撥云見日
——回歸直線方程計算釋疑

湖北省松滋市第二中學(434200) 盧濤

撥云見日
——回歸直線方程計算釋疑

湖北省松滋市第二中學(434200) 盧濤

回歸直線方程的計算能力包括根據法則公式進行準確計算,變形和數據處理,也指能根據問題的條件尋找與設計合理而簡捷的運算途徑.

回歸直線方程計算是高考中的熱點題型,課本上對回歸直線方程系數公式推導過程復雜,很多學生最終形成只會套公式,不會對數據靈活處理,導致學生盲目套用公式,計算困難.下面從回歸直線方程系數的推導過程,回歸直線方程的原理理解,數據處理技巧,公式變形應用這四個方面加以說明以供大家參考.

一、回歸直線方程系數推導之疑

課本上推導原理簡單但推導過程復雜,學生不易掌握.在此,通過導數求極值優化推導過程,便于學生理解.

評注通過將a與b分別看成變量,通過求導求函數的極值的方法求Q(a,b)最小值,學生容易掌握推導出回歸直線方程系數公式,以便加深理解回歸直線方程原理.

二、回歸直線方程原理理解之疑

例題(2011年高考廣東卷理科13)某數學老師身高176cm,他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm、和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關,該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為___cm.

疑問學生弄不清解釋變量與預報變量,誤將x視為1,2,3計算出錯,需要注意兒子身高與父親身高有關,將父親身高作為解釋變量,兒子身高做為預報變量.依次列出對應點的坐標.

評注計算回歸直線方程時首先找準解釋變量和預報變量,然后列出對應的解釋變量和預報變量的坐標,為計算方程做準備.在的計算上面,很明顯選擇前一種形式公式計算簡便.

三、數據計算之疑

例題(2011安徽卷)某地最近十年糧食需求量逐年上升,下表是部分統計數據：

年份2002 2004 2006 2008 2010需求量(萬噸) 236 246 257 276 286

(II)利用(I)中所求的直線方程預測該地2012年的糧食需求量.

評注為了方便計算先將x同時減去一個數,將大數化小,有時最好減去x的平均值(根據公式特點),再將y也同時減去一個數,這個處理過程相當將所有數據進行了左右,上下平移變換,將數據化小使得數據方便計算.

解析(1)由所給數據看出,年需求量與年份之間是近似直線上升.下面來配回歸直線方程,為此對數據預處理如下：

由“年份”-2006得：-4,-2,0,2,4;由“需求量”-257得：-21,-11,0,19,29對預處理后的數據,容易算得ˉx=0,

(2)利用直線方程①,可預測 2012年的糧食需求量為：(萬噸)≈300(萬噸).

四、公式變形之疑問

例題(2016高考新課標III文數)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖

圖1

(I)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關系,請用相關系數加以說明;

(II)建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01),預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.

評注高考不僅考察基本計算,而且考察對數據的處理變形,因此適當變形處理數據很有訓練必要.

回歸直線方程的計算只要我們理解原理,熟悉回歸直線方程系數的推導過程,掌握公式之間的轉換,會進行簡單的數據處理技巧,認真細致運算,相信大家這題一定會手到擒拿!

[1]史雄,關于回歸直線方程的另一種簡單計算〔J〕,新課程學習(基礎教育)2010,(02).