系統設計學會思考
——『運算定律』教材重組教學的探索實踐

倪斌強

【研究緣起與思考】

在一次運算定律的專題研究活動中，筆者發現不同版本教材運算定律的編排主要分為兩類：A類教材（如下圖），把五大定律和兩大性質（減法的性質和除法的性質），分成了兩塊：一塊是加法的運算定律及應用，其中還包括了減法的性質；另一塊是乘法的運算定律及應用，其中也滲透了除法的性質。也就是把加法交換律與乘法交換律、加法結合律與乘法結合律分散編排。B類教材，把加法交換律和乘法交換律合在一起統稱為交換律，并且也把加法結合律和乘法結合律合為一節課，統稱為結合律。也就是把加法交換律與乘法交換律、加法結合律與乘法結合律集中編排。

通過比較發現：A類教材看似脈絡清晰、結構完整，但如果細想，就會發現加法交換律和乘法交換律如同孿生兄弟，聯系的更緊密，如果統稱為“交換律”更有利于學生系統的構建完整的知識結構；加法結合律和乘法結合律也是如此，合為一體統稱為“結合律”也更合理；還有減法的性質和除法的性質也有類似之處，也可合二為一進行教學。

正因如此，激起筆者對“運算定律”這一內容教材重組的研究興趣和探索思考：

一是對于運算定律這部分內容，教材怎樣調整重組更有利于學生建構知識？更有利于培養學生探索和發現規律的能力？

二是五大定律和兩大性質都是屬于數與代數重要的定律、性質，這些內容的學習方式是不是都可以利用相同的模式（猜想——驗證——結論——聯想——驗證——新的結論）？

【教學過程】

引導學生怎么“走”——了解探索規律的方法

案例《交換律》

一、引出猜想，初感規律

1.觀察下圖，列式計算。

2.觀察列出的等式，你有什么發現？

12+16=287+21=284+24=28

16+12=2821+7=2824+4=28

12+16=16+12 7+21=21+7 4+24=24+4

引出猜想：在加法中，交換兩個加數的位置，和不變。

二、驗證猜想，獲得新知

1.討論：怎樣驗證？

（舉幾個加法算式，交換加數的位置，看看和是否不變）

2.學生獨自舉例驗證，教師巡視了解學情。

3.集體交流。

教師有選擇地出示學生可能出現的幾種情況：（1）舉例驗證方法的比較。（2）舉例的全面性比較。

4.揭示課題。

師：有沒有發現交換兩個加數的位置和變了的例子？如果沒有，那猜想應該是成立的，你能給這個結論取個名嗎？

5.能用自己喜歡的方式表示加法交換律嗎？

三、聯想遷移，得出結論

1.引導聯想。

師：從個例中形成猜想并舉例驗證，是獲取結論的一種方法，但有時還可以從已有的結論通過聯想進而形成新的結論。從加法交換律中，我們通過聯想可以獲得什么新的猜想呢？

生：在加法中，交換幾個加數的位置，和不變。

生：在減法中，交換被減數和減數的位置，差不變。

生：在乘法中，交換兩個因數的位置，積不變。

生：在除法中，交換被除數和除數的位置，商不變。

2.分組驗證。（略）

3.反饋交流。

師：在減法中是否成立？

生：不成立，如 5-3=2，交換位置后3減5不能計算。

生：有成立的，如 6-6=0，交換被減數和減數的位置，還是成立的。

師：在驗證猜想時，如果有一個例子不成立，這樣的例子叫反例，反例舉出一個就可以證明猜想不成立。

（乘法、除法略）

4.得到新的結論。

5.小結：加法交換律和乘法交換律可以統稱為交換律。

四、鞏固練習，拓展延伸（略）

【分析：本課學生通過討論“怎樣驗證？”了解科學驗證的方法。當學生得出一個結論時，教師又進行了“從個例中形成猜想并舉例驗證，是一種獲取結論的方法，但有時還可以從已有的結論通過聯想進而形成新的結論。從加法交換律中，我們通過聯想可以獲得什么新的猜想呢？”的引導，使學生聯想到減法、乘法、除法算式中的各種情況。讓學生明白科學地獲取結論的兩種方法：①個例——猜想——結論；②結論——聯想——新的結論。本節課凸顯“猜想——驗證——結論——聯想——驗證——新的結論”的探究規律思考路線，使學生初步了解了探索規律的方法?！?/p>

扶著學生“走”一程——理解運用方法探索規律

案例《結合律》

一、引出猜想，初感規律

1.計算下面各式的得數。

（67+48）+52=67+（48+52）=

（4+9）+41=4+（9+41）=

（155+145）+207=155+（145+207）=

2.觀察上面這些算式，你有什么發現？

引出猜想：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變。

二、驗證猜想，獲得新知

1.討論：怎樣驗證？

（舉幾個連加算式，改變運算順序，看看和是否不變）

2.學生獨自舉例驗證，教師巡視了解學情。

3.集體交流：我們在驗證猜想時要注意什么？

4.有沒有反例？如果沒有，那猜想應該是成立的，你能給這個結論取個名嗎？

（揭示課題：加法結合律）

三、聯想遷移，得出結論

1.從加法結合律中，我們通過聯想可以獲得什么新的猜想呢？

生：在連減中，先把前兩個數相減，或者先把后兩個數相減，差不變。

生：在連乘中，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積不變。

生：在連除中，先把前兩個數相除，或者先把后兩個數相除，商不變。

2.分組驗證。

3.集體交流：是否都成立？有沒有反例？

4.得到新的結論。

5.小結：加法結合律和乘法結合律可以統稱結合律。

四、練習（略）

【分析：本節課緊緊圍繞兩個方面進行：一方面是再次明確舉例驗證應該遵循怎樣的規則；另一方面進一步理解探索規律的方法。獲得結論有兩條途徑：一是從一組算式中發現帶有規律性的東西，再舉例驗證猜想；另一條是從已獲得的結論中，引發新的猜想?！皬募臃ńY合律中，我們通過聯想可以獲得什么新的猜想呢？”學生在聯想過程中進一步熟悉由“此知”及“彼知”的數學聯想?！?/p>

看著學生“走”一段——嘗試運用方法探索規律

案例《減法的性質和除法的性質》

一、引出猜想，初感規律

1.回顧：我們前面學了交換律和結合律，同學們回憶一下，我們是怎么學的？學的方法有什么類似之處？

生：都是從一組算式中發現規律。

生：都是用具體的例子驗證猜想。

生：還有從一個結論通過聯想來引出新的猜想。

師：這節課我們還是用這樣的方法去研究。

2.先計算下面各式的得數，再看看發現了什么？

367-89-11=367-（89+11）=

524-164-36=524-（164+36）=

1235-235-65=1235-（235+65）=

3.引出猜想。

一個數連續減去兩個數，可以把這兩個減數加起來再減。

二、驗證猜想，獲得新知

1.有了猜想，接下去怎么研究？

生：先舉一些例子驗證一下是否成立。

師：好的，我們四人一組進行研究。

2.學生獨自舉例，小組交流舉的例子。

3.集體交流。

（1）所舉的例子都符合猜想嗎？

（2）有沒有反例？

（3）驗證猜想的時候要注意什么？

4.能給這個猜想取個名稱嗎？（減法的性質）

如果用字母表示減法的性質怎么表示？

三、聯想遷移，得出結論

師：接下去我們怎么研究？

生：從“減法的性質”通過聯想引發新的猜想，再用具體的算式驗證，看看有沒符合其它的性質。

師：那從“減法的性質”通過聯想又有哪些新的猜想呢？

生：一個數連續加兩個數，可以先把后兩個加數相減再加。

生：一個數連續乘兩個數，可以先把后兩個乘數相除再乘。

生：一個數連續除以兩個數，可以把兩個除數乘起來再除以第一個數。

1.驗證猜想。

2.得出除法的性質：a÷b÷c=a÷（b×c）。

四、練習（略）

【分析：學生在前兩節課的學習中已比較熟悉探究規律的方法和驗證猜想的方法，本節課教師讓學生嘗試運用方法探索規律——通過一系列的問題“扶”著學生進行探究新知?！拔覀兦懊鎸W了交換律和結合律，同學們回憶一下，我們是怎么學的？學的方法有什么類似之處？有了猜想，接下去怎么研究？得到結論后我們又怎么進行下一步的研究？”學生在教師的引導幫助下，順利地完成了新知的探究。學生在本節課中繼續鞏固了舉例驗證的方法，運用了由“此知”及“彼知”的數學聯想，進一步熟悉了獲得結論的兩種方式?！?/p>

“奔跑吧”，孩子——自主運用方法探索規律

課例一 《乘法分配律》

一、回顧方法

師：我們前面學了交換律、結合律以及減法性質、除法性質，同學們回憶一下，我們是怎么學習的？學習的方法有什么類似之處？

生：都是從一組算式中發現規律，再舉具體的算式驗證。

生：獲得結論后，再通過聯想發現新的猜想，再舉例驗證。

師：我們這節課繼續用這樣的方法進行研究。老師給大家提供一些素材，四人一組進行合作研究。

二、自主探究

1.出示。

（4+7）×25=4×25+7×25=

（5+12）×24=5×24+12×24=

（120+18）×6=120×6+18×6=

計算后引出猜想：兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相加。

2.四人一組合作研究。

3.教師巡視指導。

4.集體交流。

5.給這個規律取個名稱，引出：乘法分配律。

三、練習（略）

課例二《帶符號搬家》

一、回顧方法

師：我們前面幾節課都是探索規律的內容，同學們回憶一下，像這一類課我們是怎么學的？

師：我們這節課繼續用這樣的方法進行研究。

二、自主探究

1.出示：

125+47-25=25-25+47=

234-48+66=34+66-48=

357-149-57=357-57-149=

2.四人一組合作研究。

3.教師巡視指導。

4.集體交流。

5.給這個規律取個名稱。引出：帶符號搬家。

三、練習（略）

【分析：這兩節課教師就顯得比較輕閑，先回顧一下研究的方法，然后只出示一組研究的素材，完全放手讓學生自主探究《乘法分配律》和《帶符號搬家》兩個課例，學生因為有了前幾節課的學習和鋪墊，對于如何探究規律已很熟悉，很自然地運用探究的方法（猜想——驗證——結論——聯想——驗證——新的結論），不僅發現了規律，而且也進一步鞏固舉例驗證的方法，再次運用了由“此知”及“彼知”的數學聯想，學會了數學的思考方法?！?/p>