向移動；選擇較大的晶面間距(如5 cm)，可觀察到(100)晶面的2級和3級衍射峰，及(110)晶面的1級和2級衍射峰. 采用有限點陣向量疊加模擬結果與實驗數據一致，可解釋相對衍射峰的強度變化和次級峰出現的位置.

(a)模擬圖

(b)實驗圖圖3 5 cm簡立方(100)和(110)面衍射的模擬圖與實驗圖

2.2 四方模擬晶體峰位變化規律

在本次實驗中，波長不變，模擬點陣可以由簡立方調節成四方(a≠b=c)，a可以從1～5 cm變化. 當a較小時，小球大小不可忽略，在間距a大于小球的直徑2 cm時，測量誤差較小. 模擬晶體在水平面中的面指數表示為(hk0)，則面間距可表示為

(11)

代入布拉格公式，得到：

(12)

實驗中θ角從20°開始，到儀器極限74°，因此0.34≤sinθ≤0.96.

當n=1，λ=3時，對于四方晶體的間距為a的(100)面，計算可得1.56≤a≤4.39，在此范圍內可以得到(100)晶面的衍射峰；對于(110)晶面，要想看到峰，則a≥1.70；同樣，對于(120)晶面，1.59≤a≤5.25；對于(210)晶面，a≥0.42.

當n=2，λ=3時，對于四方晶體的間距為a的(200)面，計算可得3.12≤a≤8.77;對于(220)晶面，要想看到峰，則3.58≤a≤6.23. 同樣，對于(240)晶面，a≥3.40；對于(420)晶面，a≥1.25.

當n=3，λ=3時，對于四方晶體的間距為a的(300)面，計算可得4.68≤a≤13.19;對于(330)晶面，沒有合理范圍，所以在本次實驗不可能找到(330)的衍射峰. 事實上，如果晶面間距太大，衍射峰強度太弱，實驗上也觀察不到.

結合2≤a≤5，獲得本次實驗可以得到的衍射峰和四方晶體中可變值a的允許范圍見表1.

表1 四方晶體中點陣參量a的允許范圍

對比a=3.5 cm的四方模型的(100)，(110)晶面，a=4.0 cm的四方(簡立方)模型的峰位發生移動. 對于a=4.8 cm的四方的(100)晶面出現2次與3次衍射，衍射強度分布圖在39°和70°，分別是(200)面和(300)面的峰位. 作3種四方模型的峰位比較圖4，可發現(100)晶面和(200)晶面的衍射峰隨間距變大而向低掠入射角方向移動，因為2級峰在1級峰后側，所以間距增大到一定程度時，(100)衍射峰會先行移出20°角外側而消失. 類似地，四方晶體模型(110)晶面的衍射峰隨間距變大而也向低掠入射角移動，而在3種四方晶體模型中(010)的峰位始終不變，保持在22°位置，因為b=4 cm，(010)晶面間距保持不變.

圖4 3種不同間距四方模型的峰位

2.3 體心立方和底心立方的衍射強度分布和消光現象

由固體物理學基礎知識可知[15]，對于體心立方結構，晶胞中的2個相同的原子位于(0,0,0)和(0.5,0.5,0.5)，則衍射波的強度可表示為

Imh,mk,ml∝f2[1+cos π(nh+nk+nl)]2+

f2[sin π(nh+nk+nl)]2.

(13)

式中f是散射因子，n是衍射級數. (13)式表明，衍射圖中找不到衍射面指數和(nh+nk+nl)為奇數的衍射斑，故(100)的峰位將消失或被有效減弱.

同理，對于底心立方結構，晶胞中的2個相同的原子位于(0,0,0)和(0.5,0.5,0)，則衍射波的強度可表示為

Imh,mk,ml∝f2[1+cos π(nh+nk)]2+

f2[sin π(nh+nk)]2.

(14)

(14)式表明：衍射圖中找不到衍射面指數和(nh+nk)為奇數的衍射斑，故其(100)的峰位也將消失或被有效減弱.

圖5給出點陣常量為4 cm的簡單立方、體心立方和底心立方3種不同晶體模型(100)面衍射強度分布. 從圖中可以看出，對比簡單立方，體心立方衍射圖中原有的(100)晶面衍射峰被消光，而(200)晶面衍射峰仍存在，并且比簡單立方的更陡，微波的散射波更強，這符合體心立方模型的(200)面的層數以及體心立方模型中參與衍射的金屬球都多于簡單立方的實驗事實.

圖5 簡立方、體心立方和底心立方(100)面衍射峰比較

同樣，底心立方的(100)衍射強度分布類似于體心立方，在其衍射圖中(200)晶面的峰位在49°，而(100)面由于被消光而未出現. 另外，實驗也證實(110)晶面衍射峰未出現消光，且觀察到(120)晶面也存在消光現象.

3 結 論

立方晶體實驗滿足布拉格衍射規律，晶面間距變大衍射峰向低入射角方向移動；選擇較大的晶面間距(如5 cm)，可觀察到(100)晶面的2級和3級衍射峰，以及(110)晶面的1級和2級衍射峰. 采用有限點陣向量疊加模擬計算結果也與實驗測量數據一致，可解釋相對衍射峰的強度變化和次級峰出現的位置. 四方晶體比簡單立方更復雜，詳細分析了四方晶體模型不同晶面的衍射峰隨晶面間距的變化規律，并示例實驗證實四方與簡單立方的異同. 體心立方和底心立方模型的衍射實驗中觀察到衍射消光現象，即(100)晶面的衍射峰被明顯減弱. 揭示了微波布拉格衍射中隨著晶體結構類型和結構參量變化而引起的衍射峰強度和位置的變化.

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[責任編輯：任德香]

Microwave Bragg diffraction of different macroscopic crystal models

ZHENG Hang, WU Yi-chu, YANG Wei， LIU Hai-lin, LI Mei-ya

(Experiment Teaching Center for Physics, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

The rules of microwave Bragg diffraction under different macroscopic crystal models were investigated. Experimental results showed that 2nd- and 3rd-order diffraction peaks appeared in simple cubic (100) plane when choosing larger plane spacing (e.g 5 cm). The relationship between the position of diffraction peaks and the spacing of different crystal planes was analyzed by adjusting simple cubic model into tetragonal crystal model. Both body-centered and base-centered cubic models were exquisitely designed and constructed, the extinction phenomenon of the (100) crystal plane was observed. Finally, the results simulated by the interference of the scattered waves from limited lattice points were in good agreement with the measured data.

microwave; Bragg diffraction; crystal model; plane spacing

2016-07-04

國家自然科學基金資助項目(No.J1210061);湖北省及武漢大學教學改革研究項目(No.JG201429)

鄭 航(1993-)，男，福建平潭人，武漢大學物理科學與技術學院2012級本科生.

吳奕初(1964-)，男，福建上杭人，武漢大學物理科學與技術學院教授，博士，主要從事正電子湮沒技術在材料科學中的應用研究和近代物理實驗教學工作.

O436.1

A

1005-4642(2017)03-0006-05