利用d—q分解的三相電壓鎖相技術研究

鄭之遠

摘要：隨著風力、太陽能、地熱能、潮汐等分布式發電技術的廣泛應用，各種新能源產生的電能要接入主電網，首先必須獲得主電網準確的相位、幅值信息。在電力電子領域經常需要將三相電壓、電流數據變換到α-β坐標系或d-q坐標系下進行處理，而在d-q坐標系下可以將三相電壓、電流交流數據變換為兩路直流數據。利用了d-q坐標系這種特性，根據q軸坐標分量跟蹤控制以實現三相電壓相位的準確跟蹤。

關鍵詞：鎖相；d-q坐標系；相位追蹤

中圖分類號：TB

文獻標識碼：A

doi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.11.094

1同步參考坐標變換鎖相環結構

SRF-PLL系統結構如圖1所示，其控制結構以兩相靜止坐標系中的q軸電壓分量為控制目標，當uq=0時，則實現三相電力系統相位準確跟蹤。在每一次鎖相計算時，首先必須將采樣得到的三相電壓通過坐標變換到兩項靜止坐標系以獲得q軸電壓分量uq，當系統存在三相不平衡、電壓畸變、鎖相不準確等情況時，uq中就含有不同特性的諧波成分，因此需要設計濾波器Fs濾除uq中含有的各次高頻分量，將剩余低頻分量送到PI控制器以產生合適的頻率增量，從而改變當前的相位角以減小uq的數值。

由于系統中涉及濾波器、控制器的設計，只有系統分析系統的諧波特性和傳遞函數才能設計得到最佳的濾波器參數和控制器參數。根據三相交流電壓幅值和相位之間的關系，在電力電子領域經常需要將三相電壓、電流數據變換到兩相靜止坐標系（α-β坐標系）和兩相旋轉坐標系（d-q坐標系）下進行處理，特別是在d-q坐標系下可以將三相電壓、電流交流數據變換為兩路直流數據。本文正是利用了d-q坐標系這種特性，根據q軸坐標分量跟蹤控制以實現三相電壓相位的準確跟蹤。

假設三相交流電壓為如下形式：

ua=Ucos（ωt）ub=Ucosωt-2π3uc=Ucosωt+2π3（1）

其中U為電壓幅值（V），w為電壓角頻率（rad/s）。按照α-β坐標變換原理，可將公式（1）中的三相電壓轉換到兩相靜止坐標系中，其形式如下：

uαuβ=231-12-12032-32uaubuc（2）

易知α-β坐標中uα、uβ依舊為以角頻率w旋轉的交流電壓，為了獲得直流電壓分量以便控制系統的跟蹤控制，因此需要將uα、uβ進一步變換到d-q坐標系。d-q坐標變換公式為：

uduq=cosθsinθ-sinθcosθuαuβ（3）

其中θ為d軸與α軸之間的夾角，ud、uq為uα、uβ在d軸和q軸的分量。將ud、uq寫成符號表達式為：

ud=U32coswtcosθ+U32sinwtsinθ=32Ucoswt-θ（4）

uq=-32Ucoswtsinθ+32Usinwtcosθ=32Usinwt-θ（5）

從公式（4）、（5）可知，當wt=θ時，ud=32U，uq=0，此時角θ即為A相電壓相位。當wt>θ或wt<θ時，令Δθ=wt-θ，uq=32UsinΔθ，通過逐步調整Δθ大小即可將uq控制在0值，從而實現了三相電壓A相相位鎖定，而B、C相電壓相位則為θB=θ-2π3，θC=θ+2π3。

2q軸電壓諧波分析

公式（1）是理想情況下三相電壓表達式，一般電力系統中由于負荷的不平衡往往造成系統中存在負序電壓和零序電壓，其形式如下：

u-a=U2cos-wt+φ2u-b=U2cos-wt+φ2-2π3u-c=U2cos-wt+φ2+2π3（6）

u0a=U0coswt+φ0u0b=U0coswt+φ0u0c=U0coswt+φ0（7）

其中U2、U0為負序電壓和零序電壓幅值，φ2、φ0為負序電壓和零序電壓相位初始角。負序電壓在α-β坐標系下的分量為：

u-α=32U2cos-wt+φ2

u-β=32U2sin-wt+φ2（8）

易知零序電壓在α-β坐標系下分量分別為0，因此只需要考慮負序分量在接下來d-q坐標系中的變換。負序電壓在d-q坐標系中的分量為：

u-d=32U2cos-wt+φ2-θ

u-q=32U2sin-wt+φ2-θ（9）

從公式（9）分析可以發現，當wt=θ時，u-q=32U2sin-2wt+φ2，表明即使實現了精確跟蹤時q電壓分量依舊存在2次諧波的干擾，不會只是呈現單一的直流電壓。

3控制系統結構線性化分析

經第3章分析可知，當Δθ=wt-θ=0時，q軸電壓分量uΣq在濾除各次諧波分量后應該為常數0，將uΣq作為反饋量與0進行比較，PI控制器再根據誤差-uΣq實時調整相位角θ以將uΣq穩定在0值。

由于電壓相位是周期變換的斜坡函數，利用控制系統跟蹤相位變化時在相位從2π變為0時會導致系統反復進行跟蹤控制，從而在每一個周期內總會出現相位誤差。為了解決這種弊端，可以在控制器輸出端加入一個與三相電壓信號具有相同角頻率w的補償器，一旦控制器將相位誤差Δθ調整為0后，即可利用補償器與電壓信號同頻旋轉而持續鎖定相位wt。由于控制系統每一個采樣周期輸出一次相位角，因此控制器和補償器輸出都要經過一個積分環節才能精確跟蹤三相電壓相位變化。根據上述分析，三相電壓鎖相控制系統等效原理如圖2所示。

為了對圖3所示的控制系統設計合理的控制器，需要對被控對象進行線性化處理，由于

limΔφ-θ→0sinΔφ-θ=Δφ-θ

因此可以通過設計相位誤差很小時的控制器參數以獲得滿足所有相位誤差時的控制器。鑒于此，可將圖3所示控制系統結構簡化為一個近似線性系統。

簡化的SRF-PLL跟蹤定常相位角線性化原理表明鎖相系統在前饋控制量w0的作用下能夠局部近似為一個線性系統，大大簡化了系統的控制結構。由于該定常相位角線性化系統缺少前饋控制量的表達，因此只能用于理解SRF-PLL的控制原理，還無法獲得完整的控制系統傳遞函數。為了進一步獲得系統的完整傳遞函數，還需要對SRF-PLL進行更加深入的全面分析。

在SRF-PLL系統中，經過坐標變換后q軸電壓分量uq=32Usinωt-θ，當wt-θ=0時，uq=0，因此SRF-PLL系統通過不斷調整相位角頻率來實現相位跟蹤，以uq=0為控制目標。根據上述SRF-PLL的基本結構，可以利用如下非線性方程描述整個鎖相系統：

uq=32Usinwt-θ=（10）

式（10）中的為控制器輸出，即相位θ的角頻率。當wt-θ≈0時，則有uq≈32Usinωt-θ，則式（10）所示的非線性系統可以簡化為線性系統。對wt進行拉普拉斯變換，則∫

SymboleB@ 0wte-stdt=ws

w為用于提高系統動態性能的前饋控制量，其可以看作系統的輸入干擾，輸出端的32U×ws則可以看作系統輸出干擾。系統模型Gs=-32Us，令F（s）、PIs分別表示低通濾波器和PI控制器的傳遞函數，則根據魯棒控制理論可得系統輸出為：

uqs=T0rs+32US01sw0-w（11）

式（11）中T0、S0分別為輸出補靈敏度矩陣和輸出靈敏度矩陣，二者的具體表達形式為：

T0=PIsGsFs1+PIsGsFs（12）

S0=11+PIsGsFs（13）

由于前饋量w0與系統角頻率w相差較小，因此要求輸出靈敏度矩陣S0在低頻范圍內具有較大增益，則輸出補靈敏度矩陣T0在高頻范圍內具有較大增益，T0這一特性正好可以抑制二次諧波對相位跟蹤的影響。在上述分析的基礎上，根據低通濾波器Fs的不同特性，則可以設計合理的PI控制器以獲得滿意的相位跟蹤性能。

為了驗證上述SRF-PLL非線性系統轉化為線性系統的合理性，依據式（12）、式（13）的特性要求，設計了相應的低通濾波器和PI控制器，在不同系統條件下對SRF-PLL鎖相性能進行測試。為了最大程度濾除q軸電壓兩次諧波，論文選擇截止頻率為20Hz的一階低通濾波器對Fs軸電壓進行濾波，其形式如下：

F（s）=0.006244s+125.7s+125.7

SRF-PLL系統中PI控制器的傳遞函數為：

Gt（s）=kqs+kis

根據公式（12）的形式，結合圖3所示閉環控制結構，可得整個閉環控制系統傳遞函數為：

G（s）=

-2.9kps2-（2.9ki+58501kp）s-58501kis3+（125.7-2.9kp）s2-（2.9ki+58501kp）s-58501ki（14）

針對公式（14）所示系統閉環傳遞函數，可利用常規的零極點配置設計方法對PI參數進行設計，通過相關計算獲得可行控制參數kp=-0.1674，ki=-0.2039。根據式（12）和（13）的特性分析，公式（14）所示系統的開環伯德圖如圖4所示。從圖4中開環系統幅頻響應曲線可知式（14）所示SRF-PLL系統對高頻信號具有較大的衰減，但是對低頻信號卻具有較大的增益，非常符合控制系統設計中的典型二階系統的設計規則。

公式（14）所示系統的閉環伯德圖如圖5所示，其如同上述對輸出補靈敏度矩陣d-q的分析一樣，其在高頻段具有較大的衰減增益，而在低頻段具有較小的增益。另外，由于低通濾波器截止頻率較低，導致系統的滯后較大，而通過PI控制器的校正后，從圖4和圖5的相頻響應曲線對比可知系統校正后的相位之后得到很大的改善。

ua=Ucoswtub=Ucoswt-2π3uc=Ucoswt+2π3

公式（14）所示系統的輸出靈敏度矩陣伯德圖如圖7所示，其如同上述對輸出補靈敏度矩陣U的分析一樣，其在低頻段具有較大的衰減增益，而在高頻段具有較小的增益。因此，當時SRF-PLL系統前饋量V與系統角頻率w相差較小時，通過輸出靈敏度矩陣能夠很好的消除前饋控制量的不準確性導致的誤差，保證系統的無靜差跟蹤。

4結論

本文根據三相電壓坐標變換原理推導得到了q軸電壓的一般表達形式，并結合三相系統不平衡、電壓畸變等情況利用傅立葉變換分析了q軸電壓的諧波成分，建立了q軸電壓兩次諧波與三相系統不平衡之間的關系，為低通濾波器設計提供了指導。在q軸電壓一般表達形式基礎上，根據控制理論將同步參考坐標變換鎖相環非線性結構簡化為一個線性結構，推導得出了同步參考坐標變換鎖相結構的傳遞函數。

參考文獻

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