關于磁單極子問題研究的一種新的嘗試

倪衛新, 孫 凱

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

關于磁單極子問題研究的一種新的嘗試

倪衛新, 孫 凱

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

磁場的高斯定律從形式上指出了宏觀磁場的無源性質,因此可以利用高斯積分是否為零作為判斷磁單極子是否存在的形式判據.根據高等量子力學的理論,借助貝瑞相的存在,從形式上找到微觀系統磁單極子存在的依據.并且由于貝瑞相和光霍爾效應存在相關性,通過求解光霍爾效應的久期方程,從形式上探討了在微觀條件下磁單極子存在的可能性和條件.

磁單極子; 高斯定理; 貝瑞相; 光霍爾效應

磁單極子即磁單極,是指單獨具有一個N極或S極的磁性物質[1].磁單極子是一種到目前為止還基本上只存在于理論之中的物質,磁單極子作為物質的基本組成,它的單獨存在可能非常困難,或者可能極其微弱以致無法測量.1931 年,英國物理學家狄拉克在提出“反電子”理論之后,首先提出了磁單極子的存在[1].自20世紀30年代以來,探究磁單極子的存在一直是困擾物理學家和天文學家的熱門話題.盡管對于磁單極子問題的探究仍沒有獲得突破性的進展,但物理大統一理論以及對早期宇宙的研究,都認為磁單極子是存在的.通過實驗來探測磁單極子,已經成為檢驗粒子物理大統一理論和天體物理宇宙演化理論的重要依據.長期以來,物理學家一直試圖通過實驗來證實自然界中磁單極子的存在[1-2].本文試圖通過“電”和“磁”的高斯理論的比較,從形式上給出磁單極子是否存在的判據,并且通過貝瑞相與光霍爾效應之間的關聯,給出對微觀場合磁單極子存在的可能性的判斷和猜想.

1 狄拉克假定

1931年,為解釋電荷的量子化現象,狄拉克首次從理論上預言磁單極子的存在,他認為這些帶有磁場的粒子能夠存在于一些狄拉克弦(Dirac string)的末端.電荷e和磁核g滿足關系式

當N=1時,得到的基本磁核的量值g0遠大于e,這是磁單極子的一個重要特性,這表明異性磁荷之間具有遠大于異性電荷之間的吸引力,因此要獲得游離的單個磁單極子就需要用很大的外力才能將成對的磁偶極子分開.狄拉克認為這樣就可以解釋為什么電子容易發現而磁單極子卻難以找到.此外,根據式中N為整數,還可以推測出磁荷和電荷的不連續性,進而解釋物理學中電荷量子化的難題.

從上面的公式可以看出,假如磁單極子存在,電子和磁單極子的關系是顯著存在的,磁單極子之間具有很強的吸引力,很難以游離的形式存在,且質量很小,很難被發現.在現有的物理學體系中,點電荷是明確知道其存在的,現今研究的磁單極子與點電荷具有很多相同的性能,可以將磁單極子具象成一個點磁荷來進行探究.如果類比的這個磁荷在現有可探究的實驗現象中能夠找到和點電荷相同的性質,那么就可以大膽地推測磁單極子的存在.電荷和磁荷周圍都存在著某種看不見、摸不著而且穩定存在的物質,即電場和磁場,通過類比點電荷與點磁荷之間電場和磁場的差異,可以對磁單極子的存在進行探究.

2 高斯定理

18世紀中期,麥克斯韋在總結早期電磁理論的基礎上,提出了關于電磁理論著名的麥克斯韋方程組,從此人類對電磁領域的研究達到了新的高度.麥克斯韋方程組的前兩個方程正是分別關于電通量ΦE和磁通量ΦB的高斯定理[3-4].

(1)

方程(1)指出,在靜電場中,通過任意一個閉合曲面S的電通量ΦE等于該面所包圍的所有電量qi的代數和除以ε0,與閉合面外的電荷無關.

通過對點電荷電場中高斯定理的探究,可以得到以下幾個結論:

b. 通過不包圍點電荷的任意閉合曲面S的電通量恒為0;

c. 多個點電荷的電通量等于它們單獨存在時的電通量的代數和.

而這種結論在磁場中并不成立,方程(2)正是這種結論的表達.

(2)

式中,B表示磁感應強度.

由于載流導線產生的磁感應線是無始無終的閉合線,可以想象,在磁場中,通過任意閉合曲面S的磁通量都等于0,通過類比點電荷在電場中的表現,可以得出以下兩種可能存在的結果:

a. 假設的點磁荷理論并不成立,單個的磁單極子并不存在;

b. 磁單極子存在,但是其體積極小,磁偶極子聯系緊密,只能在微觀層面觀察,在宏觀世界中無法探究其存在.

在經典電磁理論中,磁感應強度的高斯定理明確地表明:類似于靜電場源的靜電荷,在磁場中無法找到相對應的磁荷,由此決定了電場和磁場的不同特征.也可以證明,在經典電磁學中,并不能夠證明磁單極子的存在.

3 Berry幾何相與磁單極子問題

根據文獻[5],倪光炯等編著的高等量子力學是這樣討論貝瑞相的:考慮一個量子體系的哈密頓(Hamilton)量,用符號H來表示,H(R(t))依賴于含時參量R(t),且周期演化,周期為τ,R(τ)=R(0).

(3)

(4)

設H(R(t))的瞬時本征方程為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

利用Stoke’s定理,γm(C)還可以化為參數空間中的面積分.

即

由式(11)可以推出γm(C)為實,類比式(13)與前文中關于點磁荷的假設,此時,可以推測出磁單極子存在的可能性.

利用×(ua)=u×a+u×a化為

再利用

得

(16)

定義厄米算符

(17)

則

式(16)可以表示成為

(19)

所以

利用

在上式中,找到了一個點可以使得磁通量積分不為0,與前文中提出的“點電荷與點磁荷”理論進行對比,可以發現,在微觀上找到了磁單極子理論上存在的依據,這種發現也可以更好地解釋反霍爾效應的現象.可以進一步大膽推測,這個使得磁通量積分不為0的點即為磁單極子存在的奇點.可證明,磁單極子奇點出現在能級簡并處.當然貝瑞相的研究并不局限于磁單極子問題[6-7].

4 一個典型案例:光霍爾效應中的Berry相

根據電磁場理論,把電流通過導體所產生的橫向電壓效應稱為霍爾效應.而當光線通過晶體時也會產生光的振動矢量和晶體折射率有關的橫向偏振,俗稱光霍爾效應[8-9].

通過對光霍爾效應的研究,人們發現了一個原本被忽視的現象:Berry相在解釋光霍爾效應產生機制中的作用.

根據自旋為1/2的粒子在旋轉磁場中的Berry相的計算方式[10-11],嘗試計算光霍爾效應中的Berry相.以自旋為1的光子取代自旋為1/2 的電荷,以折射系數的變化取代電勢的變化.此方法最早發布于文獻[12].

可設通過晶體的光子的哈密頓量為

則

(20)

式中:Ky為波矢量;δ為光子的微小偏移量.

粒子演化滿足薛定諤方程

(21)

在絕熱近似條件下,設任意時刻系統的演化波函數為

(22)

式中,ω0為初態角頻率.

把式(20)和式(22)代入粒子的薛定諤方程式(21)中,得

化簡得

其久期方程式的行列式為

通過求解得

式中,Ω=δKy-ω0.

假定當偏移量δ=δ0(δ0為偏移量初始值)時,使得介質的折射率緩慢變化成為一個周期T的變化,則系統的總相位應為

此處引入-2π是為了使系統在初始位置時,總的相位為零.在絕熱近似,即ω0?ω時,上式可以化為

式中:ω為角頻率,±ωT為動力學相;?Ω(C)為對應不同自旋態時的Berry相,Ω(C)=2π(1-cosθ),為系統演化時所經閉合路徑對原點所張的立體角.這個簡單計算的結論告訴我們:光霍爾效應中貝瑞相不但存在,而且可以測量.

5 結 論

通過對磁單極子與Berry幾何相關系的探究和Berry幾何相與光霍爾效應的探究,從中發現了三者之間的關系,光霍爾效應的探究為Berry幾何相的存在提供了實驗依據.而在進一步的Berry幾何相與磁單極子關系的探究中發現,在微觀條件下,出現了一個可以使磁通量積分不為0的點,類比于前文得出的初步結論,有理由相信在能級簡并處存在著磁單極子.但在光霍爾效應中如何具體定義出磁單極子還是一個未能解決的問題,至少形式上找到了磁單極子存在的依據.我們猜測:只要有貝瑞相存在的場合均有可能找到磁單極子.

[1] 李國棟.磁單極子理論和實驗的發展[J].自然辯證法通訊,1983(2):29-37.

[2] 葉禹卿.磁單極子淺析[J].北京教育學院學報(自然科學版),2006,1(1):15-19.

[3] 郭碩鴻.電動力學[M].第3版.北京:高等教育出版社,2008.

[4] 程守洙,江永之.普通物理學:上冊[M].6版.北京:高等教育出版社,2006.

[5] 倪光炯,陳蘇卿.高等量子力學[M].2版.上海:復旦大學出版社,2004.

[6] SUN H Y,WANG L C,YI X X.Berry phase in a bipartite system with general subsystem-subsystem couplings[J].Physics Letters A,2007,370(2):119-122.

[7] WUNDERLICH J,KAESTNER B,SINOVA J,et al.Experimental observation of the spin-hall effect in a two-dimensional spin-orbit coupled semiconductor system[J].Physical Review Letters,2005,94(4):047204.

[8] XU C T,HE M M,CHEN G.Berry phase of coupled two arbitrary spins in a time-varying magnetic field[J].Chinese Physics,2006,15(5):912.

[9] HOSTEN O,KWIAT P.Observation of the spin hall effect of light via weak measurements[J].Science,2008,319(5864):787-790.

[10] 胡連,顏玉珍.高自旋粒子在旋轉磁場中的演化及Berry相[J].華南理工大學學報(自然科學版),2004,32(7):74-77.

[11] 顏玉珍.自旋為1粒子在旋轉磁場中的演化及幾何相[J].嘉應學院學報(自然科學),2005,23(3):19-21.

[12] 倪衛新.光霍爾效應中的貝瑞相[J].科技創新導報,2015(29):239-240.

(編輯:丁紅藝)

New Attempt to Study the Problem of Magnetic Monopole

NI Weixin, SUN Kai

(CollegeofSience,UniversityofShanghaiforScienceandTechonlogy,Shanghai200093,China)

The Gauss theorem points that the macro magnetic field is of no source in forms.In other words,it can be used as a criterion for judging the existence of magnetic monopole.But in the micro-world,the magnetic monopole can be found by means of testing the existence of the Berry-phase.A new style method was developed to discuss the possibility of the existence of magnetic monopole in micro area by comparing the Berry-phase and Hall effect of light.Based on the theories in macro and micro areas,a simple theoretical derivation was presented to probe into the possibility of the existence and conditions of “magnetic monopole”.

magneticmonopole;Gausstheorem;Berry-phase;Halleffectoflight

1007-6735(2017)02-0165-05

10.13255/j.cnki.jusst.2017.02.012

2016-07-26

倪衛新(1957-),男,講師.研究方向:光學、理論物理.E-mail:nwxysp@qq.com

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