分數階微分的圖像邊緣檢測研究

王榕國

摘要：數字圖像的邊緣檢測是圖像分割、區域形狀檢測、目標區域識別等圖像分析和處理領域重要基礎。在數字圖像的識別領域中，是圖像特征檢測的重要方法；圖像的邊緣檢測是數字圖像理解與分析的首步，它是機器視覺領域的一個重要的研究課題。分數階微分理論應用在圖像增強已成為數字圖像增強中一種新型的處理方法。隨著人們對分數導數理解和研究的加深，它的優勢逐漸的被人們所發覺。本文利用分數階微分的基本性質通過差分定義制作，使圖像的邊緣的信息能夠有較好的連續性，能得到更好的效果而不增強噪聲。

關鍵詞：邊緣檢測；分數階微分；圖像增強

中圖分類號：TP391.4 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2017）01-0037-02

1 引言

邊緣檢測是研究數字圖像的基礎，濾波是一種被人們所熟知的也是常用的一種方法，而我們可以用多種的方法來濾波，本文研究的邊緣檢測，就是它的子類，它對圖像的分割，區域的檢測都有著重要的作用。邊緣是指圖像的輪廓的灰度級的程度，它在理解圖像的信息中有著重要的作用，同時也是第一步，邊緣主要是存在圖像的區域和區域，還有目標和目標等形式之中。因此，它在圖像的分割和紋理特征的分析中占著重要的作用，并且我們所要分析的紋理特征對圖像的分割有著重要的依賴性。因為邊緣是圖像最基本的也是最為重要的基礎，所以它能被定義成一門獨立的新型的學科，從這們學科中可以畫出圖像各區域的形狀，還能從這些特性中分析出圖像的信息，所以無論是對于人類還是機器視覺來說，它都是一個最為經典的課題。

本論文就是研究圖像的邊緣檢測中分數階微分的算法，分數階微分算法可以更好地改善圖像的質量，能使圖像的邊緣保持連續性，且不粗糙，使圖像的邊緣的特征能夠得到更好的突出，有利于后期圖像提取的各種操作操作。用MATLAB作為實驗的平臺，在眾多的方法中總結不同的優點和對比分析。

2 研究現狀

如今有關于分數階微積分的研究平均每年都有數百篇論文出現，而且還在飛速的增長。分數階微積分算法有難度，因為算法存在一些問題，主要有：（1）關于時間的問題距今為止還沒有發現解決方法。很多數學家提出的方法只是對很少數的時候有效果，不具有普遍的適應性。因此要解決關于時間的問題還要走很長的路。（2）由于現在分數階的定義還在爭論不休，無法得到統一，因此現在分數階微分的定義有各種各樣，現在還未有一個定義能夠得到大部分數學家的認可。

這里關于數值算法的分數階微分的方程有：（1）級數逼近法；（2）有限元法；（3）無網格方法；（4）有限差分法；還有一些新的算法等等。

以上算法各有各的優點和缺點，每一張算法都有自己所適用的條件和方程，如果想要能夠很靈活的應用這寫方法，這就需要對各種方法很熟悉，才能夠在所需要哪一種方法的時候就能立刻給出相對應正確的方法，不然就會得到錯誤的答案。在經過很多同一類別的文獻對比之后，通常我們在計算時間分數階微分的時候，都是使用Caputo這個人的定義，在計算空間分數階微分方程的數值的時候一般是使R-L這兩位數學家的定義和有關級數的定義。

3 分數階微分提取圖像邊緣信息的優點

圖像中像素不變的區域、紋理區域、紋理和邊緣區域分別對應的是信號的低頻、中頻和高頻。通過實驗生成的圖形分析可以看出當微分階數減小到0.1階后，微分運算不會使高頻升高太多，低頻也不會進行過多的抑制?？梢?，在0.1階時，微分對圖像邊緣輪廓的提升和圖像條紋的增強并無顯著的效果。平滑區域的紋理信息會在圖像邊緣的檢測時對其產生較大的影響。如果采用諸如Gauss-Laplace算子與Sobel算子檢測灰度級（邊緣檢測）變化不大的圖像邊緣，會削弱灰度變化不大的紋理細節信息。因此可以說，基于整數階微分的圖像邊緣增強算法不是對平滑區域中的紋理細節進行檢測的有效方法。而經過分數階微分處理過的圖像，其中的平滑區域的紋理細節信息不僅不會被削弱，還會在某種程度上保留有非線性?；诜謹惦A微分的階數連續性，通過調整分數階的值，我們可以得到的圖像邊緣信息是效果最佳的，所以分數階微分要比整數階導數更有利于圖像的邊緣信息的提取。

邊緣和噪聲有共同點，都擁有大量的高頻成分。原因在于邊緣和噪聲是不連續的灰度圖像特征和局部的突變，會出現相應的像素灰度。在邊緣檢測時，由于整數階的邊緣檢測算子對噪聲的敏感可能會使噪聲增加，使得傳統邊緣檢測算子對噪聲圖像處理結果會產生很多虛假邊緣不準確，效果不佳。通過分析相關特性我們可以發現利用分數階來求圖像的邊緣，可以大大的抑制噪聲的產生。本文是根據經典分數階微分的定義來構造分數階微分的掩模模板，利用分數階微分的特性來保證提取的精準度，以獲取到相比較而言效果更好的圖像邊緣信息。

4 分數階微分應用在圖像上的邊緣提取實驗仿真及結果分析

4.1 提取圖像的邊緣信息

為了完成標準化流程模板，首先要將微分算子的每一項都除以（8-12a+4a），然后再進行卷積和運算。完成運算后，對于鄰近像素值發生變化的區域，輸出像素值將會有所不同；對于所在基本相同的區域的相鄰像素值，輸出像素值基本不會發生變化。最后用經過掩模算子運算后將得到的圖像的象素值與原圖像相對應象素值來做差運算，那么所得到圖像經過分數階微積分運算產生變化的信息值，通過對比分析說明獲得的圖像邊緣信息具有很高的信噪比?？梢酝ㄟ^調節分數階微分的階次來得到輸出像素值，可以看出5*5模板削弱噪聲并加強邊緣信息比3*3模板的效果好。因此通過分數階微分算子后，圖像的平滑區域雖然保持不變，其紋理更加清晰，邊緣特征也更為突出。

4.2 各不同階微分掩模算子加強Lena圖像邊緣信息的實驗仿真

將已構建的分數階微分掩模模板放在Matlab平臺下實現圖像的紋理增強和邊緣檢測。本文分別在3*3模板和5*5模板下將圖片先濾波后再經過Canny算子提取圖像的邊緣信息。

4.2.1 Lena圖各階微分掩模算子在3*3模板下得到的濾波圖像實驗

3*3模板：H=[-v -v -v；-v 8 -v；-v -v -v]/（8-7*v）；

主函數代碼如下：

clc；

clear all；

tic；

im0=imread（lena.bmp）；

imshow（im0）

title 原始圖像

im1=rgb2gray（im0）；

imc=Fwf（im1，0.1）；

imc2=uint8（imc）；

imshow（imc2）

title 濾波后圖像

由圖1可以看出，采用不同分數階微分算子把圖片在3*3模板下進行濾波后求邊緣，實驗結果表明，圖片隨著階數的增加紋理逐漸增多，但是出現了一些虛假邊緣，部分陰影也被當做了邊緣被顯示出來。通過對比可以得出圖片在3*3模板下0.4階濾波結果圖像是最好的。

4.2.2 Lena圖各階微分掩模算子在5*5模板下得到的濾波圖像實驗

5*5模板：H=[-v -v -v -v -v；-v -v -v -v -v；-v -v 8 -v -v；-v -v -v -v -v；-v -v -v -v -v；]/（16-24.659*v+8*v^2）；

由圖2可以看出，采用不同分數階微分算子把圖片在5*5模板下進行濾波后求邊緣，實驗結果表明，n的值應取0.1到0.2之間，這樣圖像的效果最好，n從0.3開始直達0.9時就會出現虛擬邊緣，有時還看不見邊緣，部分陰影也被當做邊緣被顯示出來，通過對比可以得到圖片在5*5模板下0.2階是最好的。

用數學算法實現在 Grümwald-Letnikov分數階微分基礎上構造的n階分數階空域微分增強算子。實驗表明，各方向加權和最大值增強算法效果與模板窗口大小有關，模板窗口越是大，窗口中的像素點的灰度值關聯性就越小，所以3*3模板在增強圖像的紋理和邊緣信息上要比5*5模板好。對3*3模板下0.4階濾波結果圖像和5*5模板下0.2階濾波結果圖像進行對比可以得到，5*5模板下0.2階濾波結果圖像相對于3*3模板下0.4階濾波結果圖像要差。

5 結語

本文將分數階微分應用于圖像邊緣檢測分析，從新的角度提出了分數階微分圖像增強的算法，將其放在MATLAB平臺下實現邊緣檢測，從而增強紋理細節圖像邊緣。它的創新點包括：

（1）如果采用以往的整數階微分對圖像檢測紋理信息，那么就會對圖像灰度變化不大的紋理細節會受到很大程度的線性衰弱。本文是將作用于圖像的微分階數由整數（不可連續變化的）延伸到分數（可以連續變化的），分數階微分可以對灰度變化不大的紋理細節進行線性保留，并且可以通過調節微分算子的階數來得到效果最好的圖像邊緣信息。

（2）先在分數階微分濾波器進行低通濾波后對圖像進行增強，然后經過canny算子求其邊緣。不止運算和編程比以往檢測邊緣的程序要簡單，得到的圖像紋理細節也得到加強。

分數階微分應用于圖像邊緣檢測還只是處于發展階段，并不成熟。所以其理論在圖像的復原、紅外線識別、遙感航天、軍事公安等領域有很大的研究空間，有待于學者們進一步探究。

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