矩陣的秩和非零特征值個數的關系研究

朱 燦, 李 亦

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

矩陣的秩和非零特征值個數的關系研究

朱 燦, 李 亦

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

矩陣的秩和非零特征值個數是矩陣的重要不變量,研究二者關系也成為線性代數一個基本的問題.已有的文獻分別給出了n階矩陣的秩和非零特征值個數相等或相差n-1的充要條件.而矩陣指數又是矩陣的重要不變量,對復矩陣而言它指矩陣零特征值約當塊的最大階數.在已有文獻基礎上,研究了復數域上矩陣的秩和非零特征值個數二者的差與矩陣指數的關系,得到了矩陣的秩和非零特征值個數的差用矩陣指數刻畫的一個充分必要條件,推廣了已有文獻的結果.

矩陣的秩; 特征值; 約當; 矩陣指數

1 問題的提出

矩陣的秩和非零特征值個數(重根按重數計,下同)是線性代數中的重要不變量.對非退化矩陣或實對稱矩陣,這二者總是相等.但如果是矩陣的零特征值有階數大于1的約當塊,那么二者不相等.有很多學者研究了二者的關系.文獻[1]給出了二者相等的等價刻畫.文獻[2]給出了二者的差為n-1的等價條件.這兩種情形分別是二者差的上下確界.文獻[3-6]討論了二者的差為其他情形的刻畫.而矩陣指數又是復矩陣的重要不變量,粗略地講它是指矩陣的零特征值的約當塊的最大階數.矩陣指數在研究秩冪等矩陣中起著關鍵的作用,見文獻[7-9].本文借助于矩陣的指數的概念,給出了矩陣的秩、非零特征值個數和矩陣指數三者差的上下確界以及矩陣的秩與非零特征值個數差的等價描述.

符號說明:

Mn()表示復數域上的n階方陣全體.rank(A)和μ(A)分別表示矩陣A的秩和非零特征值個數.設A∈Mn()的約當標準型為diag(J1,J2,…,Jt,Jt+1,…,Js).其中,J1,…,Jt為零特征值對應的約當塊,且它們的階數分別為n1,…,nt,且滿足n1≥…≥nt.Jt+1,…,Js為非零特征值對應的約當塊.N(A)為線性方程組AX=0的解空間.

2 已有結論及相關準備

2.1 零特征值幾何重數與矩陣的秩的關系

定理1[3]設A∈Mn()的秩為rank(A),其零特征值的幾何重數為t,則rank(A)=n-t.

2.2rank(A)-μ(A)的上下確界

引理2[2]設A∈Mn(),則rank(A)-μ(A)=n0-t,其中n0=n1+n2+…+nt.

定理2[2]設A∈Mn(),則0≤rank(A)-μ(A)≤n-1.

2.3rank(A)=μ(A)的充要條件

已經知道rank(A)-μ(A)的上下確界:0≤rank(A)-μ(A)≤n-1,從而得知rank(A)和μ(A)未必總是相同.那么需要滿足什么條件,才能使兩者的差達到上下確界呢？首先回顧以下兩個定理.

定理3[2]設A∈Mn(),則以下描述等價:

a.rank(A)=μ(A);

b.A沒有形如xm(m≥2)的初等因子;

c.ind(A)≤1(ind(A)的定義見2.4);

d.rank(A)=rank(A2);

e. 對于任意自然數m(≥2),都有rank(A)=rank(Am);

f. N(A)=N(A2);

g. 對于任意自然數m(≥2),都有N(A)=N(Am).

定理4[2]設A∈Mn(),則以下描述等價:

a.rank(A)-μ(A)=n-1;

c.ind(A)=n;

d.An-1≠0;An=0;

e.rank(Al)=n-l,1≤l≤n-1且rank(Al)=0,0≤l;

f. N(A)?N(A2)?…?N(An-1)?N(An)(作為真子空間的包含);

g. 對于任意1≤k,l≤n,k≠l,則總有rank(Ak)≠rank(Al);

h. 對于任意1≤k,l≤n,k≠l,則總有N(Ak)≠N(Al).

2.4 矩陣的指數及相關引理

前文已知rank(A)-μ(A)的上下確界,即0≤rank(A)-μ(A)≤n-1,并給出了二者相等和相差n-1的等價刻畫,那么是否二者的差還可能有其他情況呢？為了回答這個問題,本文借助于矩陣的指數ind(A)的概念.

設A∈Mn(),則可定義線性變換A:n→n,z→Az,Im(A)為線性變換A的象空間.

定義1[10]設A,A如上,定義Ind(A)=inf {k| Im(Ak)=Im(Ak+1)},ind(A)=inf {k| rank(Ak)=rank(Ak+1)}.

定理5Ind(A)=ind(A)=n1.

其次,取e1,e2,…,en為線性空間n的一組基,其中ei=(0,0,…,1,…,0)′(第i個分量為1).則線性變換A在這組基下的矩陣為A.令p=n1+…+nt,V1=span(ep+1,…,en).則V1為A-不變子空間,且A在V1上的限制在基ep+1,…,en下的矩陣為,記作J≠0.顯然,矩陣J≠0非退化.記矩陣為J=0.而容易知道當k≥max{n1,n2,…,nt}=n1時,,所以Im(Ak)=V1=Im(Ak+1).接下來,考慮當k

定義2 設矩陣A如上,稱n1為矩陣A的指數,記做ind(A).

3 主要結果

由定理2rank(A)-μ(A)的上下確界已知,且有

b.rank(A)-μ(A)=n-1?ind(A)=n.

對非奇異矩陣,rank(A)=μ(A)且ind(A)=0,所以rank(A)-μ(A)=ind(A).

如果僅考慮奇異矩陣的情況,有以下總結:

rank(A)-μ(A)=0?ind(A)=1;

rank(A)-μ(A)=n-1?ind(A)=n.

因此,自然要問:對于奇異矩陣,是否恒有rank(A)-μ(A)=ind(A)-1？為此來看一個例子:

rank(A)=2,μ(A)=0,ind(A)=2,不滿足rank(A)-μ(A)=ind(A)-1.

定理6 rank(A)-μ(A)=ind(A)-1的充要條件是在矩陣A的約當標準型中,n2=n3=…=nt=1(即只有約當塊J1可以是高階的,其余零特征值對應的約當塊均為一階).

證明 由引理2,rank(A)-μ(A)=n1+n2+…+nt-t.從而有,rank(A)-μ(A)=ind(A)-1?n2+…+nt=t-1.

因為ni≥1,所以n2+…+nt≥t-1,且等號成立當且僅當n2=n3=…=nt=1.

所以rank(A)-μ(A)=ind(A)-1?n2=n3=…=nt=1,即J2,…,Jt均為1階約當塊.即A的約當標準型中,只有約當塊J1可以是高階的,其余零特征值對應的約當塊均為一階.

證明 由引理2可求得i=rank(A)-μ(A)-ind(A)=n2+…+nt-t.

先求最小值:因為ni≥1,所以n2+…+nt≥t-1,所以i=rank(A)-μ(A)-ind(A)≥-1,且只能在n2=n3=…=nt=1時可取到-1,所以mini=-1.

以下例子說明上確界可達,令

其中,

4 結 論

本文在參考文獻[1-2]的基礎上對復矩陣的秩與非零特征值個數的關系作了進一步的分析,完善和擴展了已有文獻對矩陣的秩與非零特征值個數關系的研究.其主要結果概括如下:借助于矩陣指數的概念,給出了矩陣的秩、非零特征值個數和矩陣指數這三者差的取值范圍以及上下確界,推廣了已有文獻僅對rank(A)-μ(A)=0和rank(A)-μ(A)=n-1的研究.

[1] 張景曉.矩陣的秩與其非零特征值個數相等的條件[J].德州學院學報,2012,28(4):5-8.

[2] 梁小春,陳梅香,楊忠鵬,等.矩陣的秩和非零特征值個數關系的進一步討論[J].閩南師范大學學報(自然科學版),2014(2):1-6.

[3] 鐘成義,陳永生,朱德文.方陣零特征值代數重數與秩之間的關系[J].蘇州科技學院學報(自然科學版),2008,25(2):29-31.

[4] 于清江,包研科.用n階方陣的跡判定其互異特征值的個數[J].大學數學,2006,22(5):157-159.

[5] 林志興,楊忠鵬,陳梅香.秩與非零特征值個數的差為3的矩陣[J].莆田學院學報,2015,22(2):1-4.

[6] 呂洪斌,楊忠鵬,馮曉霞,等.矩陣的秩與非零特征值個數差的確定[J].吉林大學學報(理學版),2014,52(6):1210-1214.

[7] 郭文靜,楊忠鵬,陳梅香.(m,l)秩冪等矩陣和(m,l)冪等矩陣的特性研究[J].北華大學學報(自然科學版),2009,10(1):5-9.

[8]BAKSALARYOM,TRENKLERG.Onk-potentmatrices[J].ElectronicJournalofLinearAlgebra,2013,26:446-470.

[9]NIKUIEM,MIRNIAMK,MAHMOUDIY.SomeresultsabouttheindexofmatrixandDrazininverse[J].MathematicalSciencesQuarterlyJournal,2010,4(3):283-294.

[10]BERNSTEINDS.Matrixmathematics:theory,facts,andformulas[M].2nded.Princeton:PrincetonUniversityPress,2009.

(編輯:丁紅藝)

Discussions on the Relationship Between Ranks and Numbers of Non-zero Eigenvalues of Matrices

ZHU Can, LI Yi

(CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

The rank and the number of non-zero eigenvalues of a matrix are two important invariants and the relation between these two values is a basic problem in the linear algebra.Some authors have described the necessary and sufficient conditions for that the rank and the number of non-zero eigenvalues are equal or have a gap ofn-1.On the other side,the index of matrix is another important invariant,which,roughly speaking,is the maximal size of the zero eigenvalues in the canonical form of a complex matrix.Based on the existing research results,the relation of the gap between the rank and the number of non-zero eigenvalues with the index of matrix was investigated,and the necessary and sufficient conditions for these invariants were obtained,which is a generalization of some known results.

rankofmatrix;eigenvalue;canonicalform;indexofmatrix

1007-6735(2017)01-0012-03

10.13255/j.cnki.jusst.2017.01.003

2016-07-22

上海理工大學教師教學發展研究項目(CFTD17016Z)

朱燦(1981-),男,博士研究生.研究方向:代數學.E-mail:czhu@usst.edu.cn

O 151.21

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