非等間距GM(1，1)模型的性質研究

何敏藩，曾亮

（1.佛山科學技術學院數學與大數據學院，廣東佛山528000；2.廣東理工學院基礎教學部，廣東肇慶526100）

非等間距GM(1，1)模型的性質研究

何敏藩1，曾亮2

（1.佛山科學技術學院數學與大數據學院，廣東佛山528000；2.廣東理工學院基礎教學部，廣東肇慶526100）

在現有非等間距GM(1，1)模型研究的基礎上，給出了模型的幾個重要性質，為模型的應用奠定了基礎.關鍵詞：灰色系統；非等間距；GM(1，1)模型

自灰色系統理論提出以來，灰色預測模型在眾多領域中得到廣泛應用.GM(1，1)模型是灰色預測模型中最主要和最常用的模型之一，它主要應用于等間距數據序列的預測.由于在實際工程中存在著大量的非等間距數據序列，并且需要對其做預測分析，所以建立非等間距GM(1，1)模型具有重要的意義.現已有部分學者針對非等間距序列構建非等間距的GM(1，1)模型，取得了一些成果.從建模的方式上來看，主要分為兩種：第一種方式是通過在非等間距序列中分段線性插值，計算插值數據后得到等間距序列再建立GM(1，1)模型［1］；第二種方式是在對原始數據序列進行一階累加生成時，將序列的間距作為乘子，然后按照非等間距方式建立GM(1，1)模型［2］.其中第二種方式建立的非等間距GM(1，1)模型近年來應用較為廣泛［3-4］，對其改進研究已成為研究的熱點［5-7］.

本文在文獻［2］提出的非等間距GM(1，1)模型的基礎上，深入研究時間序列和原始數據序列的變換對模型精度的影響，得到了3個重要性質，為非等間距GM(1，1)模型的應用奠定了理論基礎.

1非等間距GM(1，1)模型

定義1設原始非等間距數據序列X(0)={x(0（)k1），x(0（)k2），…，x(0（)kn）}，其間距△ki=ki-ki-1≠const，i=2，3，…，n.若令△ki=1，則X(0)的一階累加生成序列X(1)={x(1（)k1），x(1（)k2），…，x(1（)kn）}，其中△kj，i=1，2，…，n.X(1)的緊鄰均值生成序列z(1)={z(1（)k2），z(1（)k3），…，z(1（)kn）}，其中z(1（)k）i=0.5（x(1（)k）i+x(1（)ki-1）），i=1，2，…，n.

定義2設X(0)，X(1)，Z(1)如定義1所述，則稱：為非等間距GM(1，1)模型.其白化微分方程為：

定理1設X(0)，X(1)，Z(1)如定義1所述，令：

則灰色微分方程x(0)（ki）+az(1)（ki）=u中的辨識參數a，u的最小二乘估計值滿足：

證明略.

證由于：

因此，由定理1可得：

定理2設a^，u^滿足定理1所述條件，若規定t=k1時，x^(1)（k1）=x(1)（k1），則灰色微分方程x(0)（ki）+az(1)（ki）=u的時間響應函數為：

還原值為：

證明略.

3非等間距GM(1，1)模型的性質

性質1（時間序列線性變換無關性）設X(0)，X(1)，Z(1)如定義1所述，若對時間序列k={k1，k2，…，kn}做線性變換k~=mk+d（m，d為常數）后重新建立模型，則原始序列的模擬值不變，模型的平均模擬相對誤差也不變.

證記k~=mk+d={k~1，k~2，…，k~n}，顯然x(0)（k~i）=x(0)（ki），i=1，2，…，n.則間距△k~i=k~i-k~i-1=（mki+d）-（mki-1+d）=m（ki+ki-1）=m△ki，i=2，3，…，n.線性變換后X(0)的一階累加生成序列X軒(1)={x(1)（k~1），x(1)（k~2），…，x(1)（k~n）}，其中：

在區間[k~i-1，k~i]上對微分方程

現用z(1)（k~i）△k~i近似代替的值，于是式（8）為：

即：

，則由定理1和推論可得a～，u～的最小二乘估計值為：

依此參數建立模型，由定理2可得還原值：

即原始序列模擬值不變，故平均模擬相對誤差也不改變.

性質2（原始數據序列數乘變換無關性）設模型的原始數據序列為X(0)={x(0)（k1），x(0)（k2），…，x(0)（kn）}，若對數據序列做數乘變換X軒(0)=mX(0)（m為常數）后重新建立模型，模型的平均模擬相對誤差不改變.

證由X軒(0)=mX(0)，得x～(0)（ki）=mx(0)（ki），i=2，3，…，n.于是（ki），i=2，3，…，n.在區間[ki-1，ki]上對微分方程

即：

令X軒(1)的緊鄰均值生成序列Z~(1)={z～(1)（k2），z～(1)（k3），…，z～(1)（kn）}，其中z～(1)（ki）=0.5（x～(1)（ki）+x～(1)（ki-1）），i=2，3，…，n.于是可得：

現用z～(1)（ki）△ki近似代替的值，于是式（9）為：

即：

依此參數建立模型，由定理2可得還原值：

故平均模擬相對誤差：由此可見，模型的平均模擬相對誤差不改變.

性質3（原始數據序列平移變換相關性）設模型的原始數據序列為X(0)={x(0)（k1），x(0)（k2），…，x(0)（kn）}，若對數據序列做平移變換X軒(0)=X(0)+d（d為常數）后重新建立模型，模型的平均模擬相對誤差發生改變.

證由X軒(0)=X(0)+d可得x～(0)（ki）=x(0)（ki）+d，i=1，2，…，n.于是：在區間[ki-1，ki]上對微分方程dx～1)（t）d

t+a～x～(1)（t）=u～積分，得：

即：

即：

現用z～(1)（ki）△ki近似代替的值，于是式（10）為：

值為：

由于B軒式比較復雜，與d和時間序列有關，故所得a^～，u^~與原a^，u^并無固定的線性關系，從而x^～(0)（ki）=x^(0)（ki）+d一般不成立，即模型的平均模擬相對誤差一般發生改變.

3結語

本文在文獻［2］的基礎上，提出了關于非等間距GM(1，1)模型的3個性質.性質1表明了在選取初始時間序列時可具靈活性；當原始數據序列的數據比較大且樣本比較多時，易造成矩陣B病態，預測效果不理想，性質2表明了可以通過數乘變換解決此問題.性質3表明對原始數據序列的平移變換能改變模型的模擬預測精度，為實際應用提供了一種優化方法，即通過調整平移量，可使模型的精度達到最優.

［1］傅立.灰色系統理論及其應用[M].北京：科技文獻出版社，1992.

［2］王鐘羨，吳春篤，史雪榮.非等間距序列的灰色模型[J].數學的實踐與認識，2003，33(10)：16-20.

［3］吳邦彬，陳蘭，葛萃.改進的非等間距GM(1，1)模型在大壩沉降分析中的應用[J].水電能源科學，2012，30(6)：95-97.

［4］黃景銳，胡安焱，張煥楚，等.基于非等間距序列GM(1，1)模型的地下水溫度預測[J].水文地質工程地質，2013，40(1)：48-52.

［5］胡大紅.基于背景值與初始條件優化的非等間距GM(1，1)模型[J].湖北文理學院學報，2016，37(11)：20-22.

［6］曾祥艷，曾玲.非等間距GM(1，1)模型的改進與應用[J].數學的實踐與認識，2011，41(2)：90-95.

［7］熊萍萍，黨耀國，姚天祥.基于初始條件優化的一種非等間距GM(1，1)建模方法[J].控制與決策，2015，30(11)：2097-2102.

Study on the Properties of Non-equidistant GM(1，1)Model

HE Min-fan1，ZENG Liang2
（1.School of Mathematics and Big Data，Foshan University，Foshan 528000，Guangdong，China;2.Department of Basic Courses，Guangdong Polytechnic College，Zhaoqing 526100，Guangdong，China）

In this paper，some important properties of the non-equidistant GM(1，1)model are given based on the existing research，which lays the foundation for the application of the model.

grey system;non-equidistant;GM(1，1)model

N941.5%

A%%%

1007-5348（2017）03-0015-06

（責任編輯：邵曉軍）

2017-01-02

何敏藩（1980-），男，江西上饒人，佛山科學技術學院數學與大數據學院講師，碩士；研究方向：數據挖掘和灰色系統等.