半群理論在證明帶時滯Euler梁方程適定性中應用

武 繼 龍

(天津大學 理學院，天津 300350)

半群理論在證明帶時滯Euler梁方程適定性中應用

武 繼 龍

(天津大學 理學院，天津 300350)

在研究帶有時滯問題的Euler梁方程時，要在原有的方程基礎上首先要討論Euler梁方程的適定性，用半群中的一些理論證明出Cauchy初值問題的適定性的充分必要條件，將帶有時滯的Euler梁方程適定性問題轉化為Cauchy初值問題的適定性問題，利用耗散算子的性質來討論在什么樣的時滯條件下，Euler梁方程是適定的.

耗散算子；Cauchy初值適定性；半群理論；Euler梁方程

1 Cauchy初值問題適定性充要條件

定義1 Cauchy初值問題是指形如下的方程初值問題：

(1)

定義2若u(t)具有下面的性質：1)對任意的連續t≥0,u(t)連續； 2)對t>0,u(t)∈D(A)且連續可微的；3)滿足方程(1)和初始條件.

函數u(t)為方程(1)的古典解.

定義4 設X是Banach空間，{T(t),t≥0} 是X→X的有界線性算子族且滿足T(0)=I(I是X上的恒等算子)，T(s+t)=T(t)T(s) 對一切s≥0成立.則稱{T(t),t≥0)是X上的有界線性算子半群.

定義5 設X是Banach空間，X上的有界線性算子半群{T(t),t≥0} 如果滿足

對一切x∈X成立則稱此半群為C0半群.

定義6 設{T(t),t≥0)是X上的有界線性算子半群，若定義在X中的線性算子A滿足

則稱A是半群{T(t),t≥0}的母元.

定理2[2]{T(t),t≥0}是Banach空間X上的半群，A為母元，w0(T)為增長階若λ∈C

且

Rλ>w0(t), 則λ∈ρ(A),

即

{λ∈C|Rλ>w0(t)}?ρ(A)

定理3設{T(t),t≥0 是Banach空間X上的C0半群，A是其母元，則x∈D(A)T(t)x∈D(A)且T(t)具有連續可微性.

從而，對x∈D(A)式

證明：x∈D(A),t,h> 0由于

所以

T(t)x∈D(A)

AT(t)x=T(t)Ax

當t，h> 0時

綜上所述

將上式從s到t積分得

證畢

定理4 設X是Banach空間，{T(t),t≥0}是X上的一個C0半群，存在β>0，使得當0≤t≤β時，‖T(tn)‖一致有界.

證畢

定理5 設A是Banach空間X上的C0半群{T(t),t≥0}的母元，則A是閉稠定算子.

證明：對于A是稠定算子已經給出現在只需要證明A是閉算子即可，設xn∈D(A)當n→∞時有xn→x,Axn→Ax,Ax=y由定理2可得

因為T(s)為有界線性算子，由定理4關于s在 [0 ，t]上一致有界，Axn為收斂列也是有界的，所以‖T(s)Axn‖在[0，t] 上也是一致有界的，存在M> 0，使得‖T(s)Axn‖≤M,S∈[0,t]，n≥1根據收斂控制定理得

也就是

得到

x∈D(A)，Ax=y，由閉算子定義可知A是閉算子.

綜上得A是閉稠定線性算子.證畢

定理6 Cauchy初值問題

是適定的，A是閉稠定算子且ρ(A)=φ的充分必要條件是A是Banach空間X上的 半群的生成母元.

證明：首先證明定理的充分性，由定理2可知對x∈D(A) ，T(t)x是關于t的連續可微函數，再由定義2可知T(t)x是Cauchy初值問題的古典解，這就證明了Cauchy初值問題的解的存在性.又因為T(t)是有界的，即存在M>0，使得‖T(t)‖≤M當x,y∈D(A)且‖x-y‖→0；時有‖T(t)x-(t)y‖≤M‖x-y‖→0，根據定義3可知T(t)x是對初值具有連續依賴性的.綜上可知Cauchy 初值問題是適定的，其解為T(t)x，根據定理3可知ρ(A)非空，由定理4得A是閉稠定算子.充分條件證畢.

2 帶時滯的歐拉梁方程適定性問題的證明

定義7設X是Banach空間，A：D(A)?X→X是一個線性算子，如果對每個x∈D(A)都存在一個y∈X*使得R(Ax,y)≤0，則稱A為耗散算子.

定理7設A是Banach空間X上的閉稠定耗散算子，且0∈ρ(A)則A是X上某C0壓縮半群的母元[4].

帶時滯的歐拉梁方程的基本形式如下

(2)

其中α>0,β∈.

把公式z(x,t)=wt(1,t-xτ),x∈(0,1)帶入方程(2)中則變為以下形式[5]

9年前，在重慶市巫溪縣，龔正銀的爸爸患病住了院，盡管花光了家里的所有積蓄為他治病，但最后他還是去世了。2年后，龔正銀的哥哥不幸溺水身亡，家里只剩下龔正銀和媽媽倆人相依為命。那年，龔正銀14歲，家中接二連三遭遇變故，他不得不輟學。為了生計，媽媽準備帶著他去合肥打工，但恰巧當時媽媽的手機欠費停機，不方便與合肥的親戚聯系。龔正銀對媽媽說：“我試一試去移動營業廳賒話費?！闭f完，龔正銀就出門了。

(3)

其中<α>β∈

所以可以將方程組(3)改寫成Cauchy初值問題形式如下

(4)

其中Y(t)和Y(0)表示如下

Y(t)=(w(x,t),wt(x,t),z(x,t)),

Y(0)=(w0(x),w1(x),f(-xτ))

只需要證明方程(4)是適定的即可至方程組(1)是適定的.

(5)

方程組(5)的邊界條件為[6]

經過計算得方程組(5)的解為

其中

從而可知算子A是單射，又因為算子A是在空間H中的閉稠定線性算子[7]，所以可知算子A是雙射[8]，從而可知0∈ρ(A).

第二步證明A是耗散算子，設任意的η=(f,g,h)∈D(A)，可以得到

根據上述結果可得當α≥|β|時(Aη,η)H≤0 由定義(2.1)得A是耗散算子.

由于0∈ρ(A) 且A是耗散算子，由定理7可知A是X上某C0壓縮半群的母元.

再根據第一部分Cauchy 初值問題適定的充要條件定理6可知方程組(3)是適定的，即當α≥|β|帶時滯的歐拉梁方程(2)是有解的.

證畢

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Application of semigroup theory in proving feasibility of Euler-beam

WU Ji-long

(School of Science, Tianjin University, Tianjin 300350, China)

The feasibility of Euler-beam is necessary to study Euler-beam. This paper used semigroup theory to prove the feasibility of Cauchy initial value problems in sufficient and necessary conditions. And transfered the problem of Euler-beam to the problem of Cauchy. And used the dissipative operator theory to discuss the feasibility of time delay Euler-beam.

dissipative operator;initial value problems of Cauchy equations; semigroup theory; Euler-beam equation

2016-05-14.

國家自然科學基金項目(61174080)

武繼龍(1991-),男，碩士，研究方向：運籌學與控制論.

O152

A

1672-0946(2017)02-0214-04