初中幾何求最小值的技巧

貴州省沿河縣第六中學(565302) 楊再發 ●

初中幾何求最小值的技巧

貴州省沿河縣第六中學(565302) 楊再發 ●

一、用點到線的距離垂線段最短來求

例1 如圖，在△ABC中，AB=3、AC=4、BC=5，點P為邊BC上的一個動點，且PE⊥AB于E、PF⊥AC于F，求EF的最小值．

解 連接AP．AB=3，AC=4，BC=5，32+42=25，52=25，即AB2+AC2=BC2，所以△ABC是Rt△，即∠BAC=90°．因為PE⊥AB于E、PF⊥AC于 F，所以四邊形AEPF是矩形，所以EF=AP．要求EF的最小值，就是求AP的最小值．即就是求點A到BC的最小值．當AP⊥BC時，AP最小，所以過A作AP⊥BC于P如圖．

二、用兩點之間線段最短來求

解決線段和最小值的問題經常與軸對稱聯系起來，通過作對稱點把要相加的線段進 行等量代換，放置在同一條直線上成為一條線段．

例2 如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB上的一點，且AE=3，點Q為對角線AC上的一個動點，求△BEQ周長的最小值．

解 因為△BEQ的周長=QE+QB+BE，而BE的長度已固定．所以求△BEQ周長的最小值，就要使QE+QB的值最?。畬E、QB轉化在一條線段中，根據兩點之間線段最短來解．因為正方形是軸對稱圖形，所以B、D是關于AC對稱．如圖，連接DE交AC于點Q，連接QB．則QB =QD，所以QE+QB=QD+QE=DE．因為AD=AB=4AE =3，所以BE=1．則QD +QE=QB+QE=5，所以△BEQ的周長=QE+QB+BE =5+1=6，所以△BEQ周長的最小值是6．

三、用三角形兩邊之和大于第三邊來求

例3 已知:如圖在四邊形ABCD中，AD、BC不平行，F、E分別是AB、CD的中點，若EF=8，求AD+BC的最小值．

解 連接BD，取BD的中點G，連接EG、FG．因為E、F分別是CD、AB的中點，所以EG、FG分別是△BCD、△ABD的中位線．即在△EFG中，因為EG+FG＞ EF．

當E、G、F三點共線時取得最小值，即EG+FG≥EF．因為EF=8，所以BC+AD≥8，則BC+AD≥16，所以AD +BC的最小值是16．

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